Definizione
C ⊆ IR2`e chiuso se ∂C ⊆ C .
Esempio
C = {(x , y ) ∈ IR2: x ≥ 0} `e un insieme chiuso.
ogni punto della forma (0, y ) con y ∈ IR appartiene a ∂C . (x0, y0) ∈ C con x0> 0 non `e di frontiera.
I Infatti, B(x0, y0; r ) ⊂ A per ogni r < x0/2. F se (x , y ) ∈ B(x0, y0; r ), allora |x − x0| ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k <1 2x0. F quindi x = x0+ (x − x0) ≥ x0− |x − x0| >1 2x0> 0.
Insiemi chiusi
Definizione
C ⊆ IR2`e chiuso se ∂C ⊆ C .
Esempio
C = {(x , y ) ∈ IR2: x ≥ 0} `e un insieme chiuso.
ogni punto della forma (0, y ) con y ∈ IR appartiene a ∂C . (x0, y0) ∈ C con x0> 0 non `e di frontiera.
I Infatti, B(x0, y0; r ) ⊂ A per ogni r < x0/2. F se (x , y ) ∈ B(x0, y0; r ), allora |x − x0| ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k <1 2x0. F quindi x = x0+ (x − x0) ≥ x0− |x − x0| >1 2x0> 0.
Analogamente ogni punto (x , y ) ∈ IR2con x < 0 e y ∈ IR non `e di frontiera per A.
Insiemi chiusi
Definizione
C ⊆ IR2`e chiuso se ∂C ⊆ C .
Esempio
C = {(x , y ) ∈ IR2: x ≥ 0} `e un insieme chiuso.
ogni punto della forma (0, y ) con y ∈ IR appartiene a ∂C .
(x0, y0) ∈ C con x0> 0 non `e di frontiera. I Infatti, B(x0, y0; r ) ⊂ A per ogni r < x0/2.
F se (x , y ) ∈ B(x0, y0; r ), allora |x − x0| ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k <1 2x0. F quindi x = x0+ (x − x0) ≥ x0− |x − x0| >1 2x0> 0.
Insiemi chiusi
Definizione
C ⊆ IR2`e chiuso se ∂C ⊆ C .
Esempio
C = {(x , y ) ∈ IR2: x ≥ 0} `e un insieme chiuso.
ogni punto della forma (0, y ) con y ∈ IR appartiene a ∂C . (x0, y0) ∈ C con x0> 0 non `e di frontiera.
I Infatti, B(x0, y0; r ) ⊂ A per ogni r < x0/2. F se (x , y ) ∈ B(x0, y0; r ), allora |x − x0| ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k <1 2x0. F quindi x = x0+ (x − x0) ≥ x0− |x − x0| >1 2x0> 0.
Analogamente ogni punto (x , y ) ∈ IR2con x < 0 e y ∈ IR non `e di frontiera per A.
Insiemi chiusi
Definizione
C ⊆ IR2`e chiuso se ∂C ⊆ C .
Esempio
C = {(x , y ) ∈ IR2: x ≥ 0} `e un insieme chiuso.
ogni punto della forma (0, y ) con y ∈ IR appartiene a ∂C . (x0, y0) ∈ C con x0> 0 non `e di frontiera.
I Infatti, B(x0, y0; r ) ⊂ A per ogni r < x0/2.
F se (x , y ) ∈ B(x0, y0; r ), allora |x − x0| ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k <1 2x0. F quindi x = x0+ (x − x0) ≥ x0− |x − x0| >1 2x0> 0.
Insiemi chiusi
Definizione
C ⊆ IR2`e chiuso se ∂C ⊆ C .
Esempio
C = {(x , y ) ∈ IR2: x ≥ 0} `e un insieme chiuso.
ogni punto della forma (0, y ) con y ∈ IR appartiene a ∂C . (x0, y0) ∈ C con x0> 0 non `e di frontiera.
I Infatti, B(x0, y0; r ) ⊂ A per ogni r < x0/2. F se (x , y ) ∈ B(x0, y0; r ), allora |x − x0| ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k <1 2x0. F quindi x = x0+ (x − x0) ≥ x0− |x − x0| >1 2x0> 0.
Analogamente ogni punto (x , y ) ∈ IR2con x < 0 e y ∈ IR non `e di frontiera per A.
Insiemi chiusi
Definizione
C ⊆ IR2`e chiuso se ∂C ⊆ C .
