Matrice inversa

Data una matrice quadrata A , (A_[p×p]), con |A| 6= 0, si definisce inversa di A , e si indica con A⁻¹, una matrice tale che:

AA⁻¹ = A⁻¹A = I_p matrice identit`a

La condizione |A| 6= 0, ossia che A sia di rango pieno, `e necessaria e sufficiente per l’esistenza e l’unicit`a di A⁻¹.

E’ noto infatti che l’elemento generico della matrice inversa (A)⁻¹ `e dato da:

nA^−1o

ij = A_ji

|A|

essendo A_ij il cofattore di a_ij ;

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Inversa di una matrice quadrata a rango pieno

Pertanto l’inversa `e uguale alla trasposta della matrice aggiunta diviso il determinante della matrice.

nA^−1o

ij = Aji

|A|

essendo A_ij il cofattore di a_ij ;

Ovviamente `e una definizione utile solo per la dimostrare l’esistenza dell’ inversa, ma non `e conveniente numericamente per il calcolo: meglio ricorrere al metodo di Gauss-Siedel, o ad altri metodi di riduzione con la ricerca di elementi di pivot.

E’ evidente che si far`a ricorso, come sempre, a software matematico statistico, fornito sempre di buone routines per il calcolo dei determinanti e dell’inversa di una matrice: occorre comunque sempre accertarsi del grado di precisione fornito dal software usato, e cercare di usare la massima precisione numerica possibile;¹

Il software R, con licenza di tipo public domain, ha degli algoritmi comunque ottimizzati per il calcolo matriciale (estremamente semplice da usare, dato che gli enti fondamentali in questo linguaggio sono le matrici e gli array, che si manipolano con funzioni che accettano matrici come argomenti).

Per impiegare al meglio R per l’algebra lineare, occorre installare R con le librerie openblas, in modo tale che R usi un set di istruzioni ottimizzate per buona parte di processori.

ALCUNE PROPRIET `A DELL’INVERSA DI UNA MATRICE

A, B quadrate di rango pieno

A^T−1 = (A⁻¹)^T

(A⁻¹)⁻¹ = A

A⁻¹ `e simmetrica se e solo se A `e simmetrica A⁻¹ `e diagonale se e solo se A `e diagonale

|A⁻¹| = |A|⁻¹

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

1ad esempio alcuni software nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari, utilizzano una

”extended precision calculation” che `e sempre bene usare

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Significato degli elementi dell’inversa di una matrice di varianza e cova-rianza

Anche gli elementi dell’ inversa di una matrice di varianza e covarianza hanno un preciso significato probabilistico statistico in termini di distribuzioni condizionate, link con (vedere anche → normale multivariata )

come si vedr`a pi`u avanti a proposito della normale multivariata.

Gli elementi non diagonali sono funzione della correlazione lineare condizionata, mentre gli elementi diagonali sono legati alla correlazione multipla. adv.

Inversa di una matrice simmetrica partizionata

Supponiamo di avere una matrice simmetrica partizionata in quattro blocchi:

A = A₁₁ A₁₂ A₂₁ A₂₂

!

(primo e quarto blocco quadrati, e A₁₂ = A₂₁) Poniamo intanto:A_11.2 = A₁₁− A12A⁻¹₂₂A^T₁₂ il motivo di questa notazione sar`a chiarissimo (o almeno un po’ meno oscuro di quanto non sia adesso) nel capitolo sulle distribuzioni condizionate di

varia-bili normali multivariate. link con distribuzioni condizionate di variabili normali Si pu`o dimostrare che, se esiste A<sup>−1</sup><sub>22</sub>, l’inversa della matrice partizionata pu`o

essere espressa come:

A⁻¹ = A⁻¹_11.2 −A⁻¹_11.2A₁₂A⁻¹₂₂

−A⁻¹_11.2A₁₂A⁻¹₂₂ A⁻¹₂₂[A^T₁₂A⁻¹_11.2A₁₂A⁻¹₂₂ + I]

!

Si ha anche:

|A| = |A₁₁− A₁₂A⁻¹₂₂A^T₁₂||A₂₂| = |A_11.2||A₂₂|

Il risultato sull’inversa di una matrice partizionata, arduo da ricordare, si di-mostra effettuando il prodotto (sia destro che sinistro) per la matrice originaria partizionata A e verificando che si ottiene la matrice identit`a.

