Lezione XII

In questa lezione presentiamo brevemente il metodo simbolico per gli in-varianti dei tensori antisimmetrici; rimandiamo a [GRS] per una trattazione sistematica di questo argomento, e a [G] per ulteriori sviluppi.

7.5.1 Pfaffiano

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione m su un campo K, con una base ei

(1≤ i ≤ m); per semplicita’ supponiamo char(K) = 0. Nell’algebra esterna Λ[V ] consideriamo un tensore t di step 2

t = ∑ 1≤i<j≤m a_ije_ie_j; possiamo riscrivere t = ¹ 2 ∑ 1≤i,j≤m a_ije_ie_j (a_ij =−aji),

ed associare a t la matrice m× m antisimmetrica (aij) .

Osserviamo che le matrici antisimmetriche di ordine dispari hanno determi-nante nullo ( ... essendo char(K) ̸= 2 ). Per quelle di ordiune pari si prova che

Proposition 12. Sia A = (a_ij) una matrice quadrata antisimmetrica di ordine pari m = 2p con elementi indeterminate a_ij (con a_ij =−aji). Allora il polinomio det(A) ∈ Z[aij] determinante di A e’ il quadrato di uno ed un solo polinomio monico (in un certo senso) in Z[aij], detto Pfaffiano di A ed indicato con Pf(A) :

det(A) = Pf(A)²; esplicitamente, si ha Pf(A) = ¹ p! ∑ σ (−)σa_σ1σ2a_σ3σ4. . . a_σm−1σm

dove σ varia fra le permutazioni della sequenza 1, . . . , m tali che σ₁ < σ₂, σ₃ < σ₄, ... σ_m−1 < σ_m.

Una scrittura piu’ essenziale dello Pfaffiano e’ data da Pf(A) =∑ π sgn(π) ∏ B∈π a_B,

dove: la sommatoria e’ estesa a tutte le partizioni π dell’insieme {1, . . . , m} in blocchi di ordine 2; per ogni partizione π la produttoria e’ estesa a tutti i blocchi B di π; per ogni blocco B di elementi h < k si ha a_B = a_hk; il segno sgn(π) della partizione π e’ il segno di una qualsiasi permutazione di {1, 2, . . . , m} ottenuta elencando in un qualsiasi ordine i vari blocchi di π e in ciascun blocco elencando i suoi due elementi in ordine crescente.

Esempio. Consideriamo una matrice

A =     0 a₁₂ a₁₃ a₁₄ −a12 0 a23 a24 −a13 −a23 0 a₃₄

−a14 −a24 −a34 0    

antisimmetrica di ordine 4. Le partizioni dell’insieme {1, 2, 3, 4} in blocchi di ordine 2 sono

{{1, 2}, {3, 4}}, {{1, 3}, {2, 4}}, {{1, 4}, {2, 3}},

con rispettivi segni sign(1234) = 1, sign(1324) = −1, sign(1423) = 1; dunque

Pf(A) = a12a34− a13a24+ a14a23. Il significato geometrico dello Pfaffiano e’ dato dal

Proposition 13. Sia t un tensore antisimmetrico di step 2 sullo spazio V di

dimensione m, e sia A la matrice antisimmetrica ad esso associata. Allora t e’ rappresentabile su un sottospazio proprio di V se e solo se Pf(A) = 0.

7.5.2 Invarianti di tensori antisimmetrici

Sia K un campo con char(K) ̸= 0. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione m su K con una base ei (1≤ i ≤ m), siano SLm e sl_m il gruppo e l’algebra di Lie speciali lineari di matrici quadrate di ordine m su K, con la loro azione sinistra usuale su V. Per ciascun n (con 1 ≤ n ≤ m), queste azioni sinistre

inducono (rispettivamente diagonalmente e per derivazione) azioni sinistre su Λⁿ[V ], che a loro volta inducono azioni destre su Λⁿ[V ]^∗, date da

(τ A)(t) = τ (At), (τ ∈ Λn[V_m]^∗, A∈ . . . , t ∈ Λn[V_m]),

che a loro volta inducono (rispettivamente diagonalmente e per derivazione) azioni destre su Sym[Λⁿ[V ]^∗] ∼=K[Λn[V ]].

