Proposizione 4.21. Siano Y uno schema noetheriano ed E un fascio local- mente libero di rango d con fibrato proiettivo associato π : P(E) −→ Y . Se E0= E ⊗OY L, dove L `e un fascio invertibile su Y , ed indichiamo π
0
: P(E0) −→ Y , allora il morfismo surgettivo
π∗E0' π∗E ⊗ π∗L −→ OP(E)(1) ⊗ π∗L induce isomorfismi λ : P(E) −→ P(E0) e
λ∗OP(E0)(1) ' OP(E)(1) ⊗O P(E)π
∗L
Dimostrazione. Dato uno schema X −−→ Y definiamoρ PE(X) ρ∗E G PE⊗L(X) ρ∗E ⊗ ρ∗L ' ρ∗(E ⊗ L) G ⊗ ρ∗L ηL,X `
E chiaro che le composizioni ηLηL−1 e ηL−1ηL sono isomorfismi e dunque ta-
le sar`a anche ηL. Abbiamo che (P(E), ηL,P(E)(id)) = (P(E), π∗E ⊗ π∗L −→
OP(E)(1) ⊗ π∗L) `e un oggetto universale per PE0 e di conseguenza esiste un’unico
λ∗π0∗E0 λ∗O P(E0)(1)
π∗E0 O
P(E)(1) ⊗ π∗L
' '
Dato uno schema Y , introduciamo le seguenti notazioni
Indichiamo con SchIY la categoria cos`ı definita: gli oggetti sono coppie
(X, L) con X un oggetto di SchY e L un fascio invertibile su X, mentre una
freccia fra (X, L) e (X0, L0) `e una coppia (λ, τ ), dove λ `e un isomorfismo fra X ed X0 in SchY e τ : λ∗L0 −→ L `e un isomorfismo. Se (λ, τ ) :
(X, L) −→ (X0, L0), (λ0, τ0) : (X0, L0) −→ (X00, L00) sono due frecce la loro composizione `e data da (λ0◦ λ, τ ◦ λ∗τ0).
Indichiamo con LFd(Y ) la sottocategoria di Mod(Y ) i cui oggetti sono
fasci localmente liberi di rango d e le frecce sono isomorfismi.
Proposizione 4.22. Sia Y uno schema noetheriano e d un numero naturale. Allora la seguente associazione definisce un funtore pienamente fedele:
LFd(Y )op SchIY
E (P(E)−−→ Y, Oπ P(E)(1)) E−−→ Eσ 0 (λ, τ )
P
dove, detti π, π0 i fibrati associati rispettivamente a E , E0, λ : P(E0) −→ P(E) `e
il morfismo associato alla suriezione
π0∗E−−−→ ππ0∗σ 0∗E0 −→ O
P(E0)(1) (4.1)
mentre τ `e l’unico isomorfismo tale che
π0∗E π0∗E0 λ∗OP(E)(1) OP(E0)(1) π∗σ τ Dimostrazione. Definiamo PE0(X) PE(X) ησ,X ρ∗E0 L ρ∗E ρ∗E0 L ρ∗σ
ησ : PE0 −→ PE definisce un morfismo di funtori ed `e chiaro che ηid = id e, se
τ : E0 −→ E00 `e un’altro isomorfismo, allora η
τ ◦σ = ησ◦ ητ. In particolare ησ
`
e un isomorfismo. Utilizzando il lemma di Yoneda, otteniamo gli isomorfismi λ definiti nell’enunciato e pi`u in particolare un funtore da LFd(Y ) a SchY. Dato
σ : E0 −→ E l’isomorfismo τ definito nell’enunciato esiste per definizione di PE
ed inoltre `e unico per l’osservazione4.14. Che valgano le regole di composizione anche su questi ultimi isomorfismi `e ovvio. Rimane da dimostrare che il funtore P `e pienamente fedele, ossia che si ha un isomorfismo a livello delle frecce.
Iniettivit´a Dato che le frecce in entrambe le categorie sono isomorfismi pos- siamo supporre che E = E0 e mostrare che in tal caso la mappa sui gruppi di automorfismi `e iniettiva. Sia quindi ϑ : E −→ E tale che P(ϑ) = (id, id). Abbiamo un diagramma commutativo
π∗E π∗E
OP(E)(1) OP(E)(1)
π∗ϑ
id
Applicando π∗ otteniamo che ϑ `e coniugato all’identit`a e quindi sar`a tale.
