Influenza del guadagno proporzionale

Una volta ricavate le funzioni di trasferimento e aver capito quali sono gli effetti che il controllore può avere un qualsiasi sistema, è opportuno andare a toccare con mano quali sono le effettive conseguenze nello scegliere un certo valore di guadagno proporzionale, derivativo e integrativo.

Considerando il sistema del secondo ordine sottosmorzato studiato nel paragrafo 2.5, lo si sottopone ad un’analisi sensitiva al variare dei valori di guadagno proporzionale del controllore PID. La funzione di trasferimento che si ottiene è la seguente:

Figura 2.12 – Funzione di trasferimento al variare di 𝑘_𝑝 con 𝑘_𝑖 = 5 𝑒 𝑘_𝑑= 0.5

È interessante notare dalla fig. 2.12, come all’aumentare del guadagno proporzionale si hanno principalmente due fenomeni: il primo è quello di un aumento del picco, visibile ad occhio nudo, mentre il secondo effetto è quello dell’aumento della larghezza di banda del sistema e di conseguenza il cambio della frequenza di taglio del filtro. Questo secondo effetto è facilmente individuabile grazie alla retta orizzontale ad ordinata -3 dB, che quando interseca la funzione di trasferimento in quel punto, è leggibile la frequenza di taglio sulle ordinate. Dalla figura, è inoltre, anche possibile estrapolare il concetto di larghezza di banda, ovvero, il range di frequenza utilizzabile del sistema normalmente da 0Hz alla frequenza di taglio. Anche quest’ultimo, come è possibile vedere, tende ad aumentare all’aumento del guadagno proporzionale, infatti il sistema sarà quindi tanto più veloce

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quanto più estesa è la sua banda passante, ossia l’estremo superiore della banda passante, 𝜔_𝑐 , è un buon indice della velocità di risposta del sistema di controllo

Tutto ciò ha conseguenza su quello che è il comportamento del sistema quando gli viene imposto di inseguire un riferimento.

Altro effetto del guadagno proporzionale sul sistema è quello della possibilità di creare instabilità. Quando si sceglie un 𝑘_𝑝 dal valore elevato, i poli possono diventare reali, il che rende il sistema instabile. Prendendo come riferimento l’esempio precedente questo è chiaramente visibile scegliendo un 𝑘_𝑝 del valore di 1000.

Figura 2.13 – Mappa dei poli al variare del 𝑘_𝑝

In fig.2.13 vengono rappresentati i poli e gli zero del sistema sul piano complesso; affinché il sistema sia stabile, occorre che tutti i poli si trovino nel semipiano sinistro (parte reale negativa). Basta che ci sia un solo polo nel semipiano destro (parte reale positiva) affinché il sistema sia instabile.

Dalle fig.2.13 si nota anche come il guadagno proporzionale abbia effetto sullo smorzamento e ciò è strettamente legato anche alla stabilità del sistema. Presi in

considerazione i poli in verde e in azzurro, ovvero quelli del 𝑘_𝑝 = 100 e 𝑘_𝑝 = 10000 ,si può vedere come lo smorzamento tende man mano ad aumentare, ricordando la relazione (2.67), andando ad aumentare ulteriormente il 𝑘_𝑝. Avendo già scelto un valore di guadagno

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proporzionale molto alto, risulta impensabile che, con il solo guadagno proporzionale, si possa portare ad instabilità questo sistema, ovvero far giacere il polo sul semipiano destro.

Questo ovviamente lo si può analizzare anche dalla funzione di trasferimento, dove all’aumentare del guadagno, oltre ad aumentare il picco dovuto alla riduzione dello smorzamento, il picco si sposta verso destra, quindi a valori di frequenze più alte.

Di alto interesse, a questo punto della trattazione, risulta studiare come risponde il sistema sollecitato ad un gradino al variare del guadagno proporzionale. Grazie alla funzione step su Matlab è possibile ricavare il seguente grafico nel dominio del tempo:

Figura 2.14 – Risposta del sistema ad un input a gradino al variare del guadagno proporzionale

Dalla fig.2.14 è possibile notare come intorno ai 3 secondi il tempo di decadimento risulta essere lo stesso per tutti i valori di guadagno proporzionale. Questo è dovuto alla relazione che lega il tempo di decadimento al fattore di smorzamento e alla frequenza propria:

𝑇 = 1

𝜔_𝑛∗ 𝜉

(2.73)

Quindi, dalla (2.73) è possibile capire il motivo per cui il tempo di decadimento è lo stesso:

dalle considerazioni fatte in precedenza, all’aumentare del guadagno, aumentava la

frequenza propria del sistema ma contemporaneamente, diminuiva il fattore di smorzamento e quindi il risultato non cambia.

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Come è possibile vedere dalla fig.2.14, più è alto il picco della funzione di trasferimento, cioè maggiore è il guadagno proporzionale maggiore sarà la capacità del sistema di seguire più velocemente il riferimento, ma maggiore sarà anche l’overshoot e di conseguenza anche l’undershoot, ovvero il tempo necessario per estinguere l’oscillazione, ovvero il tempo di risposta. Quindi maggiore sarà la larghezza di banda, cioè 𝑘_𝑝 alto, più veloce il mio sistema sarà a seguire il riferimento e salire con la risposta, ma come conseguenza si avrà un sistema più nervoso che risponderà in maniera brusca ai cambi di riferimento. Mentre con il

guadagno proporzionale basso si può notare come il sistema sia più lento a seguire il riferimento e soprattutto si può notare la presenza di una oscillazione dopo il gradino che è sempre più piccola quanto minore è il valore del guadagno.

In definitiva, in base al risultato che bisogna ottenere dal sistema, è necessario scegliere un guadagno proporzionale opportuno sapendo quali rischi si corrono scegliendo un guadagno alto o basso relativo al sistema.

Ulteriore risultato che si può riscontrare da questa analisi è come, con un guadagno proporzionale alto, il sistema sale molto rapidamente per rispondere al gradino, ma l’oscillazione che ne segue è molto marcata e superiore rispetto ad un valore di guadagno più basso, dove il sistema sarà molto più lento nel salire per raggiungere il riferimento, ma l’oscillazione sarà meno marcata ed evidente e, come conseguenza, si avrà un sistema più morbido e meno nervoso nel rispondere ad un impulso.

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