INDICE DI ETEROGENEITÀ DI GIN

L’indice di eterogeneità di Gini è utilizzato per misurare l’eterogeneità di una distribuzione statistica per variabili qualitative.

I=1-

(17)

fi sono le frequenze relative delle k modalità di una generica variabile X.

Se i dati si distribuiscono in modo omogeneo su tutte le k modalità l’indice assume un valore piccolo, se i dati si distribuiscono eterogeneamente tra le k modalità l’indice assume un valore alto.

L’indice varia tra 0 e ; 0 quando c’è massima omogeneità e quando c’è massima etero- geneità.

Tale indice deve essere normalizzato per poter confrontare distribuzioni di variabili casuali diverse.

36 2.5 SCOMPOSIZIONE DELL’INDICE DI GINI

Per poter applicare l’indice di Gini ad una distribuzione in classi è necessario scomporlo nelle sue componenti “entro” e “tra”.

Si parte dalla formula della differenza media assoluta (con ripetizione), che è una misura di variabilità, ed è data dalla seguente formula:

Δ=

(19)

questa indica la differenza di reddito di due membri della società scelti casualmente. Si ha Δ=0 in caso di equidistribuzione, mentre Δ=2µ nel caso di massima concentrazione. Successivamente bisogna rapportare Δ al suo massimo che è 2µ e così facendo si ottiene l’indice di concentrazione di Gini:

G=

=

=

(20)

Ora si può scomporre l’indice nelle sue componenti fondamentali. 1. Indice di Gini entro

L’indice di Gini entro serve per vedere se il reddito all’interno di una classe si distribuisce e- quamente oppure no.

G

jj

=

(21)

2. Indice Gini tra

L’indice Gini tra serve per misurare il grado di disuguaglianza nella distribuzione tra classi di- verse.

G

jh

=

(22) Sia

pj= quota della popolazione del gruppo j

sj= quota di reddito della popolazione del gruppo j

37

G=G

w

+G

b

(23)

G

w

=

(24)

G

b

=

(25)

Questa scomposizione può presentare un problema: i gruppi in cui viene suddivisa la popola- zione, dal punto di vista dell’ammontare di reddito possono avere aree di sovrapposizione. Questo fenomeno è detto di transvariazione e nasce dal fatto che la differenza media è calcola- ta in base ai valori assoluti, quindi è adirezionale, in altre parole, da uguale peso a classi di reddito differenti.

Data una popolazione Q di n percettori con reddito yi e media divisa in K gruppi ordinati in

ordine crescente di valor medio, essendo il gruppo j di numerosità nj e media µj(j=1…k)

Siano: pj= e sj=

con

le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo.

Δ

jh

=

(26)

differenza tra i gruppi j e h, generalizzazione della differenza media di Gini.

G

jh

=

(27) indice di Gini delle differenze TRA i gruppi j e k.

Un gruppo j è più ricco di un gruppo k se µj>µk

-misura di gross afluence tra due gruppi j e k

d

jh

=

(28)

media delle differenze tra i redditi dei soggetti appartenenti a j che hanno un reddito superio- re ai soggetti appartenenti a k.

38

p

jh

=

(29)

Media delle differenze tra i redditi ei soggetti appartenenti a k che hanno un reddito superiore ai soggetti appartenenti a j.

Dato che le due misure scompongono le differenze in valore assoluto, e dato che j > k si di-

mostra che:

djh+pjh=Δjh e

0≤pjh≤1/2Δjh≤djh≤Δjh

Inoltre se non c’è sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0), risulterà che pjh=0 e djh=Δjh

e se µj=µk

p

jh

=d

jh

=1/2Δ

jh (30)

La “net affluence” misura la maggiore ricchezza del gruppo j rispetto al gruppo h al netto della transvariazione come differenza tra le due componenti:

djh-pjh

e sarà

0≤(djh-pjh)≤Δjh

La “relative net affluence”(REA) è il rapporto tra la net affluence e il suo massimo

REA=D

jh

=

=

(31)

1. È adimensionale, poiché p e d sono differenze di reddito il loro rapporto è un numero puro

2. Può essere definita come una misura di distanza economica direzionale

Sostanzialmente l’indice REA misura l’indice Gini tra j e h cioè in che modo le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi, opportunamente ponderata per le nume- rosità e ammontare dei redditi.