Alla base e_i ( i∈ Im ={1, 2, . . . , m} ) di V corrisponde la base di Λn[V ] e_I, (I ⊆ Im, |I| = n),

dove per ogni sottinsieme I di elementi i₁ < i₂ < . . . < i_n, si e’ posto e_I = e_i1e_i2· · · ein.

A questa base corrisponde la base di Λn[V ]^∗

ε_I, (I ⊆ Im, |I| = n), definita da

ε_I(e_J) = δ_IJ, ∀...

L’azione delle matrici elementari Eij sugli elementi di queste basi puo’ essere descritta come segue

Eij · eH = { (−)s(i,j,H)e_H−j+i se j ∈ H e i ̸∈ H 0 altrimenti ε_H · Eij = { (−)s(i,j,H)ε_H−i+j se i∈ H e j ̸∈ H 0 altrimenti

I simboli sopra usati hanno il seguente significato: H − j + i e’ l’insieme ottenuto da H togliendo l’elemento j ed aggiungendo l’elemento i; analoga-mente per H−i+j; s(i, j, H) e’ la cardinalita’ dell’intersezione fra il segmento di estremi i, j (esclusi) e H.

Siamo interessati agli elementi diK[Λn[V ]] che sono fissati dall’azione di SL_m, equivalemtemente, agli elementi di K[Λn[V ]] che sono annullati dall’azione di sl_m; ci riferiamo a questi elementi con la locuzione ”invarianti di un tensore antisimmetrico di step n in dimensione m”, o semplicemente ”invarianti”

quando il resto sia chiaro dal contesto. Si ha che J ∈ K[Λn[V ]] e’ un invari-ante se e solo se

J · (I + λEij) =J , ∀i ̸= j, λ ∈ K equivalentemente, se e solo se

J · Eij = 0, ∀i ̸= j,

ci si puo’ limitare a considerare le coppie i, j con |i − j| = 1.

Esempio. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 su K, con una base e_i (1 ≤ i ≤ 4). Consideriamo lo spazio Λ2[V ] dei tensori antisimmetrici di step 2 su V

t = ε₁₂(t)e₁₂+ ε₁₃(t)e₁₃+ ε₁₄(t)e₁₄+ ε₂₃(t)e₂₃+ ε₂₄(t)e₂₄+ ε₃₄(t)e₃₄. Consideriamo lo Pfaffiano Pf₄ = ε₁₂ε₃₄− ε13ε₂₄+ ε₁₄ε₂₃. Si verifica che: Pf· E12 =· · · = −ε23ε24+ ε24ε23= 0 Pf· E23 =· · · = ε13ε₃₄− ε13ε₃₄ = 0 Pf· E34 =· · · = −ε14ε₂₄+ ε₁₄ε₂₄= 0,

e analogamente, Pf· E21= Pf· E32= Pf· E43= 0. Dunque lo Pfaffiano e’ un invariante di un tensore antisimmetrico di step 2 in dimensione 4.

Piu’ in generale, si prova che per m pari lo Pfaffiano Pf_m =∑

π

sgn(π) ∏

B∈π

ε_B,

(π variabile fra le partizioni di{1, . . . , m} in blocchi di ordine 2) e’ un invari-ante di un tensore antisimmetrico di step 2 in dimensione m.

