Introduzione all’applicazione del metodo

L’obiettivo principale del lavoro è quello di ricavare il Value at Risk e l’Expected Shortfall di determinati portafogli di titoli utilizzando il metodo della simulazione Montecarlo e prendendo in esame l’ipotesi di due diverse strutture di dipendenza: una dipendenza data dall’indice di correlazione lineare ed una basata sul coefficiente di correlazione di rango. Questo sarà il filo conduttore di tutta l’analisi empirica effettuata. Come abbiamo visto nei capitoli precedenti, le strutture di dipendenza, ricoprono un ruolo di fondamentale importanza nella creazione di risultati attendibili derivanti dalla simulazione; grazie a queste, infatti, riusciamo a replicare risultati che mantengano le relazioni esistenti tra i singoli titoli.

I due diversi indici verranno implementati negli algoritmi utilizzando, rispettivamente, due metodologie, già sommariamente introdotte: una più “classica”, la quale include il coefficiente di correlazione lineare attuando una decomposizione di Cholesky, e che, sostanzialmente, non implica l’assunzione di ipotesi particolari; una più “sconosciuta”, che intende catturare meglio la dipendenza sottostante tramite l’impiego di distribuzioni multivariate particolari come le copule Archimedee; le realizzazioni ottenute con questo metodo risentono, tuttavia, di variazioni della struttura di dipendenza dovute a particolari ipotesi, nello specifico, la parziale scambiabilità; come vedremo, essa avrà un’importanza non del tutto attesa nei risultati empirici.

L’analisi è stata effettuata su più fronti. Oltre alle diverse strutture di dipendenza, sono stati scelte ulteriori diversificazioni che saranno oggetto di confronto; la comparazione principale verterà sempre sull’argomento indicato in precedenza, vedremo però quali saranno i risultati variando altre ipotesi sottostanti. In particolare, vedremo cosa accade nei seguenti casi: diversi periodi di osservazione, diversi livelli di correlazione, diverse distribuzioni, diversi pesi attribuiti ai singoli titoli dei vari portafogli, diversa quantità di titoli inseriti in portafoglio. Vediamo singolarmente ciascuna di queste situazioni.

I periodi di osservazione riguardano la raccolta dei dati storici da cui vengono ricavati i vari parametri per costruire le varie distribuzioni dei titoli. Si è cercato di prendere intervalli temporali caratterizzati da andamenti generali del mercato differenti; l’idea è quella di vedere come variano le misure di rischio in caso di situazioni “turbolente” e nel caso in cui i movimenti del mercato presentino una sostanziale “stabilità, senza brusche

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variazioni. Tenendo presenti queste considerazioni la scelta dei periodi si è mossa nelle seguenti direzioni:

• periodo “turbolento”: è stato scelto un periodo di tre anni che va dal 01/01/2007 al 01/01/2010. Questo periodo è stato caratterizzato da forti variazioni negative a livello generale; all’interno di questo intervallo è stato analizzato isolatamente un anno in particolare, il 2008, durante il quale i ribassi del mercato hanno registrato le variazioni maggiormente significative.

• periodo “stabile”: anche in questo caso, le osservazioni sono state fatte su tre anni, dal 01/01/2013 al 01/01/2016; in questo lasso di tempo l’andamento del mercato non ha avuto variazioni eccessivamente brusche.

Un’altra differenziazione circa l’analisi riguarda la scelta di titoli con livelli di dipendenza differenti. Sono stati creati, per ciascun periodo di osservazione, due portafogli con matrici di correlazione diverse: un primo portafoglio costituito interamente da titoli che presentassero un indice di correlazione abbastanza elevati tra loro, che chiameremo d’ora in avanti “portafoglio correlato”; un secondo portafoglio, denominato d’ora in avanti “portafoglio scorrelato” costituito da titoli con correlazioni maggiormente variabili, che presentasse un discreto livello di diversificazione. L’idea in questo caso è quella di osservare il comportamento delle misure di rischio in relazione al grado di diversificazione del portafoglio.

Le distribuzioni di probabilità dei singoli titoli che andremo ad ipotizzare sono quelle viste nel primo capitolo: distribuzione normale, distribuzione empirica e distribuzione t. Vedremo in che modo variano le diverse misure di rischio a seconda delle funzioni di ripartizione marginali considerate; ci aspettiamo che, con la distribuzione empirica e la distribuzione t, i risultati ottenuti mostrino livelli di rischio maggiori rispetto alla normale per via del fenomeno delle “code spesse”, quindi probabilità più alta che si manifestino valori posti agli estremi delle distribuzioni.

Anche per quanto riguarda i pesi attribuiti ai singoli titoli inseriti nel portafoglio, sono state fatte due ipotesi: una in cui i titoli presentano pesi equamente distribuiti, quindi, ad esempio, in un portafoglio di 5 titoli, ciascuno avrà una ponderazione pari ad 1

5 rispetto al totale; nella seconda ipotesi, invece, si è cercato di puntare ad una diminuzione della varianza complessiva di portafoglio; una precisazione è necessaria: non è stata cercata un’ottimizzazione circa le quantità dei singoli titoli, dunque i pesi non corrispondo al caso di minima varianza di portafoglio.

L’ultima variabile presa in considerazione riguarda il numero di titoli detenuti in portafoglio. Questo si rivelerà essere uno dei fattori più interessanti, soprattutto nella

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simulazione basata su copula archimedea; come abbiamo già spiegato, l’ipotesi di parziale scambiabilità delle variabili aleatorie risulta necessaria per ottenere i parametri che caratterizzano tele funzione; tuttavia la struttura di dipendenza che ne deriva può risultare eccessivamente “diversa” rispetto all’originale. Il numero dei titoli agisce in maniera rilevante sotto questo aspetto; a seconda della quantità, oltre ai livelli di concordanza, l’algoritmo utilizzato per includere l’ipotesi di parziale scambiabilità, modifica in modo più o meno netto la matrice degli indici 𝜏 come vedremo più avanti. Per questo, un’ulteriore diversificazione circa i diversi portafogli, è stata attuata considerando 5 o 3 titoli.

Introdotti i diversi argomenti di analisi, procediamo con la presentazione dei dati e l’esposizione dettagliata di alcuni concetti presentati nei precedenti capitoli e rimandati a trattazione successiva. Infine, mostreremo i risultati numerici.