Esempio
C = {(x , y ) ∈ IR2: x ≥ 0} `e un insieme chiuso.
ogni punto della forma (0, y ) con y ∈ IR appartiene a ∂C . (x0, y0) ∈ C con x0> 0 non `e di frontiera.
I Infatti, B(x0, y0; r ) ⊂ A per ogni r < x0/2. F se (x , y ) ∈ B(x0, y0; r ), allora |x − x0| ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k <1 2x0. F quindi x = x0+ (x − x0) ≥ x0− |x − x0| >1 2x0> 0.
Insiemi chiusi
Definizione
C ⊆ IR2`e chiuso se ∂C ⊆ C .
Esempio
C = {(x , y ) ∈ IR2: x ≥ 0} `e un insieme chiuso.
ogni punto della forma (0, y ) con y ∈ IR appartiene a ∂C . (x0, y0) ∈ C con x0> 0 non `e di frontiera.
I Infatti, B(x0, y0; r ) ⊂ A per ogni r < x0/2. F se (x , y ) ∈ B(x0, y0; r ), allora |x − x0| ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k <1 2x0. F quindi x = x0+ (x − x0) ≥ x0− |x − x0| >1 2x0> 0.
Analogamente ogni punto (x , y ) ∈ IR2con x < 0 e y ∈ IR non `e di frontiera per A.
Esempio (...continua...) -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1
Osservazione
Ogni insieme chiuso `e l’unione dei suoi punti interni e dei punti di frontiera.
Esempio
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x2+ y2< 1} non `e un insieme chiuso: infatti ∂A = {(x , y ) ∈ IR2: x2+ y2= 1} 6⊂ A.
Osservazione
Dato A, la sua frontiera ∂A `e un insieme chiuso.
Osservazione
Ogni insieme chiuso `e l’unione dei suoi punti interni e dei punti di frontiera.
Esempio
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x2+ y2< 1} non `e un insieme chiuso: infatti ∂A = {(x , y ) ∈ IR2: x2+ y2= 1} 6⊂ A.
Osservazione
Osservazione
Ogni insieme chiuso `e l’unione dei suoi punti interni e dei punti di frontiera.
Esempio
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x2+ y2< 1} non `e un insieme chiuso: infatti ∂A = {(x , y ) ∈ IR2: x2+ y2= 1} 6⊂ A.
Osservazione
Dato A, la sua frontiera ∂A `e un insieme chiuso.
Osservazione
Ogni insieme chiuso `e l’unione dei suoi punti interni e dei punti di frontiera.
Esempio
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x2+ y2< 1} non `e un insieme chiuso: infatti ∂A = {(x , y ) ∈ IR2: x2+ y2= 1} 6⊂ A.
Osservazione
Definizione
Dato un insieme A ⊆ IR2, si dice chiusura di A l’insieme
A = ∂A ∪ A.
Esercizio
Se C `e un insieme chiuso, allora C = C .
Esercizio
Qualunque sia l’insieme C , si ha
C = C .
Suggerimento: segue da
X ∪ Y ⊂`X ∪ Y ´
Definizione
Dato un insieme A ⊆ IR2, si dice chiusura di A l’insieme
A = ∂A ∪ A.
Esercizio
Se C `e un insieme chiuso, allora C = C .
Esercizio
Qualunque sia l’insieme C , si ha
C = C .
Suggerimento: segue da
Definizione
Dato un insieme A ⊆ IR2, si dice chiusura di A l’insieme
A = ∂A ∪ A.
Esercizio
Se C `e un insieme chiuso, allora C = C .
Esercizio
Qualunque sia l’insieme C , si ha
C = C .
Suggerimento: segue da
X ∪ Y ⊂`X ∪ Y ´
Soluzione
Proviamo che
(A) = A.
Si sa che
A ∪ B ⊆ (A ∪ B).
Proviamo l’inclusione A ⊂ A. Segue subito da
(A) ≡ ∂A ∪ A ⊆`∂A ∪ A´ ⊆ (∂A ∪ (∂A ∪ A)) ⊆ A. Quindila chiusura di un insieme `e un insieme chiuso. In realt`a vale di pi`u :
A ∪ B ≡ A ∪ B.
Infatti, da A ⊆ A e B ⊆ B, segue cheA ∪ B ⊂ A ∪ B. Pertanto
Soluzione
Proviamo che
(A) = A.
Si sa che
A ∪ B ⊆ (A ∪ B).
Proviamo l’inclusione A ⊂ A. Segue subito da
(A) ≡ ∂A ∪ A ⊆`∂A ∪ A´ ⊆ (∂A ∪ (∂A ∪ A)) ⊆ A. Quindila chiusura di un insieme `e un insieme chiuso. In realt`a vale di pi`u :
A ∪ B ≡ A ∪ B.