7.5.3 Operatore umbrale U

: Λ[L|P

] → K[Λ

[V

]

Sia K un campo con char(K) = 0. Consideriamo la superalgebra letterplace Λ[L|Pm],

dove L e’ un insieme numerabile di simboli di Z2− grado 0, con un ordine totale del tipo dei numeri naturali, e P_m e’ l’insieme dei simboli{1, 2, . . . , m} con Z2−grado 1, con l’ordine usuale; quest’algebra e’ generata dalle variabili letterplace (a|i) soggette alle relazioni di anticommutazione

(a|i)2 = 0, dunque (a|i)(b|j) = −(b|j)(a|i), ∀... Una base lineare e’ costituita dai monomi del tipo

(a|i1)(a|i2)· · · (a|ip)(b|j1)(b|j2)· · · (b|jq)· · · (c|h1)(c|h2)· · · (c|hr) dove a < b < . . . < c in L e 1 ≤ i1 < i₂ < . . . < i_p ≤ m, ...; il monomio di sopra puo’ essere scritto anche come

(a^(p)|i1i₂· · · ip)(b^(q)|j1j₂· · · jq)· · · (c(r)|h1h₂· · · hr)

dove ciascun fattore e’ un biprodotto con parte sinistra una potenza divisa ( a^(p) = a^p/p! ... ) Riguardiamo l’algebra Λ[L|Pm] come sl_m−modulo destro, dove l’azione e’ data rappresentando le matrici elementari come polarizzazioni destre

(a|i) · Ejh = (a|i) jhD = δ_ij(a|h), ∀ . . .

Definition 2. Siano Λ[L|Pm] e K[Λn[V_m]] le algebre definite sopra; sia e_i (1 ≤ i ≤ m) una base di Vm e siano ε_i1...in (1 ≤ i1 < . . . < i_n ≤ m) le corrispondenti funzioni coordinate su Λn[V_m]. Definiamo un operatore lineare

U = U_m,n : Λ[L|Pm]→ K[Λn[V_m]], Q7→ ⟨U|Q⟩,

assegnando il suo valore sulla base dei monomi nelle variabili letterplace po-nendo ⟨U|(a(p)|i1· · · ip)⟩ = { ε_i1...in se p = n 0 se p̸= n ⟨U|(a(p)|i1· · · ip)(b^(q)|j1· · · jq)· · · (c(r)|h1· · · hr)⟩ =

=⟨U|(a(p)|i1· · · ip)⟩⟨U|(b(q)|j1· · · jq)⟩ · · · ⟨U|(c(r)|h1· · · hr)⟩ per a < b < . . . < c in L e 1≤ i1 < . . . < ip ≤ m, ... L’operatore Um,n si dice ”operatore umbrale per un tensore antisimmetrico di step n in dimensione m”.

Si ha la

Proposition 14. L’operatore umbrale U : Λ[L|Pm]→ K[Λn[V_m]] e’ un epi-morfismo di sl_m−moduli destri.

dalla quale, per il teorema di completa riducibilita’ degli sl−moduli, si ha il

Theorem 11. Con le stesse notazioni di sopra, si ha:

U( Λ[L|Pm]^slm) =K[Λn[V_m]]^slm; equivalentemente: U( Λ[L|Pm]^SLm) =K[Λn[V_m]]^SLm.

.. che a sua volta, per il I Teorema fondamentale degli invarianti vettoriali, versione super, porge il

Theorem 12 (I Teorema Fondamentale). Con le stesse notazioni di sopra,

si ha: l’algebra degli invarianti K[Λn[V_m]]SLm e’ generata linearmente dalle immagini umbrali ⟨U|Q⟩ dei dei prodotti

Q = [a₁· · · am]· · · [c1· · · cm]

di superbracket in Λ[L|Pm], dove ogni lettera che compare, compare esatta-mente n volte.

Esempio. Sia m = 2p, sia n = 2, e siano a₁ < a₂ < . . . < a_p simboli in L; si ha [a⁽²⁾₁ a⁽²⁾₂ · · · a(2) p ] = (a⁽²⁾₁ a⁽²⁾₂ · · · a(2) p |12 · · · m) =∑ σ sign(σ) (a⁽²⁾₁ |σ1σ₂)(a⁽²⁾₂ |σ3σ₄)· · · (a(2) p |σm−1^σm) U −→^∑ σ sign(σ) εσ1σ2εσ3σ4· · · εσm−1σm = p! Pfm. ( le sommatorie sono estese alle permutazioni σ di 1, 2, . . . , m tali che σ₁ < σ₂, σ₁ < σ₂, . . . , σ_m−1 < σ_m ).