Insiemi dotati di struttura

Prerequisiti

• Concetto di relazione binaria • Concetto di operazione binaria • Operazioni aritmetiche elementari • Proprietà delle operazioni

• Insiemi e operazioni con essi • Calcolo proposizionale Obiettivi

• Astrarre il concetto di operazione binaria. • Comprendere il concetto di struttura algebrica.

• Comprendere l'importanza che un dato insieme sia una struttura algebrica. • Conoscere le più importanti strutture algebriche.

• Comprendere il concetto di strutture isomorfe. Contenuti

• Operazioni binarie e loro proprietà • Strutture algebriche

• Gruppi

• Anelli, corpi e campi • Isomorfismi

Parole Chiave

Elemento neutro – Elemento simmetrico – Gruppoide – Semigruppo – Gruppo – Anello – Corpo – Campo Sottogruppo – Subanello – Divisore dello zero – Dominio di integrità – Isomorfismo – Gruppo ciclico

C. Di Stefano, Le Matematiche – Capitolo 1 Unità 3

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Richiamiamo le Conoscenze

Operazioni binarie e loro proprietà

Ricordiamo brevemente alcuni concetti indispensabili per lo svolgimento di questa unità didattica.

Diciamo prodotto cartesiano di due insiemi A e B, che indichiamo con A × B, l'insieme delle coppie ordina-te in cui il primo elemento appartiene d A e il secondo a B.

Per esempio considerando A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4}, si ha:

A × B = {(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4)}. Per la stessa definizione di prodotto cartesiano è evidente la validità del seguente teorema: Se A ha n elementi e B ha m elementi, allora A x B ha n ⋅ m elementi.

Spesso risulta più interessante considerare il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso, che in questo caso indichiamo come nella moltiplicazione ordinaria fra numeri, usando le potenze:

A × A = A², A × A × A = A × A² = A³.

Relazioni binarie

Diciamo relazione binaria definita su un insieme A e a valori in un insieme B, una legge di natura qual-siasi che a un elemento di A associa un elemento di B.

Ad alcune relazioni binarie diamo un nome speciale.

Diciamo operazione binaria definita su insieme A, una relazione binaria R: A × A → A.

Le più comuni operazioni binarie sono le operazioni aritmetiche, come la somma fra numeri reali, che ap-punto alla coppia (1, 2), per esempio, associa il numero 3.

Alcune operazioni binarie verificano delle proprietà che semplificano i calcoli. Vediamo le più comuni. Quando calcoliamo per esempio 3 + 2 + 4, anche se ci sembra che il risultato 9 sia stato calcolato con un'u-nica operazione, ciò non è affatto vero, dato che la somma è definita solo fra due numeri e non fra tre: in ef-fetti abbiamo calcolato prima 3 + 2, ottenendo 5 e poi abbiamo sommato a esso 4, arrivando a 9.

Avremmo potuto ottenere lo stesso risultato anche con la sequenza 3 + (2 + 4) → 3 + 6 → 9.

Ciò accade per la somma di tutte le terne di numeri reali ed è perciò una proprietà valida per l'operazione di somma nell'insieme dei numeri reali.

Più in generale diciamo che l'operazione *, definita sull'insieme A, gode della proprietà associativa se vale la seguente uguaglianza: (a * b) *c = a * (b * c) , ∀ a, b, c ∈ A.

Un'altra proprietà valida per alcune operazioni binarie è quella per la quale, per esempio, si ha 5 ⋅ 7 = 7 ⋅ 5,

ossia quella che ci permette di scambiare fra loro l'ordine degli elementi coinvolti nell'operazione. Quindi diciamo che l'operazione *, definita sull'insieme A, gode della proprietà commutativa se vale la seguente uguaglianza: a * b = b * a, ∀ a, b ∈ A.

Un’ulteriore proprietà, sfruttata soprattutto nel calcolo mentale, lega fra loro due operazioni binarie, definite sullo stesso insieme.

Se dobbiamo calcolare, per esempio, 12 ⋅ 34, preferiamo pensare all'operazione come a 12 ⋅ (30 + 4). Ma tale operazione può anche scriversi: 12 ⋅ 30 + 12 ⋅ 4; in tal modo abbiamo a che fare con moltiplicazioni più semplici da calcolare a mente. Scriviamo perciò 360 + 48 = 408.

Tale proprietà consente quindi di distribuire la moltiplicazione rispetto alla somma.

Diciamo che l'operazione * è distributiva rispetto all'operazione &, entrambe definite sull'insieme A, se va-le la seguente uguaglianza: a * (b & c) = (a * b) & (a * c), ∀ a, b, c ∈ A.

