La velocit` a della luce

Ricordate il Postulato 2.2? Bene, proviamo a riflettere ora cosa succede all’interno di una metrica non piatta, ovvero cosa succede quando la luce `e immersa in un campo gravitazionale. In particolare, `e importante sottolineare che la luce si muove a c in un sistema di riferimento inerziale. Se ci troviamo in un campo gravitazionale, pu`o succedere che questa velocit`a vari. Innanzitutto ricordiamo che la velocit`a `e definita in un sistema di riferimento e vale ~v = d~_dtx,

47_{Alla fine della fiera `e semplicemente la matrice inversa, ma fare conti senza sapere il}

dove sia d~x che dt sono misurati nello stesso sistema di riferimento, che pu`o anche non essere inerziale.

Come definiamo quindi un raggio di luce? Se ben ricordate, tutti i nostri discorsi cercano di basarsi su degli invarianti in modo da fare affermazioni che non dipendano da delle scelte arbitrarie. Per esempio, per un punto materiale che si muove, l’invariante pi`u sensato che abbiamo trovato `e ds = c dτ . Notiamo che questo oggetto `e maggiore stretto di zero per ogni particella che viaggia a velocit`a minori di c, mentre fa esattamente zero per velocit`a uguale a c. Questo suggerisce una generalizzazione di raggio di luce, in quanto se consentiamo alla gravit`a di entrare nella metrica gµν, la generalizzazione `e

semplicemente 0 = ds2 = 3 X µ,ν=0 gµνdxµdxν

Questa generalizzazione pu`o non sembrare cos`ı intuitiva senza ulteriori commenti. Perch´e semplicemente non dire che un raggio di luce `e una cosa che ha velocit`a in modulo c? Il motivo `e di causalit`a: moralmente con una metrica diversa da quella piatta di Minkowski abbiamo sempre le regioni di passato assoluto, futuro assoluto e altrove, esattamente come nel caso senza gravit`a. Per riuscire a mantenere la causalit`a, dobbiamo imporre che sia ds2 _{≥ 0. Mi direte voi: “Ma c’`e un quadrato su quel ds</sub>2<sub>, `e sempre positivo!”.}

Falso, la notazione pu`o essere fuorivante, come ho sottolineato a pagina 12. Dato che abbiamo un limite inferiore che viene saturato nel caso precedente solo dalla luce, questo `e un suggerimento importante che quello che stiamo facendo ha senso.

Proviamo ora a vedere che cosa succede ad un raggio di luce nell’unica metrica non banale che conosciamo, ovvero la metrica di Schwarzschild.

ds2 = 0 ⇒  1 − rs r  c2dt2− 1 1 −rs r dr2− r2dθ2− r2sin2θ dφ2 = 0 Per cui, se consideriamo il caso radiale di un raggio di luce che si allontana dal centro attrattore in moto radiale, possiamo porre dθ = 0, dφ = 0 per andare a ricavare la dipendenza temporale di r dal tempo nel sistema di riferimento in cui il centro attrattore `e fermo, ovvero semplicemente t

dr dt = c  1 −rs r 

E quindi la velocit`a del nostro raggio di luce, ~v = dr<sub>dtb</sub>r `e in modulo inferiore a c in un campo gravitazionale! Non sono finite le sorprese, infatti possiamo

andare a considerare quello che succede ad un raggio di luce che orbita di moto circolare uniforme intorno al centro attrattore. Possiamo porre per semplicit`a θ = π/2, ˙θ = 0, in quanto sappiamo che il moto si svolger`a nel piano. Dato che conosciamo questa conservazione, sar`a meglio sfruttarla per avere delle coordinate sensate. In questo modo, sin2θ = 1 e dθ = 0, per cui abbiamo di nuovo rdφ dt = c r 1 − rs r

e stavolta la velocit`a del nostro raggio di luce sar`a ~v = rdφ_dtφ, non solob inferiore a c, ma diversa dalla velocit`a radiale! La luce si propaga quindi non solo pi`u lenta di c in un campo gravitazionale, ma la sua velocit`a dipende pure dalla direzione in cui sta viaggiando. Questo `e un semplice monito per ricordarvi che nei postulati della Fisica, tutte le assunzioni sono importanti. Se qualcuna non lo `e, probabilmente avete fatto una scoperta.

14.7

E le altre forze?

Abbiamo pi`u o meno intuito come funziona la traiettoria di una massa in orbita di un oggetto molto massivo e di come cambiano dal caso classico le traiettorie. Cosa succede se la forza di gravit`a non `e l’unica forza in gioco?

Per derivare le equazioni che compaiono in questi casi, di solito ci si appoggia a delle formulazioni alternative della meccanica, che permettono di generalizzare facilmente il tutto. In questo caso, si tratta del principio di minima azione, che voi non conoscete ed `e inutile che conosciate, ma lo spiegher`o in pochissime parole per darvi un’idea. Si va a considerare un certo funzionale, il funzionale S[x(t)], chiamato azione definito da

S[x(t)] = Z

L(x(t), ˙x(t), t) dt (33) Dove `e stata introdotta una nuova funzione, L, la lagrangiana. Si scopre, che nel caso classico, se L = K − U , ovvero energia cinetica meno potenziale48_,

l’equazione che deriva dalla minimizzazione del funzionale azione `e equivalente a ~F = m~a. Il punto della questione `e che, innanzitutto scrivere una lagrangiana `e in un certo senso pi`u facile, dal punto di vista teorico, in quanto ci sono diverse considerazioni fisiche che limitano tantissimo le possibilit`a di scelta. Inoltre, a partire da questa `e possibile facilmente usare lo stesso formalismo per descrivere contemporaneamente tutto quello che c’`e in gioco. Per esempio,

considerando l’azione sullo spazio piatto, ovvero senza gravit`a, data dal seguente integrale S[Aµ ] = Z  − 1 16πcF µν Fµν − 1 c2J µ Aµ  d4x

Andando a calcolare le equazioni che derivano dalla minimizzazione di S, si vede che queste sono assolutamente equivalenti alle equazioni di Maxwell, che sono equazioni che non ci si aspetterebbe di derivare dallo stesso principio con cui si giustifica ~F = m~a. In particolare, quello che interessa a noi, per fare un esempio, `e il caso della forza elettromagnetica agente su una carica che si muove in un campo gravitazionale. A partire dal principio di minima azione `e facile vedere che la generalizzazione dell’Equazione 19 `e la seguente

md 2_xµ dλ2 = 3 X ν,ρ=0 q cF µν_g νρ dxρ dλ − Γ µ νρ dxν dλ dxρ dλ (34)