Infatti, da A ⊆ A e B ⊆ B, segue cheA ∪ B ⊂ A ∪ B. Pertanto
A ∪ B ⊆ A ∪ B = A ∪ B, perch´e A ∪ B `e un insieme chiuso.
Soluzione
Proviamo che
(A) = A.
Si sa che
A ∪ B ⊆ (A ∪ B).
Proviamo l’inclusione A ⊂ A. Segue subito da
(A) ≡ ∂A ∪ A ⊆`∂A ∪ A´ ⊆ (∂A ∪ (∂A ∪ A)) ⊆ A. Quindila chiusura di un insieme `e un insieme chiuso. In realt`a vale di pi`u :
A ∪ B ≡ A ∪ B.
Infatti, da A ⊆ A e B ⊆ B, segue cheA ∪ B ⊂ A ∪ B. Pertanto
Soluzione
Proviamo che
(A) = A.
Si sa che
A ∪ B ⊆ (A ∪ B).
Proviamo l’inclusione A ⊂ A. Segue subito da
(A) ≡ ∂A ∪ A ⊆`∂A ∪ A´ ⊆ (∂A ∪ (∂A ∪ A)) ⊆ A.
Quindila chiusura di un insieme `e un insieme chiuso. In realt`a vale di pi`u : A ∪ B ≡ A ∪ B.
Infatti, da A ⊆ A e B ⊆ B, segue cheA ∪ B ⊂ A ∪ B. Pertanto
A ∪ B ⊆ A ∪ B = A ∪ B, perch´e A ∪ B `e un insieme chiuso.
Soluzione
Proviamo che
(A) = A.
Si sa che
A ∪ B ⊆ (A ∪ B).
Proviamo l’inclusione A ⊂ A. Segue subito da
(A) ≡ ∂A ∪ A ⊆`∂A ∪ A´ ⊆ (∂A ∪ (∂A ∪ A)) ⊆ A.
Quindila chiusura di un insieme `e un insieme chiuso. In realt`a vale di pi`u : A ∪ B ≡ A ∪ B.
Infatti, da A ⊆ A e B ⊆ B, segue cheA ∪ B ⊂ A ∪ B. Pertanto
Soluzione
Proviamo che
(A) = A.
Si sa che
A ∪ B ⊆ (A ∪ B).
Proviamo l’inclusione A ⊂ A. Segue subito da
(A) ≡ ∂A ∪ A ⊆`∂A ∪ A´ ⊆ (∂A ∪ (∂A ∪ A)) ⊆ A.
Quindila chiusura di un insieme `e un insieme chiuso. In realt`a vale di pi`u : A ∪ B ≡ A ∪ B.
Infatti, da A ⊆ A e B ⊆ B, segue cheA ∪ B ⊂ A ∪ B. Pertanto
A ∪ B ⊆ A ∪ B = A ∪ B, perch´e A ∪ B `e un insieme chiuso.
Soluzione
Proviamo che
(A) = A.
Si sa che
A ∪ B ⊆ (A ∪ B).
Proviamo l’inclusione A ⊂ A. Segue subito da
(A) ≡ ∂A ∪ A ⊆`∂A ∪ A´ ⊆ (∂A ∪ (∂A ∪ A)) ⊆ A.
Quindila chiusura di un insieme `e un insieme chiuso. In realt`a vale di pi`u : A ∪ B ≡ A ∪ B.
Infatti, da A ⊆ A e B ⊆ B, segue cheA ∪ B ⊂ A ∪ B.
Soluzione
Proviamo che
(A) = A.
Si sa che
A ∪ B ⊆ (A ∪ B).
Proviamo l’inclusione A ⊂ A. Segue subito da
(A) ≡ ∂A ∪ A ⊆`∂A ∪ A´ ⊆ (∂A ∪ (∂A ∪ A)) ⊆ A.
Quindila chiusura di un insieme `e un insieme chiuso. In realt`a vale di pi`u : A ∪ B ≡ A ∪ B.
Infatti, da A ⊆ A e B ⊆ B, segue cheA ∪ B ⊂ A ∪ B.
Pertanto
A ∪ B ⊆ A ∪ B = A ∪ B, perch´e A ∪ B `e un insieme chiuso.
Soluzione
Proviamo che
(A) = A.
Si sa che
A ∪ B ⊆ (A ∪ B).
