La Lunghezza delle Curve Frattal

Il calcolo della lunghezza delle varie forme geometriche “classiche”, può essere effettuata mediante formule matematiche. Così anche per forme geometriche meno usuali, come le spirali, siano esse finite o infinite, le cui lunghezze sono computabili mediante le corrispondenti relazioni. Il risultato che abbiamo ottenuto nei paragrafi precedenti, ovvero che la curva di Koch, così come l’isola di Koch, ha lunghezza infinita, è una diretta conseguenza del preciso processo di costruzione utilizzato per generare questo frattale.

Figura 2.10: Approssimazione della Linea di Costa della Gran Bretagna

Questo sistema fallisce quando si cerca di interpretare la natura mediante la geometria frattale, potendo questa esserne solo un’astrazione; non vi è una formula per misurare la lunghezza della costa della Gran Bretagna, come non vi è un procedimento definito per ottenerla matematicamente. La forma della costa di un’isola è il risultato di migliaia di anni di attività tettonica della terra, da un lato, e di processi di erosione e sedimentazione, dall’altro.

Un modo per misurare la lunghezza della costa della Gran Bretagna potrebbe essere quello di prendere un compasso, aperto ad una lunghezza nota, ed andare a vedere sopra una mappa dell’isola, a scala nota, quanti passi si devono effettuare con il compasso per percorrere tutta la costa (figura 2.10).

Analogamente si può misurare la lunghezza di una circonferenza (nell’esempio la circonferenza ha diametro pari a 1000 km per rendere le due misurazioni confrontabili). Si può osservare, nel grafico seguente (figura 2.11, chiamato diagramma di Richardson), che se s è l’apertura del compasso e u la misurazione della lunghezza effettuata, andando a riportare i valori di log(1/s) e log(u), si ottiene una lunghezza maggiore per valori di s minori.

Figura 2.11: Diagramma Log/Log per la Costa della Gran Gretagna e per il Cerchio

Vi è da fare un’osservazione. I valori ottenuti, per l’approssimazione grossolana effettuata nella misurazione, non possono giacere esattamente su di una linea retta, ma se ne può trovare una interpolante. Per quanto riguarda il cerchio, tale retta è praticamente orizzontale, mentre per le misurazioni della costa, tale retta ha una pendenza positiva d ∼ 0,3.

Si vada a diminuire più volte l’ampiezza di apertura del compasso. Si può notare che mentre per il cerchio la lunghezza resta costante, per la costa aumenta continuamente, per precisioni di misura sempre migliori.

Se chiamiamo b la quota, cioè l’intercetta della retta con l’asse verticale, allora b coincide con il logaritmo della misura della lunghezza quando si utilizza una precisione di misura s = 1. La relazione tra la lunghezza u e la dimensione s, utilizzata dal compasso, può essere espressa da

b s d

u)= ⋅log1+

log( (2.3)

che mostra come cambia la lunghezza misurata, andando a variare l’apertura del compasso, supponendo che in un diagramma log/log si possa avere una retta interpolante. Allora i due parametri d e b sono rappresentativi della legge di crescita. In particolare, come verrà discusso in seguito, la pendenza della retta d è la chiave della dimensione di un frattale.

La figura 2.11 mostra che esiste una legame tra u e s, relazione nota come power

law; se si ottiene un andamento lineare nel diagramma di Richardson si dice che

la quantità analizzata ha un andamento frattale. L’equazione precedente può anche essere riscritta nella forma:

d s c u ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = 1 (2.4)

Si è già detto che per la costa della Gran Bretagna si è trovato un valore d ~ 0,36. Il risultato di questa analisi grafica è, di conseguenza, che la misura della lunghezza della costa u cresce proporzionalmente con la precisione 1/s, elevato alla 0,36, 36 . 0 1 s u∝

dove l’esponente d dell’equazione è caratteristico della misurazione effettuata, e sarà differente se si va a misurare la costa della Norvegia o della California; inoltre il valore u tende a infinito per s che tende a zero.

La curva a fiocco di neve è composta da tre identiche curve di Koch, che possono essere divise in quattro parti auto-somiglianti, identiche alla curva intera, mediante una trasformazione che le riduce di 1/3.

Quindi risulta ovvio scegliere una dimensione base per la misura (l’apertura del compasso) pari a 1/3 la prima misurazione della lunghezza della curva, 1/32 per la seconda misurazione, 1/33 per la terza,..., 1/3k. E’ da osservare che sarebbe impossibile utilizzare in maniera precisa il valore 1/34 = 0,012345679012... .

Comunque è perfettamente nota la lunghezza della curva per ogni dimensione di riferimento, infatti per s = 1/3 si ha u = 4/3, per s = 1/9 si ha u = 16/9, per s =

1/3k si ha u = (4/3)k.

Questo permette di rappresentare nel piano di Richardson (figura 2.12) la misura della lunghezza della curva in funzione della dimensione base. Quindi è possibile riscrivere l’equazione (2.3), considerando che:

k s = 1 log₃ e 3 4 log log₃u=k ₃

Infatti combinando le due equazioni si ottiene: s d u log 1 log₃ = ₃ (2.5) Con 2619 . 0 3 4 log₃ ≈ = d

Questo valore è più piccolo di quello che è stato calcolato nel caso della costa della Gran Bretagna. In altre parole, la costa della Gran Bretagna ha un andamento più contorto e irregolare della curva a fiocco di neve di Koch.

2.6

La Dimensione

Dopo aver descritto la power law, si vuole introdurre la dimensione. I matematici, nel corso degli anni, sono arrivati a definirne decine, come la dimensione topologica, la dimensione di Hausdorff, la dimensione frattale, la dimensione box- counting, e altre. Ovviamente, sono tutte relazionate, alcune hanno senso in determinati campi, mentre altre risolvono problemi specifici.

Si va ora a focalizzare l’attenzione solo su tre di queste dimensioni: ƒ Self-Similarity Dimension,

ƒ Compass Dimension, ƒ Box-Counting Dimension.

In particolare, tutte sono dimensioni frattali5 e sono trattate nell’opera principale di Hausdorff6 del 1919. Tra le tre dimensioni elencate, la Box-Countig Dimension è quella utilizzata maggiormente in molte applicazioni scientifiche.