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Verifiche

Lavoriamo insieme

Nell'insieme N definiamo l'operazione, che indichiamo con il simbolo *, con la legge n * m = n + 2m. Così per esempio 2*5 = 2 + 2 ⋅ 5 = 2 + 10 = 12.

Livello 1

1. Considerando l’operazione definita nell’angolo Lavoriamo insieme, calcolare i risultati delle seguenti operazioni: a) 3*7; b) 5*0; c) 0*5; d) 12*2. [a) 17; b) 5; c) 10; d) 16] 2. Definiamo l'operazione, indicata con &, in modo che sia m & n = 5m + 2n. Calcolare il risultato delle seguenti operazioni: a) 5&3; b) 6&0; c) 0&6; d) 7&7; e) 3&5. [a) 31; b) 30; c) 12; d) 49; e) 25] 3. Definiamo l'operazione, indicata con ∝, in modo che sia m ∝ n = m² – n². Calcolare:

a) 3∝2; b) –2 ∝ 1; c) –3 ∝ –2; d) 1 ∝ 0 [a) 5; b) 3; c) 5; d) 1] 4. Data l’operazione b a b a b a + ⋅ = Θ , calcolare: a) 3 Θ 5; b) 0 Θ 1; c) –2 Θ –1; d) ½ Θ 2/3 [a) 15/8; b) 0; c) – 2/3; d) 2/7] 5. Data l’operazione a ⊗ b = max(a, b), che determina il massimo tra due numeri, calcolare:

a) –2 ⊗ 5; b) 4 ⊗ 0; c) –7 ⊗ (–7); d) ¾ ⊗ –5/2 [a) 5; b) 4; c) –7; d) 3/4] 6. Data l’operazione a ⊕ b = min(a, b), che determina il minimo tra due numeri, calcolare:

a) 8 ⊕ (–2); b) –3 ⊕ (–5); c) 0 ⊕ (–1); d) –4/3 ⊕ –5/4 [a) –2; b) –5; c) –1; d) –4/3] Lavoriamo insieme

Consideriamo l'operazione già definita nel box precedente n * m = n + 2m, vogliamo calcolare il risultato dell’operazione (1 * 2) * 3. Poiché non sappiamo se l'operazione è associativa dobbiamo seguire l'ordine stabilito dalle parentesi. (1*2)*3 = (1 + 2⋅2)*3 = (1 + 4) * 3 = 5 * 3 = 5 + 6 = 11.

Livello 2 7. Data l’operazione b a b a b a + − = Θ , calcolare: a) (–4 Θ 1) Θ –2; b) (3 Θ 0) Θ 0; c) –2/3 Θ (2/3 Θ 3/4) [a) –11; b) 1; c) 31/37] 8. Data l’operazione b a b a b a + − = ⊗ 2 2 _{, calcolare: a) (3 ⊗ 5) ⊗ 0; b) –3 ⊗ (0 ⊗ –4); c) –½ ⊗ (3/7 ⊗ 2/9)} [a) ½; b) –1/8; c) 32/69]

Tenuto conto che max(a, b) calcola il massimo fra i numeri a e b e min(a, b) calcola il minimo fra i nu-meri a e b, semplificare le seguenti espressioni

9. max(max(1, min(2, 3)), min(4, min(1, 5))) [2] max(min(1, max(2, 3)), min(4, max(1, 5))) [4] 10. min(max(1, max(2, 3)), max(4, min(1, 5))) [3] max(max(1, max(2, 3)), max(4, max(1, 5))) [5] 11. min(min(1, min(2, 3)), min(4, min(1, 5))) [1] 12. Definita una nuova operazione, indicata con £, in modo che sia m £ n = m – 2n. Trovare almeno due

numeri naturali m ed n per cui si abbia m £ n = 0. [(2, 1), (4, 2), (6, 3), ...] 13. Definita una nuova operazione, indicata con ∇, in modo che sia m ∇ n = 2m + 3n, determinare, se esi-ste, almeno un numero n per cui si ha n∇n = n². [0, 5] 14. Data l’operazione (a; b) Φ (c; d) = (a – c; b + d), definita in ℝ2, calcolare: a) (2; 1) Φ (1; 2); b) (1; 0)

Φ (0; –2); c) (3; 2) Φ (–4; 5); d) (½; 1) Φ (2/3; –1/4) [a) (1; 3); b) (1; –2); c) (7; 7); d) (–1/6; ¾)]

