4 MODELLAZIONE NUMERICA DI ELEMENTI IN VETRO STRUTTURALE
4.2 Meccanica Computazionale della Frattura
4.2.1 Introduzione
È possibile adottare il Metodo agli Elementi Finiti per risolvere i problemi studiati dalla Meccanica della Frattura e stimare i parametri che descrivono il comportamento strutturale in presenza di fessure. L’approccio studiato dalla Meccanica della Frattura Elastica Lineare (LEFM) possiede le seguenti peculiarità:
1. rappresentazione della singolarità tensionale in corrispondenza dell’apice della fessura; 2. calcolo dello stress intensity factor (SIF);
3. individuazione della traiettoria presunta di propagazione della fessura;
La prima difficoltà che si incontra nel descrivere il comportamento in termini di frattura usando il metodo degli elementi finiti è che i polinomi adottati per la formulazione degli elementi usuali non descrivono la singolarità tensionale dedotta della teoria.
È quindi necessario riformulare l’elemento in modo da incorporare nelle sue proprietà la capacità di rappresentare lo stato singolare di tensione.
Un contributo significativo è stato dato indipendentemente da Henshell e Shaw (1975) e Barsoun (1976) i quali hanno dimostrato che le proprietà della singolarità sono rappresentabili con l’impiego di elementi quadrangolari standard detti “quarter point
elements” in cui i nodi mediani posti nei lati che convergono nella fessura vengono spostati
ELEMENTO QUADRILATERO 1 5 2 6 3 7 4 8 3l/4 l/4 l/2 l/2 h/2 h/2 h/4 3h/4 3l/4 1 l/4 5 84 2 h/2 6 3 h/2 7 ELEMENTO DEGENERE Figura 4.2-1 Elementi Finiti “Quarter Point Singular Elements” impiegati
per lo studio delle singolarità tensionali
L’elemento degenere rappresenta un ulteriore sviluppo in quanto la singolarità viene cercata su tutto l’elemento e non solo sul bordo come avviene per l’elemento quadrilatero. 4.2.2 Il codice di Calcolo FRANC2D
Come detto nei paragrafi precedenti, la presenza di microfessure sulla superficie del vetro può causare rotture premature anche legate a stati tensionali di modesta entità. Si tratta quindi di studiare, con l’ausilio della Meccanica Computazione della Frattura, l’effetto che queste microfessure hanno in quei punti dove possono risultare più pericolose come in prossimità dei fori.
A tal fine è stato impiegato il codice di calcolo FRANC2D sviluppato dal Cornell Fracture Group (Iesulauro, E.). Appositamente dedicato alla risoluzione di problemi piani in presenza di fessure consente di individuare quei parametri necessari alla determinazione del livello di sicurezza che la struttura possiede.
4.2.2.1 Algoritmo per la propagazione della fessura
Il primo passo di questa metodologia prevede l’eliminazione della mesh nella regione adiacente all’apice della fessura, definita dall’utente. L’algoritmo di remeshing (Koenke, C.; 1998) pone quindi una rosetta di elementi tipo QPSE intorno all’apice e poi ricostruisce in modo automatico la mesh. L’analisi lineare consente di definire i parametri cercati come il coefficiente di intensificazione degli sforzi. Una volta eseguita la prima analisi è possibile avviare una procedura iterativa, automatica o manuale, in modo da simulare la propagazione della fessura individuando ad ogni passo la direzione che questa assume.
4.2.2.2 Algoritmi di calcolo del Fattore di Intensificazione degli Sforzi
Per quanto riguarda il calcolo del fattore di intensificazione degli sforzi, il codice di calcolo FRANC2D mette a disposizione tre metodi:
• Displacement Correlation Tecnique • J-Integral
• Modified Crack Closure Integral Tecnique
Nel presente caso è stato usato il terzo metodo del quale riportiamo una breve descrizione.
