3 L’insieme di Mandelbrot

Consideriamo ora la mappa interessante

f : C∞→ C∞,

dove f `e un polinomio oppure una funzione razionale, studiata da Pierre Fatou [1878-1929], Gaston Julia [1893-1978] e Benoˆıt Mandelbrot [1924-2010]. Mandel-brot (1980) `e stato uno dei primi a studiare tali problemi con l’aiuto di adeguati strumenti informatici. La mappa pi`u studiata `e stata la seguente:

f (z) = z²+ c, (IV.7)

dove c ∈ C `e una costante, in particolare il sistema dinamico di equazione

z₀ = 0, z_n+1 = [z_n]²+ c. (IV.8)

Per questa mappa si definisce insieme di Mandelbrot l’insieme M di tutti i numeri complessi c per cui la successione {z_n}∞

n=0`e limitata. In tal caso {z_n}∞ n=0

pu`o essere suddivisa in alcune sottosuccessioni aventi come limite uno degli zeri dell’equazione polinomiale z = fn(z) di grado 2n. Per c = ±i, la successione {z_n}∞

n=0 consiste in quattro punti, poich`e

0=⇒ ±i^f =⇒ −1 ± i^f =⇒ ∓i^f =⇒ −1 ± i^f =⇒ ∓i^f =⇒ . . . ,^f

quindi {i, −i} ⊂ M . D’altra parte, per c = 1 abbiamo z₀ = 0, z₁ = 1, z₂ = 2, z_n ≥ 1 per n = 1, 2, 3, . . ., e quindi z_n+1≥ z_n+1 > z_n, che implica che z_n → +∞. In altre parole, 1 /∈ M .

Per c > 1

4, abbiamo

z_n+1− z_n= (z_n− 1

2)²+ (c − ¹₄) > 0, implicando la monotonia stretta della successione {z_n}∞

n=0 e quindi l’esistenza (finita o infinita) del limite z = lim_n→+∞ z_n. Siccome z = z2+ c, risulterebbe (z − ¹₂)² = ¹₄ − c < 0 e dunque z ∈ C \ R se z fosse finito. Di conseguenza, z_n → +∞ e quindi (1

4, +∞) ∩ M = ∅.

Per c = ¹₄ abbiamo z_n+1 = [z_n]2+¹₄. Perci`o se ¹₄ < z_n < ¹₂, allora ¹₄ < z_n+1<

1 2, mentre z_n+1− z_n= (z_n−1 2)² > 0. Di conseguenza, z_n→ 1 2, che `e la soluzione dell’equazione z = z2 + 1 4 e perci`o 1

4 ∈ M . Inoltre, per c = −2 abbiamo z₀ = 0, z₁ = −2, z₂ = z₃ = . . . = 2, e quindi −2 ∈ M . Per dimostrare che (−∞, −2) non interseca M , prendiamo c < −2. In tal caso z₀ = 0, z₁ = c < −2, z₂ > (−2)2− 2 = 2, z₃ > (2)2 − 2, dunque z_n > 2 per n = 2, 3, 4, . . .. Inoltre, z_n+1−z_n = (z_n−2)(z_n+1) > 0 per n = 2, 3, 4, . . .. Quindi {z_n}∞

crescente con limite +∞ (poich`e in caso contrario il limite sarebbe uno degli zeri 2 e −1 dell’equazione z = z<sup>2</sup>− 2 e questo `e impossibile). Di conseguenza, c /∈ M e quindi (−∞, −2) ∩ M = ∅.

I punti fissi della (IV.7) sono z± = ¹₂[1 ±√

1 − 4c]. In questi due punti abbiamo f⁰(z±) = 2z± = 1 ± √

1 − 4c. Affinch´e uno dei punti fissi z± sia attraente, `e necessario e sufficiente che |f⁰(z±)| < 1 per almeno uno delle z±, oppure: che√

1 − 4c si trovi all’interno di uno dei due dischi di raggio 1 e centro ±1. Ponendo w = 1 ±^√1 − 4c, risulta c = ¹₄[1 − (w − 1)2]. In altre parole, la mappa (IV.7) ha un punto fisso attraente se e solo se

c ∈ ^1₄[1 − (w − 1)²] : |w| < 1 .

