Linearizzazione dei risultati 0 Introduzione

Da un punto di vista progettuale, sarebbe opportuno riuscire a trovare una funzione che indichi la variabilità dei valori di rigidezza dei dispositivi lungo l’altezza delle strutture analizzate. Si rileva, quindi, la necessità di definire un trend di comportamento della distribuzione dei valori di rigidezza lungo l’altezza di un edificio, che sia il più possibile vicino all’obiettivo perseguito e raggiunto con una delle metodologie adottate.

Dall’osservazione dei valori delle rigidezze dei dispositivi, visualizzati negli istogrammi propri di ciascuna struttura, si ipotizza che, ad esclusione dell’ultimo piano, il comportamento della distribuzione dei valori delle rigidezze lungo l’altezza abbia un andamento lineare al variare di quest’ultima.

Al fine di trovare una relazione che leghi i risultati numerici, rappresentanti il valore delle rigidezze iniziali dei dispositivi ed ottenuti tramite un’ispezione matematica basata sulla determinazione di quattro metodologie, e il numero dei piani, si riporta in tale sezione l’analisi di regressione.

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2.7.2.1 Teoria della regressione

In questo tipo di analisi, la variabile ordinaria, ovvero quella misurata senza errore o tale

che ad essa è possibile assegnare un valore qualsiasi è la variabile x , con cui si indicherà il

numero dei piani. Essa è la variabile indipendente.

La variabile y è una variabile casuale; con questa variabile si indicherà la taglia dei

dispositivi, ovvero, che è la medesima cosa, il valore delle loro rigidezze iniziali.

L’analisi di regressione ha come scopo, pertanto, la ricerca di una relazione tra le variabili

x ed y.

Quindi, si farà uso delle misurazioni riferite ad ogni tipo di struttura e ottenute tramite le metodologie ritenute soddisfacenti in virtù di quanto spiegato nel paragrafo precedente. Come esempio, vengono visualizzate le misurazioni riferite alla struttura a sei piani per la metodologia iesima nella tabella seguente:

Numero di piani Valore rigidezze iniziale dei disp.

metodologia i [N/m]

Variabile indipendente x Variabile casuale y

1 kd₁ piano 2 kd₂ piano 3 kd piano3 4 kd_4piano 5 kd_5piano 6 kd_6piano

Tabella 2. 18 Misurazioni deterministiche intese come valori della rigidezza dei dispositivi per una struttura a 6 gdl

La regressione verrà eseguita secondo il criterio dei minimi quadrati, secondo cui la “funzione ideale” che meglio rappresenta i punti identificati dalle coordinate (x,y), è quella

che rende minimo il valore di J: grandezza che indica la somma dei quadrati delle

differenze verticali tra la retta e i punti noti. Queste differenze vengono chiamate residui o

errori.

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( )

(

)

2 1 n i i i J f x y =   =

∑

_ − _{ 2. 114} In cui:

( )

i

f x _{è il valore y ottenuto dalla funzione utilizzata per rappresentare i dati}

i

y è il valore dato.

Pertanto, dalla grandezza J, minimizzando la stessa, nell’ottica di perseguire il criterio

sopra citato, si trovano i coefficienti atti a rappresentare la funzione arbitraria che si è scelta come possibile funzione ideale, che meglio identifica il legame tra le due variabili descritte. La minimizzazione della funzione avviene derivando la stessa rispetto a tutti i coefficienti che rappresentano la funzione e ponendo la derivata, eseguita rispetto a ciascun coefficiente, uguale a zero.

In tal modo, si ottengono tante equazioni quante sono le incognite, vale a dire i coefficienti della funzione.

In questa sede, si sono utilizzate solo funzioni polinomiali di grado n-1, dove n è il numero di punti; questo perché se il grado del polinomio è maggiore o al più uguale al numero di punti il numero di equazioni non sarebbe sufficiente a determinare i coefficienti del polinomio.

Così, se si volessero approssimare le misurazioni con una funzione quadratica, si dovrebbero determinare 3 coefficienti, cubica 4 e così per successione.

In genere, quindi, per un polinomio, la somma dei quadrati dei residui è data dalla seguente espressione:

(

1

)

2 1 2 1 1 ... n n n n n i i J a x a x− a x a ₋ y = =

∑

+ + + + − _2.115

I valori degli n+1 coefficienti ai che rendono minimo J si ottengono, infine, risolvendo un

sistema di n+1 equazioni lineari.

Nell’analisi di regressione, si è anche indicato un indice sintetico che visualizza numericamente la bontà dell’approssimazione di una funzione.

La bontà dell’approssimazione si avvale del criterio dei minimi quadrati sfruttando la

grandezza già nota J, e introducendone un’altra, S, che rappresenta la somma dei quadrati

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Il valore di S può essere espresso dalla seguente formula:

(

)

2 1 n i i S y y = =

∑

− _{2. 116}

Si identifica il coefficiente di determinazione o valore r-quadrato, come l’indice che indica

la bontà dell’approssimazione: 2 1 J r S = − _{2. 117}

Se l’adattamento ai punti della funzione è perfetto, J è di valore nullo e quindi r2 è pari

all’unità, di conseguenza tanto più il valore di r2 è prossimo all’unità tanto migliore è

l’approssimazione.

Si vuol precisare che, in tal sede verranno privilegiate, nella scelta della funzione ideale che meglio rappresenta i dati, polinomi di primo o al più di secondo grado; tale scelta è giustificata dal fatto che l’uso di polinomi di grado elevato comporta due problemi da non sottovalutare.

Il primo problema è che tali polinomi possono presentare ampie escursioni fra alcune coppie di punti; questo implica degli errori notevoli, se si utilizza un polinomio di grado elevato per stimare un valore di y compreso fra queste coppie di punti.

Il secondo problema connesso all’uso di tali polinomi è che i loro coefficienti richiedono spesso un numero elevato di cifre significative per essere rappresentati accuratamente. Nell’ottica di un’implementazione all’elaboratore, non solo, i coefficienti devono essere visualizzati e registrati con un numero sufficiente di cifre decimali, ma sono anche più difficili da elaborare con precisione; inoltre, si rileva che all’aumentare del grado del polinomio aumenta il numero di equazioni lineari da risolvere e l’imprecisione delle soluzioni numeriche di queste equazioni diventa più rilevante.

Si precisa che, per questioni connesse alla pratica, anche in un’ottica progettuale, si è scelto di indagare soltanto sui valori ottenuti dai polinomi di primo grado. L’indagine sarà meglio e più ampiamente spiegata nel paragrafo successivo.

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2.7.2.2 Validazione della tesi: andamento della distribuzione delle

Nel documento Inserimento di dispositivi dissipativi antisismici tra strutture accoppiate telaio-nuclei di controventamento (pagine 104-108)