Livello 3

15. Definiamo la seguente operazione ternaria [a; b; c] = ab

– b^c + ca. calcolare:

a) [1; –1; 2]; b) [–1; 1; 2]; c) [2; –1; 1]; d) [2; 1; –1]; e) [1; 1; 0] [a) 2; b) –3/2; c) 5/2; d) 2; e) 0] 16. Definita l'operazione x ⊗ y = 4x – 3y + xy, risolvere le seguenti equazioni: a) 3 ⊗ y = 12; b) x ⊗ 3 =

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17. Definita una nuova operazione, indicata con ♣, in modo che sia m ♣ n = m – n + 1, determinare, tutti i numeri n ed m per cui si ha n♣m = m♣n. [m = n] Lavoriamo insieme

Riconsideriamo l’operazione * definita nei precedenti box Lavoriamo insieme, possiamo dire che è commu-tativa? Proviamo con un esempio. Avevamo già visto che 2 * 5 = 12. Quanto fa 5*2? 5 + 2 ⋅ 2 = 5 + 4 = 9 Il risultato è diverso dal precedente, quindi l’operazione non è commutativa.

Stabilire quali fra le seguenti operazioni verificano la proprietà commutativa.

Livello 1

18. Operazioni logiche [Tutte, tranne l'implicazione materiale] Composizione di simmetrie assiali [No] 19. Prodotto cartesiano tra insiemi [No] Composizione di traslazioni [Sì] 20. Operazioni insiemistiche [Tutte, tranne la differenza] b

a≻b= a [No] a^b [No] Livello 2 21. a) a b ^{a b} a b ⋅ Θ = + ; b) a b ^{a b} a b + Λ = ⋅ ; c) a b ^{a b} a b − Ξ = + [a)Sì; b)Sì;c)No,p.e. 2Ξ1 = 1/3, 1Ξ2 = – 1/3]

22. a) x⊗y = max(x, y); b) x⊕y = min(x, y); c)

2 a b

a∝b= ⁺ ; b) x♥y = (x+1)⋅(y+1)–1 [a) Sì;b)Sì;c)Sì;d)Sì]

Livello 3

23. Composizione di isometrie [No] Composizione di omotetie [Sì] Lavoriamo insieme

Riprendiamo in considerazione l'operazione n * m = n + 2m. Vogliamo vedere se è associativa. Consideria-mo intanto un esempio. VediaConsideria-mo i risultati di (1 * 2) * 3 e di 1 * (2 * 3).

(1 * 2) * 3 = (1 + 2 ⋅ 2) * 3 = 5 * 3 = 5 + 2 ⋅ 3 = 5 + 6 = 11 1 * (2 * 3) = 1 * (2 + 2 ⋅ 3) = 1 * 8 = 1 + 2 ⋅ 8 = 1 + 16 = 17

Avendo ottenuto risultati diversi, possiamo concludere che l’operazione non è associativa.

Stabilire quali fra le seguenti operazioni verificano la proprietà associativa.

Livello 1

24. b

a≻b= a [No] Elevamento a potenza [No] Operazioni insiemistiche [Tutte, tranne la differenza] 25. Prodotto cartesiano tra insiemi [Sì] Operazioni logiche [Tutte, tranne l'implicazione materiale]

Livello 2 26. a) a b ^{a b} a b ⋅ Θ = + ; b) a b ^{a b} a b + Λ = ⋅ ; c) a b ^{a b} a b − Ξ =

+ ; d) x⊗y = max(x, y) [a) Sì; b) No; c) No; d) Sì]

27. a) x⊕y = min(x, y); b)

2 a b

a∝b= ⁺ ; c) x♥y = (x + 1) ⋅ (y + 1) – 1 [a) Sì; b) No; c) Sì] 28. Composizione di isometrie [Sì] Composizione di omotetie [Sì] Lavoriamo insieme

Consideriamo le operazioni max(a, b) e min(a, b), che determinano rispettivamente il massimo e il minimo fra due numeri. Vogliamo vedere se una delle due è distributiva rispetto alle altre.

In generale * è distributiva rispetto a & se vale la seguente uguaglianza:

a * (b & c) = (a * b) & (a * c), ∀a,, b, c

Nel nostro caso quindi deve aversi, per la distributività di max rispetto a min:

max(a, min(b, c)) = min(max(a, b), max(a, c)). Prima di ragionare su elementi generici proviamo su dei numeri, per esempio 1, 2, 3.

max(1, min(2, 3)) = max(1, 2) = 2 ; min(max(1, 2), max(1, 3)) = min(2, 3) = 2.

