Numero di iterazioni Si `e scelto di utilizzare l’intervallo [1, 21] con passo 1.
Figura 5.22: Prestazioni al variare del numero di iterazioni del solutore lineare.
E stato scelto 9 come numero delle iterazioni per l’utilizzo del solutore lineare.´
5.2.1 Grid Algorithm
Per il caso inviscido, i possibili algoritmi di tassellazione sono: Automatic, Delaunay, Frontal-Delaunay, F-D for quads e Packing.
(a) Numero di elementi
(b) CL
(c) Tempo impiegato.
(d) CD
(e) Err. rel. - CL: riferimento.
(f) CM z
Figura 5.23: Prestazioni al variare dell’algoritmo di tassellazione.
E stato scelto Frontal-Delaunay come algoritmo di tassellazione.´
(a) Delaunay
(b) Frontal-Delaunay
(c) Frontal-Delaunay for quads
(d) Packing
Figura 5.24: Variazione algoritmo di tassellazione.
5.2.2 Analisi modello di turbolenza
Al fine di valutare con maggiore accuratezza gli effetti della turbolenza sul problema in essere, sono stati confrontati i diversi modelli implementati all’interno di SU2: Spalart-Almaras, SA NEG, k − ω SST, SA E, SA COMP, SA E COMP.
(a) CD
(b) Tempo impiegato.
(c) CL
(d) Err. rel. - CL: riferimento.
(e) CM z
(f) Err. rel. - CM z: riferimento.
Figura 5.25: Prestazioni al variare del modello di turbolenza.
(a) Spalart-Almaras (b) SA COMP (c) k − ω SST
Figura 5.26: Variazione del modello di turbolenza.
E stato scelto Spalart-Almaras originale come modello di turbolenza in quanto affidabile e´ meno dispendioso in termini di risorse computazionali.
5.2.3 Configurazione finale
Parametro Valore iniziale Valore finale
Ratio strato limite NaN 1.15
Numero punti superficie 150 + 600 700
Dimensione celle scia NaN 0.005 m
Distanza scia NaN 0.5 m
Altezza scia NaN 0.3 m
Dimensione minima celle 0.05 m 0.03 m
Distanza infittimento NaN 0.5 m
Dimensione celle farfield 5 m 5 m
MGLEVEL: cycle W W
MGLEVEL: level 3 1
MG Prolongation 1.05 1.15
MG Restriction 1.05 1
Algoritmo di tassellazione Delaunay Frontal-Delaunay
LINEAR SOLVER ITER 9 9
LINEAR SOLVER FGMRES FGMRES
LINEAR SOLVER PREC ILU ILU
CFL 180 800
CFL ADAPT NO NO
Tabella 5.1: Tabella riassuntiva dei valori dei files .cfg.
5.2.4 Considerazioni
Il passaggio tra due distribuzioni di punti uniformi genera una discrepanza che comporta la generazione di irregolarit`a nella distribuzione delle grandezze termo-fluidodinamiche lungo il profilo.
Per questo motivo si `e scelto di utilizzare una distribuzione uniforme lungo tutto il perimetro del profilo utilizzando in totale 700 punti.
L’analisi di sensitivit`a svolta non ha risentito di questa modifica.
Studio del Push Factor
Durante la definizione delle funzioni obiettivo e di vincolo all’interno di SU2, `e necessario associare a ciascuna di esse un valore di Push Factor. Questi coefficienti sono analogi ai fattori di penalit`a introdotti nel metodo della funzione di penalit`a per la risoluzione di problemi di ottimizzazione vincolata.
Poich`e i valori ammissibili sono tutti i numeri reali strettamente positivi, non `e affermabile a priori che esista un valore univoco per ogni funzione. Essi sono dipendenti dal problema considerato ed `e possibile che vi sia interferenza tra gli stessi nel caso di sistemi di funzioni di vincolo: per questo motivo `e stata svolta un’analisi di sensitivit`a all’incrementare della complessit`a del problema al fine di valutare un criterio col quale scegliere il valore corretto dei Push Factor ad inizio progetto.
In particolare, si `e scelto di svolgere tale analisi prima per un flusso inviscido, cos`ı da ottenere un risultato preliminare utile come configurazione di partenza per la successiva analisi viscosa al fine di ridurre il numero complessivo di simulazioni.
In entrambi i casi `e stato scelto di utilizzare il profilo RAE 2822, le griglie di calcolo utilizzate sono state quelle ottenute negli studi illustrati nei capitoli precedenti e le condizioni operative sono quelle espresse nella tabella 3.6 associate alla tipologia di flusso considerata.
Le funzioni di vincolo possono essere espresse in termini di uguaglianza e disuguaglianza. I titoli delle sezioni illustreranno la casistica considerata.
E stata valutata la sola deformazione ottenuta dalle funzioni di Hicks-Henne. Uno studio´ analogo andrebbe svolto anche nel caso della Free-Form Deformation.
Per effettuare una pi`u approfondita analisi dei dati, sono stati impostati dei filtri associati alle equazioni di vincolo imposte al fine di scandagliare la sequenza di soluzioni per verificare che la procedura di ottimizzazione presenti come ultima soluzione quella migliore tra quelle generate. Questo approccio `e risultato essere efficacie, in particolare nel caso in cui la procedura non sia andata a convergenza.
Si `e scelto di identificare i casi in cui i valori non si discostassero del pi`u del 5% e del 10% da quelli di riferimento.
Il valore di Push Factor associato alla funzione obiettivo `e inizialmente fissato pari a 1.