Surgettivit`a Condideriamo (λ, τ ). λ `e associato alla diagonale del seguente diagramma
π0∗E π0∗E0
λ∗OP(E)(1) OP(E0)(1)
π∗σ
τ
e quello che dobbiamo far vedere `e che esistono le mappe tratteggiate. Osser- viamo che l’isomorfismo di aggiunzione fra π0∗ e π0∗
HomY(E , E0) ' HomP(E)(π 0∗E, O
P(E0))
`
e definito esattamente come in 4.1, quindi λ `e associato ad un σ : E −→ E0, che a priori non `e un isomorfismo. Allo stesso modo λ−1 sar`a associata ad un morfismo σ0: E0−→ E. Valgono ancora per`o le regole di composizione descritte sopra cos`ı che ad esempio σ ◦ σ0 induce λ−1◦ λ = id sui fibrati e sui fasci
invertibili. Ma a questo punto possiamo usare lo stesso argomento usato sopra per mostrare l’iniettivit`a, per dimostrare che σ ◦ σ0 = id, tenendo conto che, se non per ricondursi al caso E = E0, non `e mai stato usato il fatto che ϑ sia un isomorfismo.
Definizione 4.23. Dato un isomorfismo σ : E −→ E0 indicheremo con P(σ) l’isomorfismo P(E0) −→ P(E) indotto da σ sui fibrati, sottintendendo che esso agisce anche sui fasci invertibili.
Osservazione 4.24. Un isomorfismo σ : E −→ E0 induce anche un isomorfismo S E −→ S E0. Al variare degli aperti affini U su cui sia E che E0 sono liberi, avremo isomorfismi P(E|U0 ) −→ P(E|U) che si incollano a formare un isomorfismo
λ : P(E0) −→ P(E). Fissato uno di questi aperti U e scelte basi x0, . . . , xd−1,
x00, . . . , x0d−1 di rispettivamente E , E0, σ|U `e dato da una matrice A = (ai,j).
OP(E0
|U)(1), per i = 0, . . . , d − 1, ossia alla restrizione di4.1all’aperto π
0−1(U ).
Quindi P(σ) coincide con λ.
Osservazione 4.25. In generale ad un morfismo qualsiasi σ : E −→ E0non si pu`o
associare, almeno non nel modo fatto sopra, una mappa fra i rispettivi fibrati. Infatti pu`o accadere che4.1non sia surgettivo o, equivalentemente, S E −→ S E0 non soddisfi localmente la condizione necessaria affinch`e un morfismo fra anelli graduati induca un morfismo fra i rispettivi Proj. L’esempio pi`u semplice di una situazione del genere `e σ = 0.
Corollario 4.26. Sia k un campo. Allora AutkPnk ' PGln(k)
Dimostrazione. Posto X = Pnk, se λ ∈ AutkX, allora λ∗ `e un automorfismo di
Pic X =< OX(1) >' Z e quindi λ∗OX(1) `e OX(1) o OX(−1), ma il secondo
Capitolo 5
Coomologia e fasci
dualizzanti
5.1
δ funtori e funtori derivati
Vogliamo introdurre in questa sezione la nozione di funtore derivato. Procede- remo seguendo l’introduzione data in [Ha], capitolo 3.
La teoria dei funtori derivati pu´o essere sviluppata in modo del tutto generale per particolari categorie, dette categorie abeliane, che permettono di parlare di successioni esatte. Noi applicheremo i risultati di questa sezione solo ad alcune categorie, ma per aver una trattazione univoca `e comodo enunciare i teoremi nella loro forma pi`u generale. Ovviamente non c’`e pretesa di completezza, ma ogni risultato esposto in questa sezione `e facilmente riesprimibile per le categorie che useremo. Per un qualsiasi approfondimento si pu`o fare riferimento a [6]. Definizione 5.1 (Categoria abeliana, [6], pag 78). Una categoria abelianaC `e una categoria con le seguenti propriet`a:
C possiede un oggetto 0 ([6], pag 43)
dati due oggetti A, B di C l’insieme HomC(A, B) ha una struttura di
gruppo abeliano tale che la composizione sia bilineare. esistono le somme dirette finite
ogni morfismo ha un kernel ed un cokernel ([6], pag 50)
ogni morfismo iniettivo `e il kernel del proprio cokernel, ogni morfismo surgettivo `e il cokernel del proprio kernel ([6], pag 48)
ogni morfismo si decompone nella composizione di un morfismo surgettivo ed un morfismo iniettivo
Esempio 5.2 ([Ha], Capitolo 3, sezione 1). Le seguenti categorie sono abeliane: Ab, gruppi abeliani
Ab(X), fasci di gruppi abeliani su uno spazio topologico
Mod(X, OX), fasci di OX-moduli su uno spazio anulato (X, OX)
QCoh(X), fasci quasi-coerenti su uno schema X Coh(X), fasci coerenti su uno schema noetheriano X
Definizione 5.3. Un funtore F :A −→ B fra due categorie abeliane `e detto additivo se per ogni coppia di oggetti A, B diA la funzione
HomA(A, B) −→ HomB(F A, F B) `
e un omomorfismo di gruppi
Definizione 5.4. Siano A , B due categorie abeliane. Un δ-funtore da A a B `e una successione (Ti)i∈N di funtori da A a B insieme a morfismi δi :
Ti(A00) −→ Ti+1(A0) per ogni successione esatta inA della forma 0 −→ A0 −→
A −→ A00−→ 0 ed indice i > 0 tali che:
per ogni successione esatta corta come sopra si ha una successione esatta lunga 0 −→ T0(A0) −→ T0(A) −→ T0(A00) δ 0 − −→ T1(A0) −→ . . . . . . −→ Ti(A0) −→ Ti(A) −→ Ti(A00)−−→ Tδi i+1(A0) −→ . . . per ogni coppia di successioni esatte corte con un morfismo fra di esse il
seguente diagramma Ti(A00) Ti(B00) Ti+1(A0) Ti+1(B0) δi δi `e commutativo.