Si vede facilmente che la frontiera di questa regione `e una cardioide9 con una cuspide nel punto di ascisso <sup>1</sup><sub>4</sub> e l’estremo sinistro a −<sup>3</sup><sub>4</sub>. Di conseguenza, questa regione pi`u la sua frontiera sono contenute nell’insieme di Mandelbrot.

Iterando la (IV.8), risulta z_n+2 = [z_n]4 + 2c[z_n]2 + c(c + 1). Quindi i punti fissi del secondo iterato f² sono gli zeri del polinomio

p(z) = z⁴+ 2cz²− z + c(c + 1) = (z²− z + c)(z²+ z + c + 1);

dunque i punti di periodo 2 sono z^[2]_± = ¹₂[−1 ±p1 − 4(c + 1)]. Adesso osser-viamo che (f²)⁰(z) = f⁰(f (z))f⁰(z) = 4zf (z) = 4z(z²+ c). Sostituendo z = z_±^[2], si ha (f²)⁰(z_±^[2]) = 4(c + 1). Dunque {z₊^[2], z₋^[2]} `e un attrattore se e solo se c ap-partiene al disco {ζ ∈ C : |ζ + 1| < ¹₄}. In altre parole, il disco chiuso di centro −1 e raggio 1

4 (che tocca la cardioide nel punto −³₄) `e contenuto nell’insieme di Mandelbrot. Abbiamo dimostrato che

[−⁵₄,¹₄] ⊂ M ∩ R ⊂ [−2,¹₄]. Si pu`o infatti dimostrare che M ∩ R = [−2,¹₄].

4 Sistema dinamico del biliardo

Sia Ω un aperto in R² la cui frontiera `e una curva regolare a tratti. Ci`o vuol dire che il versore normale interno n(q) dipende in modo continuo di q ∈ Γ = ∂Ω, tranne in al massimo un numero finito di punti q ∈ ∂Ω per cui n(q) `e continuo in q ∈ Γ dalla sinistra e dalla destra (con limiti diversi). Tali punti eccezionali potrebbero anche non esistere. `E chiaro che Γ `e una curva chiusa rettificabile con lunghezza finita |Γ|.

9Si ha |c(θ)| = ¹₄√

5 − 4 cos θ, dove θ = arg(c). L’area rinchiusa `e 5π/16. La lunghezza della cardiode vale 3K(²₃√

Figura IV.4: L’insieme di Mandelbrot per la mappa f (z) = z² + c (vedi [19]). Esso contiene il disco di centro −1 e raggio ¹₄ attaccato, nel punto z = ³₄, alla regione racchiusa dalla cardioide {¹₄[1 − (w − 1)2] : |w| = 1}.

Sia

M = {(q, v) : q ∈ Γ, (q, n(q)) > 0}

l’insieme di tutte le copie consistenti di un punto di frontiera e una direzione verso l’interno. Partendo da z_n= (q_n, v_n) ∈ M , si definisce il sistema dinamico del biliardo nel seguente modo [13]:

     t_n= min{t > 0 : q_n+ tv_n ∈ Γ}, q_n+1 = q_n+ t_nv_n, v_n+1 = v_n− 2(v_n, n(v_n+1))n(q_n+1).

In altre parole t_n = kq_n+1 − q_nk, quindi t_n `e il tempo di viaggio tra q<sub>n</sub> e q<sub>n+1</sub> (sotto l’ipotesi che la velocit`a scalare sia uguale ad 1). I punto z = (q, v) ∈ M si possono parametrizzare dalle coppie (s, φ), dove s ∈ [0, |Γ|), φ ∈ (0, π) e |Γ| `

e la lunghezza della curva di frontiera. In tal caso dν = [(sin φ)dsdφ/2|Γ|] `e la misura naturale della variet`a di collisioni M .

La definizione del punto z_n+1 = (q_n+1, v_n+1) ∈ M dal punto z_n = (q_n, v_n) ∈ M fallisce nei seguenti due casi:

a) Non esiste il versore normale interno n(q_n+1) in q_n+1, soltanto i suoi limiti dalla sinistra e dalla destra.

b) La semiretta {q_n+ tv_n: t ∈ R+} `e tangente alla curva di frontiera Γ. Una tale situazione non pu`o occorrere se Ω `e convessa.