Naturalmente il fatto che per questi valori la proprietà è vera non ci permette di dire che essa è vera sempre. Consideriamo allora tutte le possibilità, dipendenti dall'ordine con cui si presentano ab e c. Possiamo avere

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uno dei 6 seguenti ordini, a≥b ≥c; a≥c ≥b; b≥a ≥c; b≥c ≥a; c≥a ≥b; c≥b ≥a. Basta allora ripetere i calcoli effettuati per la terna (1, 2, 3) per le altre cinque terne

(1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Lasciamo il compito per esercizio, suggerendo di osservare che non è necessario effettuare tutte e cinque le verifiche, perché ...

Livello 3

29. Possiamo dire che max è distributiva rispetto a min? [Sì] 30. Possiamo dire che min è distributiva rispetto a max? [Sì] 31. Stabilire rispetto a quali delle rimanenti operazioni insiemistiche l'unione è distributiva. [Intersezione] 32. Stabilire rispetto a quali delle rimanenti operazioni insiemistiche l'intersezione è distributiva. [Unione] 33. Stabilire rispetto a quali delle rimanenti operazioni insiemistiche la differenza simmetrica è distributi-va. [Nessuna] 34. Stabilire rispetto a quali delle rimanenti operazioni insiemistiche la differenza è distributiva. [Nessuna] 35. Stabilire rispetto a quali delle rimanenti operazioni logiche la congiunzione è distributiva.

[Tutte tranne l'implicazione e la coimplicazione]

36. Stabilire rispetto a quali delle rimanenti operazioni logiche la disgiunzione inclusiva è distributiva. [Tutte, tranne la disgiunzione esclusiva]

37. Stabilire rispetto a quali delle rimanenti operazioni logiche la disgiunzione esclusiva è distributiva. [Nessuna] 38. Stabilire rispetto a quali delle rimanenti operazioni logiche l’implicazione materiale è distributiva.

[Tutte tranne la disgiunzione esclusiva] 39. Stabilire rispetto a quali delle rimanenti operazioni logiche la coimplicazione è distributiva. [Nessuna]

L’angolo di Derive

Supponiamo di voler stabilire se una data operazione è commutativa o associativa.

Come si vede, intanto con l'immissione #1 abbiamo definito un'operazione, poi abbiamo calcolato la diffe-renza fra le espressioni x * y e y *x, dato che il risultato, #3, non è 0, possiamo dire che l'operazione non è commutativa. Analogo discorso per l'associatività, #4, il risultato #5 ci permette di dire che l'operazione non è neppure associativa.

Di seguito vediamo come verificare l'eventuale distributività di una proprietà rispetto all'altra.

I risultati #4 e #6, dimostrano che nessuna delle due operazioni è distributiva rispetto l'altra. In #7 effettuia-mo una verifica numerica della mancata distributività.

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Strutture algebriche

I matematici non studiano gli oggetti, ma le relazioni tra ogget-ti; è perciò loro indifferente sostituire degli oggetti con altri, purché le relazioni non varino. La materia non li interessa, è solo la forma che li attira. Henri Poincaré Il problema

Diversi sono gli insiemi con i quali si tratta nelle matematiche, da quelli numerici (i naturali, gli interi relati-vi, i razionali, i reali) a quelli i cui elementi sono altre entità (i poligoni, gli insiemi astratti, le trasformazioni geometriche, le matrici, ...). Su ciascuno di questi insiemi definiamo delle relazioni che legano fra loro ele-menti (sommiamo numeri, uniamo insiemi, componiamo trasformazioni, moltiplichiamo matrici, ...), ossia definiamo delle operazioni.

Ci chiediamo: queste operazioni sono del tutto diverse tra loro, dato che coinvolgono elementi diversi, oppu-re hanno qualcosa che le accomuna?

In questa unità vogliamo andare alla ricerca di affinità tra operazioni, con l'intento di inquadrare gli insiemi sui quali definiamo operazioni in ambiti più generali, in modo da poter studiare in modo più mirato gli stessi insiemi. Una delle prime cose che notiamo è che le operazioni con le quali abbiamo a che fare sono delle leggi che a una coppia di elementi, associano, ove possibile, un terzo elemento. Le operazioni più comuni sono di tipo binario.

Prima di procedere, stabiliamo delle notazioni per insiemi sui quali lavoreremo più frequentemente. Notazione 1

Indichiamo con

Z_n[x] l'insieme dei polinomi di grado n in una sola incognita, x, a coefficienti numeri interi. Q_n[x] l'insieme dei polinomi di grado n in una sola incognita, x, a coefficienti numeri razionali. R_n[x] l'insieme dei polinomi di grado n in una sola incognita, x, a coefficienti numeri reali.