6.1 Caso Inviscido
6.1.1 AIRFOIL THICKNESS =
Minimizzare: Cd
Soggetto a: AIRFOIL THICKNESS = AIRFOIL THICKNESS originale
(a) Push Factor= 1E-5 (b) Push Factor= 1E-4 (c) Push Factor= 1E-3
(d) Push Factor= 1E-2 (e) Push Factor= 1E-1 (f) Push Factor= 1E0
Figura 6.1: Variazione del Push Factor dell’equazione di vincolo applicata allo spessore.
Da questa prima analisi si pu`o osservare come esista un valore minimo al di sotto del quale la soluzione non varia al ridursi del valore del Push Factor. D’altro canto, ci`o comporta che per valori maggiori il processo risulta instabile ed esso si arresta solo nel caso in cui la geometria ottenuta dalla soluzione del sistema dell’Aggiunto non permetta la convergenza della simulazione CFD ad essa associata.
E possibile osservare come, all’aumentare del valore del Push Factor, l’instabilit`´ a nella ricerca della soluzione si presenti ad un numero di iterazioni sempre minore. Si pu`o evincere ci`o anche dall’andamento crescente dei valori dello spessore. Inoltre, come nel caso di soluzioni instabili, vi `e un’alternanza di valori di picco e plateau. In questi casi, i vincoli non sono pi`u rispettati.
Per questa equazione di vincolo, `e stato scelto un valore di Push Factor pari a 1E − 4.
6.1.2 AIRFOIL THICKNESS > +5%
AIRFOIL THICKNESS < -5%
Minimizzare: Cd
Soggetto a: AIRFOIL THICKNESS < +5%
AIRFOIL THICKNESS > −5%
(a) Push Factor= 1E-6
(b) Push Factor= 1E-5
(c) Push Factor= 1E-4
(d) Push Factor= 1E-3
Figura 6.2: Variazione del Push Factor di un sistema di disequazioni applicate allo spessore.
Come osservato in precedenza, si pu`o vedere come esista un valore minimo del Push Factor al di sotto del quale la soluzione non cambia.
E interessante notare come in questa situazione, in cui i vincoli sono meno stringenti, la´ soluzione `e ottenuta in un numero molto ristretto di valutazioni.
La differenza relativa tra i valori della resistenza nei casi 1E − 3 e 1E − 4 `e pari a -0.25%.
Per questa condizione, `e stato scelto un valore di Push Factor pari a 1E − 4.
6.1.3 AIRFOIL THICKNESS = @PF = 0.0001 LIFT > LIFT originale
Minimizzare: Cd
Soggetto a: AIRFOIL THICKNESS = AIRFOIL THICKNESS originale @P F = 0.0001
(a) Push Factor= 1E-4
(b) Push Factor= 1E-3
(c) Push Factor= 1E-2
(d) Push Factor= 1E-1
Figura 6.3: Variazione del Push Factor della disequazione applicata alla portanza, fissato quello dell’equazione dello spessore.
Push Factor DRAG A T filtro LIFT filtro # sol ∆ A T ∆ LIFT 0.0001 0.00476 0.12132 0.88047 79 0.18 % -2.24 % 0.001 0.00492 0.12125 0.89676 336 0.12 % -0.43%
0.01 0.00545 0.12125 0.89220 15 0.12 % -0.94 %
0.1 0.00600 0.12124 0.89623 9 0.11 % -0.49 %
Tabella 6.1: Tabella comparativa dei diversi risultati ottenuti dall’applicazione del filtro al variare del valore del Push Factor.
L’unico caso in cui il processo di ricerca dell’ottimo ha raggiunto la convergenza della soluzione `e stato il caso con Push Factor pari a 0.01. ´E possibile osservare, per`o, che il valore di portanza ottenuto dalla soluzione finale non rispetta il vincolo imposto.
Data la convergenza del solutore e lo scarto tra il valore di riferimento e quello ottenuto dalla soluzione `e stato scelto di utilizzare il valore di Push Factor pari a 0.1.
6.1.4 AIRFOIL THICKNESS =
LIFT > LIFT originale @PF = 0.001
Questo caso `e stato analizzato per osservare se ci fosse interazione tra i Push Factor applicati a vincoli diversi.
Minimizzare: Cd
Soggetto a: AIRFOIL THICKNESS = AIRFOIL THICKNESS originale @P F = 0.0001 LIFT > LIFT originale
(a) Push Factor= 1E-5 (b) Push Factor= 1E-4 (c) Push Factor= 1E-3 Figura 6.4: Variazione del Push Factor dell’equazione di vincolo applicata allo spessore, fissato quello della disequazione al lift.
Push Factor DRAG A T filtro LIFT filtro # sol ∆ A T ∆ LIFT 0.000001 0.00492 0.12122 0.8972 73 0.10 % -0.38 % 0.0001 0.00492 0.12125 0.89676 336 0.12 % -0.43%
0.001 0.00492 0.12148 0.89452 174 0.31 % -0.68 %
Tabella 6.2: Tabella comparativa dei diversi risultati ottenuti dall’applicazione del filtro al variare del valore del Push Factor.
Al fine di valutare correttamente quale sia la coppia di valori da dover applicare in un particolare caso di studio, potrebbe essere opportuno effettuare un’analisi preliminare con tecniche riconducibili alla metodologia Design Of Experiment: uno studio full-factorial con 2 variabili e 3 livelli comporterebbe la necessit`a di risolvere 9 problemi di ottimizzazione.
Considerando che mediamente ogni soluzione richiede 26 secondi di tempo e che l’algoritmo di ottimizzazione potrebbe non arrestarsi per centinaia di iterazioni, tale metodologia risulta essere troppo dispendiosa.