Proviamo l’inclusione A ⊂ A. Segue subito da
(A) ≡ ∂A ∪ A ⊆`∂A ∪ A´ ⊆ (∂A ∪ (∂A ∪ A)) ⊆ A.
Quindila chiusura di un insieme `e un insieme chiuso. In realt`a vale di pi`u : A ∪ B ≡ A ∪ B.
Infatti, da A ⊆ A e B ⊆ B, segue cheA ∪ B ⊂ A ∪ B. Pertanto
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto aperto se il suo complementare C(A) `e chiuso.
Osservazione (Importante)
Si conviene che IR2e l’insieme vuoto siano simultaneamente aperti e chiusi.
Osservazione
Un insieme `e aperto se, e soltanto se, `e intorno di ogni suo punto.
Esercizio
Dato un qualsiasi insieme A, l’insieme A \ ∂A `e un insieme aperto.
L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi aperti `e un insieme aperto. L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi chiusi `e un insieme chiuso.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto aperto se il suo complementare C(A) `e chiuso.
Osservazione (Importante)
Si conviene che IR2e l’insieme vuoto siano simultaneamente aperti e chiusi.
Osservazione
Un insieme `e aperto se, e soltanto se, `e intorno di ogni suo punto.
Esercizio
Dato un qualsiasi insieme A, l’insieme A \ ∂A `e un insieme aperto.
L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi aperti `e un insieme aperto. L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi chiusi `e un insieme chiuso.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto aperto se il suo complementare C(A) `e chiuso.
Osservazione (Importante)
Si conviene che IR2e l’insieme vuoto siano simultaneamente aperti e chiusi.
Osservazione
Un insieme `e aperto se, e soltanto se, `e intorno di ogni suo punto.
Esercizio
Dato un qualsiasi insieme A, l’insieme A \ ∂A `e un insieme aperto.
L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi aperti `e un insieme aperto. L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi chiusi `e un insieme chiuso.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto aperto se il suo complementare C(A) `e chiuso.
Osservazione (Importante)
Si conviene che IR2e l’insieme vuoto siano simultaneamente aperti e chiusi.
Osservazione
Un insieme `e aperto se, e soltanto se, `e intorno di ogni suo punto.
Esercizio
Dato un qualsiasi insieme A, l’insieme A \ ∂A `e un insieme aperto.
L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi aperti `e un insieme aperto. L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi chiusi `e un insieme chiuso.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto aperto se il suo complementare C(A) `e chiuso.
Osservazione (Importante)
Si conviene che IR2e l’insieme vuoto siano simultaneamente aperti e chiusi.
Osservazione
Un insieme `e aperto se, e soltanto se, `e intorno di ogni suo punto.
Esercizio
Dato un qualsiasi insieme A, l’insieme A \ ∂A `e un insieme aperto.
L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi aperti `e un insieme aperto.
L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi chiusi `e un insieme chiuso.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto aperto se il suo complementare C(A) `e chiuso.
Osservazione (Importante)
Si conviene che IR2e l’insieme vuoto siano simultaneamente aperti e chiusi.
Osservazione
Un insieme `e aperto se, e soltanto se, `e intorno di ogni suo punto.
Esercizio
Dato un qualsiasi insieme A, l’insieme A \ ∂A `e un insieme aperto.
L’unione/intersezione di un numero finito di insiemi aperti `e un insieme aperto.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e aperto comunque si fissi (x0, y0) ∈ IR2e r > 0.
-0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1 L’insieme A = {x , y ) ∈ IR2: xy < 1} `e aperto. -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 -5 -2,5 2,5 5 L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: 3x2+ y2< 3} ∪ {(x , y ) ∈ IR2: y =√ 3 − 3x2} non `e n´e aperto n´e chiuso. -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 -2,4 -1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e aperto comunque si fissi (x0, y0) ∈ IR2e r > 0.
-0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1 L’insieme A = {x , y ) ∈ IR2: xy < 1} `e aperto. -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 -5 -2,5 2,5 5 L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: 3x2+ y2< 3} ∪ {(x , y ) ∈ IR2: y =√ 3 − 3x2} non `e n´e aperto n´e chiuso. 2,4 3,2
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e aperto comunque si fissi (x0, y0) ∈ IR2e r > 0.
-0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1 L’insieme A = {x , y ) ∈ IR2: xy < 1} `e aperto. -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 -5 -2,5 2,5 5 L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: 3x2+ y2< 3} ∪ {(x , y ) ∈ IR2: y =√ 3 − 3x2} non `e n´e aperto n´e chiuso. -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 -2,4 -1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto limitato se esiste R > 0 tale che A ⊂ B(x0, y0; R).