Zn = {[0], [1], ..., [n – 1]}, l'insieme delle classi resto modulo n, ossia di tutti i numeri interi raggruppati a seconda del resto della loro divisione per il numero intero n.

M_n = {n, 2n, 3n, …, m ⋅ n, …}, l’insieme dei multipli del numero naturale n L = l’insieme delle proposizioni logiche.

Esempio 1

• Sommare due numeri equivale ad associare a due elementi, non per forza distinti, di un insieme numerico un terzo elemento, detto somma dei due numeri. Per esempio scrivendo 3 + 7 = 10, vogliamo indicare che alla coppia (3, 7) associamo il numero 10.

• Intersecare due insiemi, A e B, vuol dire associare alla coppia (A, B) un terzo insieme C, che potrebbe an-che essere vuoto, i cui elementi sono gli eventuali elementi comuni ad A e B.

• L'operazione di disgiunzione esclusiva fra due proposizioni logiche, equivale ad associare alle proposi-zioni logiche p e q, la proposizione r = p ∨ɺ q, che risulta vera se esattamente una delle due proposizioni è vera.

L'esempio precedente ci ha mostrato dei fatti comuni a tre distinte operazioni binarie definite su insiemi i cui elementi sono entità matematiche del tutto diverse tra loro (numeri, insiemi astratti, proposizioni logiche). Notiamo innanzitutto che a una coppia di numeri naturali la somma ha associato un numero naturale; a due insiemi astratti l'intersezione ha associato un insieme astratto; a due proposizioni logiche la disgiunzione e-sclusiva ha associato una proposizione logica. Ossia le operazioni che abbiamo visto nell'Esempio 1 sono in qualche modo garanti dell'insieme su cui operano, nel senso che generano prodotti che sono dello stesso tipo dei componenti.

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Occorre però tenere presente che non sempre è così. Lavorando opportunamente certi materiali possiamo in-fatti ottenere prodotti che, pur contenendo in sé i componenti iniziali, si configurano come diversi. Tutti gli elementi chimici composti, come per esempio l'acqua, sono altro rispetto ai loro componenti (nel caso del-l'acqua idrogeno e ossigeno). Ciò accade anche per certe operazioni e per certi insiemi.

Esempio 2

• L'operazione di differenza definita nell'insieme dei numeri naturali non sempre genera numeri naturali. Per esempio alla coppia (3, 7) associa il numero 3 – 7 = – 4 ∉ N.

• Moltiplicando due numeri primi non otteniamo mai un numero primo. Per esempio, indicando con P l’insieme dei numeri primi si ha: (2, 3) ∈ P² e 2 ⋅ 3 ∉ P.

Visto quel che abbiamo appena mostrato, risulta importante distinguere le operazioni conservative da quelle che invece non lo sono.

Definizione 1

Diciamo che un'operazione binaria * è interna su un insieme A o anche che l'insieme A è chiuso rispetto al-l'operazione *, o ancora che l'insieme A è un gruppoide, se a ogni coppia di elementi di A * associa sempre un elemento di A. In simboli: a * b = c ∈ A, ∀ (a, b) ∈ A².

Notazione 2

Un insieme A che risulta gruppoide rispetto all'operazione binaria *, si indica con il simbolo (A, *).

Esempio 3

• Gli insieme numerici classici (naturali, interi relativi, razionali, reali),sono gruppoidi sia rispetto all'ope-razione di somma che a quella di prodotto. Possiamo perciò scrivere:

• (N, +), (N, ⋅), (Z, +), (Z, ⋅), (Q, +), (Q, ⋅), (R, +) e (R, ⋅).

• L'insieme L delle proposizioni logiche è chiuso rispetto a tutte le operazioni logiche binarie

Per verificare più facilmente se un dato insieme è o no un gruppoide, specie se l'insieme ha cardinalità finita e relativamente bassa, conviene costruire una tabella delle operazioni.

Esempio 4

• Vogliamo vedere se l'insieme {1, 2, 3}, con l'ordinaria addizione è un gruppoide.

Visto che nella tabella sono presenti non appartenenti all'insieme (4, 5, 6), possiamo dire che esso non è un gruppoide.