Un δ-funtore (Ti)i∈N si dice universale se per ogni altro δ-funtore (Ti0)i∈N
e morfismo f0 : T0 −→ T00 esiste un’unica successione di morfismi (fi)i∈N,
fi: Ti−→ Ti0, tale che, per ogni successione esatta corta, gli fi commutino con
i morfismi δi.
Osservazione 5.5. Dalla definizione segue subito che se F : A −→ B `e un funtore allora, a meno di un’unico isomorfismo che solleva id : F −→ F , esiste un unico δ-funtore (Ti)i∈N tale che T0= F . Sempre dalla definizione segue che
se (Ti)i∈N`e un δ-funtore allora T0`e esatto a sinistra.
Osservazione 5.6. Una definizione analoga pu`o essere data richiedendo l’esat- tezza a destra invece che a sinistra, ossia cambiando il verso della successione esatta lunga.
Definizione 5.7. Un funtore additivo F :A −→ B fra due categorie abeliane si dice effaceable se per ogni oggetto A di A esiste un oggetto B di A ed un morfismo iniettivo A−−→ B tale che F (u) = 0. Si dice coeffaceable se per ogniu oggetto A di A esiste un oggetto B di A ed un morfismo surgettivo B −−→ Au tale che F (u) = 0
Il teorema fondamentale per la teoria dei δ-funtori `e il seguente
Teorema 5.8 ([Ha], III teorema 1.3A). Sia T = (Ti)i∈N un δ-funtore fra le
categorie abelianeA e B. Se per ogni i > 0 il funtore Ti `e effaceable allora T
`
e universale.
Definizione 5.9. Sia A una categoria abeliana. Un oggetto I si dice iniettivo se il funtore
HomA(−, I) :A −→ Ab `
e esatto. Si dice proiettivo se HomA(I, −) `e esatto.
Si dice che la categoriaA ha abbastanza iniettivi se, dato un oggetto A di A , esiste un oggetto iniettivo I ed una mappa iniettiva A −→ I. In tal caso ogni oggetto ammette una risoluzione iniettiva.
Si dice che la categoriaA ha abbastanza proiettivi se, dato un oggetto A di A , esiste un oggetto proiettivo P ed una mappa surgettiva P −→ A. In tal caso ogni oggetto ammette una risoluzione proiettiva.
Definizione 5.10 (Funtori derivati destri). SianoA e B due categorie abeliane tali che A ha abbastanza iniettivi. Dato un funtore F : A −→ B esatto a sinistra ed i > 0 definiamo il funtore RiF :A −→ B nel modo seguente:
Dato un oggetto A di A scegliamo una sua risoluzione iniettiva I. Po- niamo RiF A = hi(F I).
Dato un morfismo A u
−
−→ B inA , scegliamo due risoluzioni iniettive IA,
IB rispettivamente di A, B. Allora esiste un sollevamento u = (ui)i∈N di
u fra le due risoluzioni e poniamo RiF u come la freccia hi(F u).
Osservazione 5.11. In modo analogo, partendo da un funtore esatto a destra e considerando risoluzioni proiettive, si possono definire i funtori derivati sinistri, che sono indicati con LiF .
Il teorema che motiva l’introduzione e lo studio dei δ-funtori `e il seguente Teorema 5.12 ([Ha], III teorema 1.1A e corollario 1.4). Siano A e B due categorie abeliane tali cheA ha abbastanza iniettivi ed F : A −→ B un funtore additivo esatto a sinistra. Allora
per ogni i > 0 il funtore RiF `e un funtore additivo ed `e, a meno di
isomorfismo, indipendente dalla scelta delle risoluzioni iniettive esiste un isomorfismo F ' R0
F la successione R F = (Ri
F )i∈N ammette frecce δi tali da rendere R F un