Se opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh)e [Gjh(1-Djh)] consentono di scomporre

l’indice di Gini in tre componenti:

39

Concentrazione totale=concentrazione IN+concentrazione TRA(NETTA)+concentrazione da transvariazione, dove

G

w

=

(33)

G

nb

=

-

Djh (34)

40 2.6 INDICE DI PIETRA

L’indice di Pietra è un elemento naturale che serve per misurare l’eterogeneità statistica, è uti- lizzato specialmente nel caso di distribuzioni di probabilità asimmetriche e distorte, e nel caso di asintoticità paretiana con media finita e varianza infinita.

L’indice di Pietra non è solo un’alternativa all’indice di Gini, ma è uno strumento quantitativo naturale più significativo per la misura dell’egalitarismo e di conseguenza per la misura dell’eterogeneità statistica in senso ampio.

L’indice di Pietra è dato dalla seguente formula:

p=max(L

pe

(x)-L(x)) 0

(36)

è la massima distanza tra la curva di Lorenz e la curva di perfetta uguaglianza.

Figura n°9: Curva di Lorenz per il calcolo dell’indice di Pietra

Nel caso di distribuzione discreta l’indice Pietra è dato da:

P=

*max(p

i

-q

i

) i=1,…,n-1

(37)

L’indice di Pietra può essere interpretato anche come la frazione di variabile che deve essere trasferita dal gruppo più “ricco” al gruppo più povero per azzerare la concentrazione.

41 2.7 INDICE DI THEIL

L’indice di Theil si deriva dall’indice di entropia generalizzata che è data dalla formula genera- le:

GE(α)=

(38)

Dove indica il reddito medio pro capite e α è il peso dato alle distanze tra i redditi, i valori più utilizzati sono 0,1,2.

Quando si pone α=1 si ha l’indice di Theil generale.

L’indice di Theil è una misura di disuguaglianza basata sull’entropia, cioè calcola quanto si è lontani dalla situazione in cui tutte le unità presentano la stessa modalità del carattere.

L’indice è dato dalla formula:

T=

ln

(39)

Varia tra 0 e log(N); 0 quando c’è equidistrbuzione e log(N) nel caso di massima disuguaglian- za.

Le proprietà dell’indice di Theil sono le stesse descritte in precedenza per l’indice di Gini e in più gode della proprietà di scomponibilità per gruppi between e within; la prima serve per misurare l’ineguaglianza tra i vari gruppi utilizzando la media ponderata delle distanze tra i redditi medi; la seconda serve per misurare l’ineguaglianza all’interno di un gruppo utilizzan- do la media ponderata delle disuguaglianze interne ad ogni singolo gruppo.

T=

log

(40)

T

w

=

(41)

T

b

=

log

(42)

42 2.8 INDICE DI ATKINSON

L’indice di Atkinson è un indice statistico che indica la percentuale di ricchezza che può essere sottratta alla ricchezza totale in modo che, ridistribuendo equamente la ricchezza rimanente, il livello di benessere sociale non si riduce.

Tale indice si basa sul concetto di benessere sociale, in altre parole, il benessere della società dipende unicamente dal benessere degli individui che la compongono e il benessere di ogni individuo può essere rappresentato per mezzo di una funzione di utilità.

Data una società di n individui e l’utilità dell’i-esimo individuo è Ui con i=1,…,n, il benessere

sociale W è una funzione delle utilità individuali:

W=F(U

1

,U

2

,…,U

n

)

(43)

I

A

=1-

0 ≤I

A

≤1

(44)

X

eed

=

0

(45)

43

Nel documento Analisi della disuguaglianza nella distribuzione del reddito in Italia (pagine 36-44)