Questo risultato `e utile per ricavare le distribuzioni condizionate di variabili normali multivariate.

Nella regressione lineare multipla pu`o servire il risultato particolare nel caso in cui A<sub>11</sub> `e uno scalare a e quindi A₁₂`e un vettore riga che indico con y^T. Il risultato

`e utile per esempio quando si aggiunge una riga, ossia si aggiunge una variabile, ad una matrice di varianza e covarianza di cui gi`a si conosce l’inversa.

Abbiamo quindi:

A = a y^T

y A₂₂

!

Si ha allora:

a_11.2 = a − y^TA⁻¹₂₂y

Bozze

Si ha in questo caso anche:

|A| = |a − y^TA⁻¹₂₂y||A₂₂| = |a_11.2||A₂₂| Determinante e inversa di una matrice simmetrica orlata

Il risultato relativo a matrici A simmetriche orlate, o partizionate in una riga e (p − 1) righe (e quindi 1 colonna e (p − 1) colonne) pu`o essere ricavato in modo diretto senza far ricorso al risultato generale.

Il risultato `e utile per ricavare le formule relative alla devianza spiegata nella regressione multipla e per ottenere gli indici di correlazione lineare parziale e sar`a applicato a matrici di correlazione o di varianza e covarianza.

Sar`a utile per attribuire un significato statistico agli elementi dell’inversa di una matrice di varianza e covarianza²

Supponiamo quindi di avere una matrice simmetrica A di rango pieno p cos`ı partizionata:

• A22`e una matrice di rango p − 1 (ovviamente simmetrica) di cui si conoscono l’inversa (A₂₂)⁻¹ e il determinante |A|.

Troviamo prima il determinante di A in funzione di quello di A₂₂.

Consideriamo una matrice B (partizionata in quattro parti delle stesse dimen-sioni delle parti di A ) cos`ı definita:

B = 1 0^T

0 (A₂₂)⁻¹

!

E’ facile vedere, effettuando il prodotto AB, che si ha:

AB = a y^T

2Dal momento che il risultato verr`a utilizzato pi`u volte in questo testo, ho ritenuto utile inserirne anche una dimostrazione elementare, che non `e comunque essenziale per l’impiego successivo che faremo del risultato di questa sezione nella regressione parziale e multipla

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Per l’ultima matrice `e facile vedere che:

Mettendo insieme le relazioni precedenti e applicando le propriet`a dei determi-nanti di prodotti di matrici si ha:

|A||B| = |AB| = a − y^T(A₂₂)⁻¹y Dal momento che si ha anche evidentemente:

|B| = mettendo insieme le ultime due relazioni si ha infine:

|A| = a − y^T(A22)⁻¹y

|B| = (a − y^T(A₂₂)⁻¹y)|A₂₂|. (1.1) Questo risultato consente semplicemente si ottenere esplicitamente il primo ele-mento dell’inversa di A , ossiaⁿ(A)^−1o

In certi casi, ad esempio per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari a rango non pieno, conviene ricorrere alla cosiddetta inversa generalizzata.

inserire almeno un esempio numerico, se no il paragrafo non funziona

Data una matrice (anche rettangolare) di rango qualsiasi A , si definisce inversa generalizzata di A , e si indica con A⁻, una matrice tale che:

AA⁻A = A

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L’inversa generalizzata di una qualsiasi matrice non `e unica, tranne che per le matrici quadrate di rango pieno, per le quali si ha chiaramente: A⁻ = A⁻¹

L’inversa generalizzata fornisce una delle soluzioni del sistema di equazioni li-neari:

Ax = b

di rango anche non pieno, ovviamente nel caso in cui siano soddisfatte le condizioni per l’esistenza di soluzioni, ossia ρ(A) = ρ(A|b).

Infatti con successive trasformazioni:

(A)x = b; (AA⁻A)x = b;

(AA⁻)(Ax) = b (AA⁻)b = b;

e infine:

A(A⁻b) = b,

per cui x = A⁻b `e una soluzione del sistema originario.

Se la matrice A `e simmetrica valgono ulteriori propriet`a. Si vedr`a poi che me-diante la decomposizione spettrale `e possibile determinare una inversa generalizzata di una matrice simmetrica.

In effetti la definizione di inversa generalizzata `e utile essenzialmente perch`e consente di esprimere in modo compatto una generica soluzione di un sistema di equazioni lineari anche di rango non pieno.