• Sull'insieme Z consideriamo la seguente operazione a 3

≡ b, il cui risultato è dato dal resto della divisione (a – b) : 3. Così per esempio 12 ≡³ 5 = 1, perché il resto di (12 – 5) : 3 = 7 : 3 è 1; –5 ≡³ –2 = 0, perché il resto di ( – 5–(–2)) : 3 = –3:3 è 0; –8 ≡³ 2 = 2, perché il resto non negativo di (–8 – 2) : 3 = – 10 : 3 è 2 e infatti –10 = 3 ⋅ (–4) + 2.

In questo modo, dato che i resti non negativi sono solo 0, 1 e 2, abbiamo definito una relazione di equiva-lenza su Z. Così Z si può suddividere nei seguenti insiemi di elementi fra loro equivalenti: i multipli di 3 ({3, 6, 9, 12, ...}); gli interi che divisi per 3 hanno resto 1 : [1] = {…, –5, –2, 1, 4, 7, 10, ...}; gli interi che

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divisi per 3 hanno resto 2 : [2] = {…, –4, –1, 2, 5, 8, 11, ...}. Possiamo quindi rappresentare Z con il se-guente insieme finito {[0], [1], [2]}. Su questo insieme consideriamo l'ordinaria addizione.

Per costruire la tabella operatoria basta considerare i resti delle divisioni (a – b) : 3, con a e b che variano

da 0 a 2. Abbiamo così: Spieghiamo brevemente cosa sta accadendo. Sommiamo i

valori nel modo consueto, così per esempio [2] + [3] = [5], ma 5 nella divisione per 3 ha lo stesso resto di 2, quindi [5] = [2]. Concludiamo dicendo che l'insieme (Z3, +) delle classi resto modulo 3 è un gruppoide.

Un'altra cosa che notiamo è che per certe operazioni e su certi insiemi alcuni elementi, come il numero 1 per la moltiplicazione e lo 0 per l'addizione, hanno un comportamento che in qualche modo li distingue dagli al-tri. Infatti se sommiamo due numeri reali, nessuno dei quali è 0, la somma è un numero diverso da entrambi gli addendi, ciò non accade invece se uno degli addendi è 0. Cioè lo 0 ha un comportamento neutrale, il suo apporto alla somma è inesistente, nullo.

Vediamo di astrarre quindi questa proprietà dello 0 per l'addizione e dell'1 per la moltiplicazione.

Definizione 2

• Dato un gruppoide (A, *), diciamo che l'elemento u∈A è un elemento neutro sinistro per l'operazione *, se si ha: u * a = a, ∀a∈A.

• Dato un gruppoide (A, *), diciamo che l'elemento u∈A è un elemento neutro destro per l'operazione *, se si ha: a * u = a, ∀a∈A.

• Dato un gruppoide (A, *), diciamo che l'elemento u ∈A è un elemento neutro per l'operazione *, se si ha: u * a = a * u = a, ∀a∈A.

L'avere distinto il verso di applicazione dell'elemento neutro dipende dal fatto che in generale le operazioni non sono commutative, cioè non è detto che a * b = b * a, per esempio la sottrazione o la divisione in ℝ non lo sono.

Esempio 5

• L'elemento neutro per l'operazione di unione fra insiemi è ovviamente l'insieme vuoto, ∅, ed è sia destro che sinistro, dato che l'operazione in questione è commutativa. Si ha cioè A∪∅ = ∅∪A = A, ∀A.

• Non ha invece elemento neutro, né destro, né sinistro, l'operazione di intersezione; infatti entrambe le e-quazioni, nell'incognita l'insieme X, A∩X = A e X∩A = A, sono indeterminate: A∩X = A ⇒ A⊆X. Così per esempio: {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3}; ma anche {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3, 74, 1111, 23 334} = {1, 2, 3}. Stesso discorso per l'altra equazione.

• (Z, −) ha lo zero come elemento neutro destro ma non sinistro; infatti: x – 0 = x, ∀x∈ Z, mentre 0 – x = −x, ∀x∈ Z. Dalla tabella operatoria di (Z3, +) dell'esempio precedente, possiamo dire che [0] è l'elemen-to neutro.

Vale la seguente proprietà.

Teorema 1

Se un gruppoide ( A, *) ha un elemento neutro u, questo è unico.

Dimostrazione

Ragioniamo per assurdo. Siano u e v elementi neutri distinti e sia x un generico elemento di A.

Si ha: u*x = x*u = x e v*x = x*v = x, per ogni x. Adesso applichiamo la proprietà di elemento neutro ad u, ri-spetto a v. u * v = v * u = v. Quindi u e v sono uguali. Ciò è assurdo, quindi vi è un solo elemento neutro.

