Abbiamo visto che, nel limite di volume spazio-temporale infinito, l’integrale funzionale di Feynman ci permette di calcolare i valori di aspettazione sul vuoto del prodotto di un numero qualunque di campi o, in generale, di una qualunque osservabile sviluppabile in potenze dei campi.
Ad esempio, per una teoria di campo scalare, il valore di aspettazione sul vuoto di una generica osservabile O `e dato da
hΩ|O|Ωi = R
DϕO(ϕ)e−S[ϕ]
R
Dϕe−S[ϕ] . (1.113)
Vediamo adesso come sorge un legame naturale tra la termodinamica e l’integrale funzionale. Per comprendere questa relazione riconsideriamo l’Eq. (1.43) scritta in rappresentazione di Schr¨odinger:
hqf|e−i ˆH(tf−ti)|qii =
Z q(tf)=qf
q(ti)=qi
1.9 Integrale funzionale e Termodinamica Se eseguiamo una rotazione di Wick t = −iτ , il fattore e−i ˆHtdiventa e− ˆHτ, mentre eiS diventa e−SE, come abbiamo visto nelle precedenti sezioni. Cos`ı l’Eq. (1.114)
pu`o essere riscritta come
hqf|e− ˆH(τf−τi)|qii = Z q(τf)=qf q(τi)=qi Dq(τ )e−SE[q(τ )], (1.115) dove SE = Z τf τi dτ 1 2m ˙q 2+ V (q) (1.116) rappresenta l’azione euclidea per una particella di massa m sottoposta a un po- tenziale V .
Confrontando l’espressione precedente con la funzione integranda in (1.111) ci accorgiamo che le due espressioni sono identiche a patto di identificare |qii =
|qfi = |qi e sostituire β = τf − τi. Se inoltre integriamo su tutti i possibili valori
di q otteniamo la seguente uguaglianza Z = Z dqhq|e−β ˆH|qi = Z q(0)=q(β) Dq(τ )e−SE[q(τ )]. (1.117)
Per una teoria di campo scalare, ripetendo gli stessi passi logici si trova che Z =
Z
ϕ(x,0)=ϕ(x,β)
Dϕ(τ )e−SE[ϕ(τ )], (1.118)
dove SE[ϕ(τ )] `e l’azione introdotta in (1.97). Questo significa che, se siamo
interessati alla media termodinamica di un’osservabile O in una teoria di campo a temperatura finita, si ha hOiβ = T rOe−βH T r [e−βH] = R ϕ(x,0)=ϕ(x,β)Dϕ(τ )O[ϕ]e −R d3xRβ 0 dτ LE R ϕ(x,0)=ϕ(x,β)Dϕ(τ )e −R d3xRβ 0 dτ LE (1.119)
Il risultato (1.119) `e l’analogo dell’espressione (1.113), ma con bordo temporale finito. Nel caso della QCD la funzione di partizione termodinamica `e data da
Z(β) = Z DU DψD ¯ψ exp − Z d3x Z β 0 dτ LQCD[U, ψ, ¯ψ] , (1.120)
dove, per quanto riguarda la direzione temporale, si usano condizioni al bordo periodiche (antiperiodiche) per campi bosonici (fermionici). Questa diversit`a `e dovuta al fatto che i bosoni (fermioni) soddisfano le relazioni di commutazione (anticommutazione) canoniche.
Nel caso di una teoria quantistica di campo definita su un reticolo di passo a e di estensione N3 × N
t, dove con N ed Nt indichiamo rispettivamente il numero di
siti reticolari nelle direzioni spaziali e temporali, valgono le seguenti relazioni Nta = kB1T = β,
N = ∞. (1.121)
Chiaramente, in una simulazione numerica non possiamo lavorare con estensioni spaziali infinite e quindi, per approssimare il limite termodinamico, ci si mette nelle condizioni in cui N Nt.
2 QCD su reticolo
In questo capitolo illustreremo i metodi che vengono solitamente utilizzati per discretizzare una teoria di campo. Per brevit`a, tratteremo solo i punti necessari per la comprensione di questo lavoro. Uno studio sicuramente pi`u approfondito di tali argomenti si trova, ad esempio, nei testi di Gattringer e Lang [20] e Rothe [41].
2.1 Introduzione del reticolo
Dal punto di vista formale, la funzione di Green euclidea a n punti (1.99) `e identica a una media statistica di un sistema classico che vive in uno spazio qua- dridimensionale e in cui ogni configurazione di campo `e pesata con il fattore e−S. Utilizzando il linguaggio della Meccanica Statistica, un oggetto di questo tipo prende il nome di funzione di correlazione.
Un possibile approccio per calcolare le funzioni di correlazione consiste nel rea- lizzare i seguenti step:
• Step 1: Sostituire lo spazio-tempo euclideo con un reticolo 4D di passo reticolare a e dimensione finita definito nel modo seguente:
Λ = {n = (n1, n2, n3, n4)|n1, n2, n3 = 0, 1, · · · , N −1; n4 = 0, 1, · · · , NT−1}.
(2.1) In (2.1) N denota il numero di siti reticolari nelle tre dimensioni spaziali, mentre NT rappresenta il numero di siti reticolati nella direzione temporale.
Utilizzando questa struttura, due punti adiacenti in una data direzione so- no separati, in quella direzione, da una distanza a che definisce la costante reticolare e rappresenta la nostra unit`a di misura delle distanze. La posi- zione di un oggetto nel reticolo `e identificata dal corrispondente valore n in x = an.
• Step 2: Occorre utilizzare un’azione euclidea discretizzata SE[ϕ] che, nel
tavia fare in modo che la teoria su reticolo abbia le stesse simmetrie della teoria continua: in QCD su reticolo sar`a quindi importante verificare che l’introduzione del reticolo preservi l’invarianza di gauge.
• Step 3: Estrapolare i risultati delle simulazioni nel limite del continuo (e prendere il limite di volume infinito). L’estrapolazione al continuo si esegue utilizzando le tecniche del gruppo di rinormalizzazione che verranno discusse nelle prossime sezioni.
L’introduzione del reticolo Λ fa s`ı che una configurazione di campo risulti specifi- cata da una collezione finita di variabili, ovvero il valore ϕn che il campo assume
nel punto n. Cos`ı la misura di integrazione diventa Dϕ(x) = Y
n∈Λ
dϕn. (2.2)
L’integrale funzionale viene cos`ı ridotto a un integrale multiplo, che in linea di principio pu`o essere studiato numericamente. In realt`a, la valutazione numerica di un integrale multiplo con un numero molto grande di variabili di integrazione `e pressoch´e irrealizzabile in tempi ragionevoli; esiste tuttavia una tecnica, nota con il nome di simulazione Monte Carlo, che consiste nel generare un insieme di configurazioni di campo con una distribuzione di probabilit`a e−S. In questo modo, l’integrale funzionale viene rimpiazzato da una media su questo insieme di configurazioni. Andremo un po’ pi`u nei dettagli di questa tecnica in §2.8.
Concludiamo la sezione osservando che nelle simulazioni al computer siamo co- stretti a usare reticoli di dimensione finita. D’altra parte, un sistema fisico possie- de delle scale tipiche di variazione che prendono il nome di lunghezze di correla- zione. Tali lunghezze, sono di solito uguali agli inversi delle masse delle particelle descritte dal sistema. Cos`ı, per evitare indesiderati effetti di cut-off solitamente si lavora nelle seguenti condizioni:
a ξmin,
ξmax N a, NTa.
(2.3)
In (2.3) ξmin e ξmax indicano rispettivamente le lunghezze di correlazione minime