Le corrispondenti traiettorie riempono un sottoinsieme di Ω di misura zero. Di conseguenza, non fallisce la definizione della mappa z_n 7→ z_n+1se Ω `e una regione convessa con una curva di frontiera di classe C¹.

La situazione sovradescritta pu`o essere generalizzata nel seguente modo. In-vece di una frontiera che consiste in una singola curva chiusa, si assume che la frontiera Γ = ∂Ω consista nell’unione disgiunta di un numero finito di curve chiuse regolari a tratti. In tal caso il sistema dinamico del biliardo pu`o essere definito nella stessa maniera. La parametrizzazione (s, φ) viene fatta per ogni componente connessa della frontiera separatamente.

1. Disco unitario. Sia Ω = {(x, y) : r =px2+ y2 < 1}. Parametrizziamo M utilizzando i seguenti due parametri: a) l’angolo periodo θ per cui q(θ) = (cos θ, sin θ) ∈ Γ = ∂Ω, b) l’angolo ψ ∈ [0, π] tra la direzione della particella v (con kvk₂ = 1 e (v, n(q(θ))) > 0) e la retta tangente alla circonferenza nel punto q(θ). L’angolo ψ ∈ [0,π

2) per un moto antiorario, ψ = π

2 per un moto che passa per il centro del disco, e ψ ∈ (^π₂, π] per un moto orario. Il legame tra gli angoli ψ e φ `e il seguente:

φ = π

2 − ψ ∈ [−π 2,π

2].

In altre parole, la variet`a di collisioni `e la superficie cilindrica con raggio 1 e altezza π.

Il sistema dinamico del biliardo viene definito dalle equazioni (

θn+1 = θn+ 2ψn (mod. 2π), ψn+1 = ψn,

dove n ∈ Z. In tal caso il tempo di viaggio tra due “collisioni” con la cir-conferenza vale t_n = 2 sin ψ_n = costante. L’orbita `e composta da infiniti seg-menti di lunghezza costante 2 sin ψ<sub>n</sub> tangenti alla circonferenza di equazione x<sup>2</sup>+ y<sup>2</sup> = cos<sup>2</sup>ψn. La misura naturale su M `e data dalla relazione

dν = | cos ψ|dθdψ

4π ^.

Se ψ_n ≡ rπ per un’opportuno r ∈ Q ∩ (0, 1), il moto `e periodico con periodo p = min{n ∈ N : nr ∈ N} e l’orbita della particella `e un poligono regolare iscritto con p vertici. Se (ψ_n/π) `e irrazionale, il moto `e aperiodico e l’insieme dei θ_n `e denso in [−π, π].

2. Quadrato unitario. Sia Ω = (0, 1) × (0, 1). In tal caso Γ = ∂Ω = [(0, 1) × {0, 1}] ∪ [{0, 1} × (0, 1)] .

Invece del moto nel corrispondente biliardo, si possono identificare i punti (x, 0) ∼ (x, 1) per x ∈ (0, 1) e (0, y) ∼ (1, y) per y ∈ (0, 1) e arrivare al toro T². Il moto della particella sul biliardo viene cos`ı convertito in un moto rettilineare sul toro.

3. Ellisse. Sia Ω =  (x, y) : ^x 2 a2 + ^y 2 b2 < 1  , dove a > b > 0. Sia c =√

a2− b2. Allora F₁ = (−c, 0) e F₂ = (c, 0) sono i fuochi dell’ellisse. Un moto che passa per uno dei fuochi passer`a dopo la collissione con la frontiera Γ = ∂Ω per l’altro fuoco, con l’eccezione del moto lungo l’asse maggiore dell’ellisse che passa per ambedue i fuochi tra due collisioni sucessive con la frontiera. Il tempo di viaggio da un fuoco all’altro (con una singola collisione intermedia) vale la costante 2a. Le due assi dell’elisse sono ambedue le orbite di un modo periodico con periodo 2.

Parametrizziamo il sistema dinamico del biliardo utilizzando il seguente due parametri:

Figura IV.5: Due altre rappresentazioni dell’insieme di Mandelbrot per la mappa f (z) = z²+ c (vedi Wikipedia).

Figura IV.6: Bacini di attrazione per calcolare gli zeri dei polinomi z3 − 1 e z⁵− 1 usando il metodo di Newton-Raphson (wikipedia, Newton fractal).

Capitolo V