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Abbiamo visto che determinare l'elemento neutro di un'operazione in un dato insieme equivale a risolvere un'equazione i cui elementi appartengono al dato insieme. Una volta che abbiamo determinato l'elemento neutro dell'operazione risulta importante determinare quegli elementi che verificano queste altre equazioni: a

* x = u o x * a = u, in cui u è appunto l'elemento neutro.

Esempio 6

• L'elemento neutro di (Z, +) sappiamo che è 0. Quindi risolvere l'equazione, nell'incognita x, z + x = 0 op-pure x + z = 0, equivale a trovare quello che chiamiamo elemento opposto di z. Così per esempio la solu-zione dell'equasolu-zione 7 + x = 0 è l'elemento –7, anch'esso appartenente a Z.

• L'elemento neutro di (Z, ⋅) è 1, ciononostante nessuna delle due equazioni seguenti ha soluzione in Z: z ⋅

x = 1, x⋅z = 1, per z = ±1. Ciò significa che quello che per la moltiplicazione chiamiamo elemento inverso

di un numero intero non è sempre un numero intero. Solo le equazioni x⋅1 = 1, 1⋅x = 1, −1⋅x = 1 e x⋅(−1) = 1 ammettono soluzioni in Z.

• Anche il gruppoide (Q, ⋅) non permette la risoluzione delle equazioni a ⋅x = 1 e x ⋅a = 1, per qualsiasi a. Infatti non hanno soluzioni le equazioni 0 ⋅ x = 1 e x⋅ 0 = 1; mentre nel gruppoide (Q \ {0}, ⋅) tutti gli e-lementi hanno inverso.

• Dalla tabella operatoria di (Z3, +) dell'Esempio 4, possiamo dire che le equazioni [x] +[1] = [0] e [1] + [x] = [0] hanno come soluzione x = [2]; viceversa le equazioni [x] +[2] = [0] e [2] + [x] = [0] hanno per

soluzione x = [1]. Quindi [1] e [2] sono fra loro simmetrici, [0] è simmetrico di se stesso. Visti i risultati dei precedenti esempi poniamo alcune definizioni.

Definizione 3

• Dato un gruppoide (A, *), dotato di elemento neutro u, diciamo che a∈A ammette elemento simmetrico

destro se l'equazione a * x = u, ammette un'unica soluzione x∈A.

• Dato un gruppoide (A, *), dotato di elemento neutro u, diciamo che a∈A ammette elemento simmetrico

sinistro se l'equazione x * a = u, ammette un'unica soluzione x∈A.

• Dato un gruppoide (A, *), dotato di elemento neutro u, diciamo che a∈A ammette elemento simmetrico se entrambe le equazioni a * x = u e x * a = u,ammettono l'unica soluzione x∈A.

Notazione 3

Dato un elemento a, il suo simmetrico si indica con a^–1.

Verifiche

Lavoriamo insieme

• Data l'operazione a * b = a – b + 2, che cosa dobbiamo fare per stabilire se è interna nell'insieme N? Dobbiamo vedere se a – b + 2 ∈ N, ∀a, b ∈ N. Facilmente si vede che l'operazione non è interna, dato che, per esempio, 2 * 5 = 2 – 5 + 2 = –1 ∉ N.

• Invece l'operazione a & b = a^b + a è interna in N. Infatti l'elevamento a potenza è interno in N, quindi a^b

C. Di Stefano, Le Matematiche – Capitolo 1 Unità 3

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Stabilire quali fra le seguenti operazioni sono interne nell'insieme su cui sono definite. Per quelle che non lo sono fornire un controesempio.

Livello 1

1. Moltiplicazione nell'insieme Np dei numeri naturali pari. [Sì] 2. Somma nell'insieme dei divisori di 3. [No, 1 + 3 = 4, non è un divisore di 3] 3. Somma nell'insieme dei numeri naturali minori di 123. [No, p. e. 2+122∉{1, 2, ..., 121, 122}] 4. Somma nell'insieme dei multipli di 18. [Sì] Sottrazione in Z. [Sì] 5. Moltiplicazione nell'insieme R^– dei numeri reali negativi. [No, p. e. (–2) ⋅ (–3) ∉ R^–] 6. Divisione nell'insieme Np dei numeri pari. [No, p. e. 8 : 6 ∉ Np = {2, 4, 6, ...}] 7. Divisione in Q. [No, p. e. 7 : 0 ∉ Q] Elevamento a potenza in Z. [No, p. e. 2 ^–1 = ½ ∉Z] 8. Elevamento a potenza nell'insieme Nd dei numeri naturali dispari. [Sì] 9. Sottrazione nell'insieme Zp dei numeri interi pari. [Sì] 10. Sottrazione nell'insieme Zd dei numeri interi dispari. [No, p.e. 3 – 3 = 0 ∉ Zd] 11. Somma nell'insieme P dei numeri primi. [No, p. e. 3 + 7 ∉ P] 12. Moltiplicazione nell'insieme dei numeri composti (cioè non primi e maggiori di 1). [Sì] 13. Moltiplicazione nell'insieme {–1, 1}. [Sì] Somma nell'insieme {–1, 0, 1}. [Sì] 14. Somma nell'insieme Z6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]}. [Sì]