Osservazione
Dalla definizione segue che
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che k(x, y )k ≤ K per ogni (x, y ) ∈ A.
ovvero, detto in un altro modo,
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che A ⊂ B(0, 0; K + 1).
Infatti, se A `e limitato esiste un cerchio B(x0, y0; R) che contiene tutti gli elementi di A.
Pertanto, usando la disuguaglianza triangolare si ottiene
k(x, y )k ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k + k(x0, y0)k < k(x0, y0)k + R, per ogni (x , y ) ∈ A.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto limitato se esiste R > 0 tale che A ⊂ B(x0, y0; R).
Osservazione
Dalla definizione segue che
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che k(x, y )k ≤ K per ogni (x, y ) ∈ A.
ovvero, detto in un altro modo,
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che A ⊂ B(0, 0; K + 1).
Infatti, se A `e limitato esiste un cerchio B(x0, y0; R) che contiene tutti gli elementi di A.
Pertanto, usando la disuguaglianza triangolare si ottiene
k(x, y )k ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k + k(x0, y0)k < k(x0, y0)k + R, per ogni (x , y ) ∈ A.
Quindi si ha la tesi con K = k(x0, y0)k + R. Il viceversa `e immediato prendendo (x0, y0) = (0, 0) ed R = K + 1.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto limitato se esiste R > 0 tale che A ⊂ B(x0, y0; R).
Osservazione
Dalla definizione segue che
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che k(x, y )k ≤ K per ogni (x, y ) ∈ A.
ovvero, detto in un altro modo,
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che A ⊂ B(0, 0; K + 1).
Infatti, se A `e limitato esiste un cerchio B(x0, y0; R) che contiene tutti gli elementi di A.
Pertanto, usando la disuguaglianza triangolare si ottiene
k(x, y )k ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k + k(x0, y0)k < k(x0, y0)k + R, per ogni (x , y ) ∈ A.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto limitato se esiste R > 0 tale che A ⊂ B(x0, y0; R).
Osservazione
Dalla definizione segue che
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che k(x, y )k ≤ K per ogni (x, y ) ∈ A.
ovvero, detto in un altro modo,
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che A ⊂ B(0, 0; K + 1).
Infatti, se A `e limitato esiste un cerchio B(x0, y0; R) che contiene tutti gli elementi di A.
Pertanto, usando la disuguaglianza triangolare si ottiene
k(x, y )k ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k + k(x0, y0)k < k(x0, y0)k + R, per ogni (x , y ) ∈ A.
Quindi si ha la tesi con K = k(x0, y0)k + R. Il viceversa `e immediato prendendo (x0, y0) = (0, 0) ed R = K + 1.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto limitato se esiste R > 0 tale che A ⊂ B(x0, y0; R).
Osservazione
Dalla definizione segue che
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che k(x, y )k ≤ K per ogni (x, y ) ∈ A.
ovvero, detto in un altro modo,
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che A ⊂ B(0, 0; K + 1).
Infatti, se A `e limitato esiste un cerchio B(x0, y0; R) che contiene tutti gli elementi di A.
Pertanto, usando la disuguaglianza triangolare si ottiene
k(x, y )k ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k + k(x0, y0)k < k(x0, y0)k + R, per ogni (x , y ) ∈ A.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto limitato se esiste R > 0 tale che A ⊂ B(x0, y0; R).
Osservazione
Dalla definizione segue che
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che k(x, y )k ≤ K per ogni (x, y ) ∈ A.
ovvero, detto in un altro modo,
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che A ⊂ B(0, 0; K + 1).
Infatti, se A `e limitato esiste un cerchio B(x0, y0; R) che contiene tutti gli elementi di A.
Pertanto, usando la disuguaglianza triangolare si ottiene
k(x, y )k ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k + k(x0, y0)k < k(x0, y0)k + R, per ogni (x , y ) ∈ A.
Quindi si ha la tesi con K = k(x0, y0)k + R. Il viceversa `e immediato prendendo (x0, y0) = (0, 0) ed R = K + 1.
Definizione
Un insieme A ⊆ IR2`e detto limitato se esiste R > 0 tale che A ⊂ B(x0, y0; R).
Osservazione
Dalla definizione segue che
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che k(x, y )k ≤ K per ogni (x, y ) ∈ A.
ovvero, detto in un altro modo,
un insieme A `e limitato se, e solo se, esiste una costante positiva K tale che A ⊂ B(0, 0; K + 1).