Livello 2

15. Unione nell'insieme delle parti di {1, 2, 3, ..., 1000}. [Sì] 16. Intersezione nell'insieme delle parti di {1, 2, 3, ..., 1000}. [Sì] 17. Intersezione nell'insieme { {1}, {1, 2}, {1, 3}}. [Sì] 18. Differenza nell'insieme degli insiemi di cardinalità finita dispari. [No, p.e. {1,2,3}\{1} = {2,3}] 19. Differenza simmetrica nell'insieme delle parti di A = {1, 2, 3}. [Sì] 20. Disgiunzione inclusiva nell'insieme delle proposizioni logiche contraddittorie. [Sì] 21. Disgiunzione esclusiva nell'insieme delle proposizioni logiche tautologiche.

[No, la disgiunzione esclusiva di due proposizione entrambe vere è una proposizione falsa] 22. Prodotto nell'insieme Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}, con [a] × [b] = [a⋅b]. [Sì] 23. Prodotto nell'insieme dei multipli di 5. [Sì]

Livello 3

24. Determinare quali delle quattro operazioni aritmetiche elementari sono chiuse nell’insieme dei quadra-ti perfetquadra-ti: {1, 4, 9, 16, 25, …n², …}. [Solo la moltiplicazione] Lavoriamo insieme

Data l'operazione a * b = a + 2b + 7, definita in N, vogliamo vedere se ha elemento neutro, sinistro, destro o bilatere.

• Dobbiamo risolvere, in N, le equazioni seguenti nell'incognita x: a + 2x + 7 = a ⇒ 2x + 7 = 0, che non ha soluzione in N, dato che la somma di due numeri naturali non è mai zero. Quindi non c'è elemento neutro destro.

• L’equazione x + 2b + 7 = b ⇒ x = – 2b – 7, invece non ha un'unica soluzione, quindi non vi è elemento neutro sinistro.

• La stessa operazione definita in Q avrebbe elemento neutro destro, –7/2, ma continuerebbe a non avere elemento neutro sinistro.

C. Di Stefano, Le Matematiche – Capitolo 1 Unità 3

Determinare l’eventuale elemento neutro delle seguenti operazioni binarie

Livello 2

25. Unione nell'insieme delle parti di {1, 2, 3}. [∅] 26. Intersezione nell'insieme delle parti di {1, 2, 3}. [{1, 2, 3}] 27. Unione in {{1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}}. [{1}] 28. Differenza simmetrica nell'insieme delle parti di {1, 2, 3, 4}. [∅] 29. Congiunzione nell'insieme delle proposizioni logiche. [Tautologia] 30. Disgiunzione inclusiva nell'insieme delle proposizioni logiche. [Contraddizione] 31. Disgiunzione esclusiva nell'insieme delle proposizioni logiche. [Contraddizione] 32. Elevamento a potenza inR. [1 elemento neutro destro] a * b = 2 a⋅b in R \ {0}. [½] 33. a♥b = ( a + 1 ) ⋅ (b + 1) – 1 in R. [0] a♦b = a + b – 4 in R. [4] 34. a♠b = 1 1 − + b a in R \ {1} [∅] a♣b = −⁴ b a in R \ {0} [∅] 35. Massimo fra due numeri nell'insieme dei numeri naturali. [1] 36. Minimo fra due numeri nell'insieme dei numeri naturali. [∅] 37. Minimo fra due numeri nell'insieme dei numeri interi negativi. [−1]

I Gruppi

Laddove i gruppi si rivelano o possono essere introdot-ti la semplicità viene estratta dal caos.

Eric Temple Bell (1883–1960)

Il problema

Consideriamo un generico gruppoide (A, *), quali altre proprietà devono essere verificate da esso affinché possa essere una struttura algebrica interessante? Ossia affinché possa essere una struttura algebrica forte,

Nel documento Carmelo Di Stefano (pagine 80-106)