Infatti, se A `e limitato esiste un cerchio B(x0, y0; R) che contiene tutti gli elementi di A.
Pertanto, usando la disuguaglianza triangolare si ottiene
k(x, y )k ≤ k(x, y ) − (x0, y0)k + k(x0, y0)k < k(x0, y0)k + R, per ogni (x , y ) ∈ A.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato,non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e
non `e aperto. Vediamo che `e illimitato. I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0.
I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Esempio
L’insieme B(x0, y0; r ) `e (ovviamente!!) limitato per ogni (x0, y0) ∈ IR2e ogni r > 0.
Un qualsiasi intorno A di ∞ non`e limitato.
I Se A `e un intorno di ∞, esiste r > 0 tale che C(B(0, 0; r )) ⊂ A.
I Quindi A contiene tutti i punti (x , y ) ∈ IR2tali che k(x , y )k ≥ r il che ovviamente contraddice la limitatezza.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x > 0, y > 0, xy ≤ 1} non `e limitato, non `e chiuso e non `e aperto. Vediamo che `e illimitato.
I Infatti (M, 1/M) ∈ A per ogni M > 0. I Inoltre k(x , 1/x )k ≥ x ,
e quindi A 6⊂ B(0, 0; R) per ogni R > 0.
L’insieme A = {(x , y ) ∈ IR2: x ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ y ≤ x2} `e limitato. Infatti, se (x , y ) ∈ A, si ha k(x, y )k2 = x2+ y2≤ 1 + 1 = 2. Quindi A ⊂ B(0, 0; K ) con K =√ 2.
Definizione
Un punto (x0, y0) `e detto di accumulazione per A se per ogni r > 0 (B(x0, y0; r )\{(x0, y0)}) ∩ A 6= ∅.
Analogamente, si dice che ∞ `e di accumulazione per A se, per ogni R > 0, A ∩ C(B(0, 0; R)) 6= ∅.
Osservazione
Un punto (x0, y0) ∈ IR2di accumulazione per A pu`o appartenere ad A, ma pu`o anche non appartenere ad A.
Se (x0, y0) `e un punto interno di A, allora `e di accumulazione per A. L’insieme Q di tutti i punti di accumulazione dell’insieme B(x0, y0; r ) `e Q = B(x0, y0; r ) ∪ ∂B(x0, y0; r ).
Definizione
Un punto (x0, y0) `e detto di accumulazione per A se per ogni r > 0 (B(x0, y0; r )\{(x0, y0)}) ∩ A 6= ∅.
Analogamente, si dice che ∞ `e di accumulazione per A se, per ogni R > 0,
A ∩ C(B(0, 0; R)) 6= ∅.
Osservazione
Un punto (x0, y0) ∈ IR2di accumulazione per A pu`o appartenere ad A, ma pu`o anche non appartenere ad A.
Se (x0, y0) `e un punto interno di A, allora `e di accumulazione per A. L’insieme Q di tutti i punti di accumulazione dell’insieme B(x0, y0; r ) `e Q = B(x0, y0; r ) ∪ ∂B(x0, y0; r ).
Definizione
Un punto (x0, y0) `e detto di accumulazione per A se per ogni r > 0 (B(x0, y0; r )\{(x0, y0)}) ∩ A 6= ∅.
Analogamente, si dice che ∞ `e di accumulazione per A se, per ogni R > 0,
A ∩ C(B(0, 0; R)) 6= ∅.
Osservazione
Un punto (x0, y0) ∈ IR2di accumulazione per A pu`o appartenere ad A, ma pu`o anche non appartenere ad A.
Se (x0, y0) `e un punto interno di A, allora `e di accumulazione per A. L’insieme Q di tutti i punti di accumulazione dell’insieme B(x0, y0; r ) `e Q = B(x0, y0; r ) ∪ ∂B(x0, y0; r ).
Definizione
Un punto (x0, y0) `e detto di accumulazione per A se per ogni r > 0 (B(x0, y0; r )\{(x0, y0)}) ∩ A 6= ∅.
Analogamente, si dice che ∞ `e di accumulazione per A se, per ogni R > 0,
A ∩ C(B(0, 0; R)) 6= ∅.
Osservazione
Un punto (x0, y0) ∈ IR2di accumulazione per A pu`o appartenere ad A, ma pu`o anche non appartenere ad A.
Se (x0, y0) `e un punto interno di A, allora `e di accumulazione per A.