Modified Crack Closure Integral Tecnique
Questo metodo si basa sulla trattazione di Irwin (Irwin, G. R., Kies, J. A.;1954), nel quale la variazione di energia potenziale G viene stimata in termini di lavoro compiuto dal campo tensionale all’apice della fessura sul campo di spostamenti prodotto dall’introduzione di una estensione virtuale della fessura di un tratto ∆a. Nel caso di modo di frattura I, l’energia assume la seguente espressione:
∫
∆ σ ∆ − ∆ → ∆ = a 0 yy 1 y 1 x I alim 0 2a 21 (x,0)u ( a x,0)dx G(4.2-1) Si osserva che in questo caso sono necessarie due analisi numeriche per la determinazione di G in quanto una serve per ottenere il valore della tensione all’apice prima della propagazione e l’altra per determinare il campo di spostamenti in seguito all’estensione virtuale della fessura. Il codice FRANC2D ha implementato il metodo modificato in seguito alla semplificazione proposta da Rybicki e Kanninen consistente nell’approssimare il campo di spostamenti davanti all’apice con quello posto dietro all’apice stessa; in questo modo è possibile effettuare il calcolo di G con una sola analisi numerica. Ovviamente, una volta noto G, il fattore di intensificazione degli sforzi è ottenibile dalla nota relazione (Carpinteri, A.; 1992):
E G
Riferimenti bibliografici:
Amadio, C., (1980), Elementi Finiti per lo Studio Flessionale di Travi Composte Dotate di
Connessioni Deformabili, Giornate Italiane della Costruzione in Acciaio, C.T.A.
Bathe , K.J, (1996), Finite Element Procedure, Prentice Hall, New Jersy.
Bohmann, D., (1999), Ein Numeriches Verfahren zur Berechnung von Verbundglasscheiben, Shaker Verlag Aachen, Schriftenreihe, Stahlbau, RWTH Aachen, Heft 43.
Carpinteri, A., (1992), Meccanica dei Materiali e della Frattura, Pitagora.
CEN TC/129 (2003), prEN 13474, Glass in building - Design of glass panes - Part 1:
Calculation of glass products for fenestration to resist wind, snow and self-weight loads.
CEN TC/129 (2003), prEN 13474, Glass in building - Design of glass panes - Part 3: General
basis of design, design of glass by calculation for non-fenestration use and design of glass by testing for any use.
Iesulauro, E., FRANC2D/L, A Crack Propgation Simulator for Plane Layered Structures:
User’s Guide, Cornell University, Ithaca; New York.
Irwin, G. R., Kies, J. A., (1954), Critical Energy Rate Analisys of Fracture Strength, Welding Research Supplement.
Koenke, C., Harte, R., Kratzig, W. B., Rosenstein, O., (1998), On Adaptive Remeshing
Techniques for Crack Simulation Problems, Engineering Computations, 15,1,74-88.
Love, A.E.H., (1927), Theory of Elasticity, Cambridge.
Mencik, J., (1992), Strength and Fracture of Glass and Ceramics, Elsevier.
Meshii, T., Watanabe, K., (2003), Stress Intensity Factor Error Index for Finite Element
Analysis with Singular Elements, Engr. Fract. Mech., 70 657-669.
Nagalla, S. R., Vallabhan, C. V. G., Minor, J. E., Norville H. S., (1985), Stresses in Layered
Glass Units and Monolithic Glass Plates, NTIS Accession No. PB86-142015/AS, Glass
Research and Testing Laboratory, Texas Tech. Univ., Lubbock, Tex. Saint – Gobain, (2003), Manuale Tecnico del Vetro, Saint Gobain Italia.
Schuler, C., (2003), Einfluss des Materialverhaltens von Polyvinylbutyral auf das
Tragverhalten von Verbundsicherhitsglas in Abhängigkeit von Temperatur und Belastung, TU München.
Schuler, C., Sackmann,V., Gräf, H., Bucak,Ö., Albrecht, G., (2004), Time and Temperature
Dependent Mechanical Behaviour and Durability of Laminated Safety Glass, Structural Engineering International, IABSE.
Sedlacek, G., (2000), Ein Bemessungskonzept zur Festigkeit thermisch vorgespannter
Gläser, RWTH Achen Lehrstuhl für Stahlbau.
TNO, Building and Construction Research, (2002), DIANA Finite Element Analisys, User’s Manual.
UNI, (1996), UNI EN 572-1, Vetro per Edilizia Prodotti di Base di Vetro Sodo-Calcico
Definizioni e Proprietà Fisiche e Meccaniche.
Vallabhan, C.V.G., Das, Y.C., Magdi, M., Asik, M., Bailey, J.R., (1993), Analysis of Laminated
Glass Units, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 199, No. 5.
Zenkert, D., (1997), The Handbook of Sandwich Construction, Engineering Materials Advisory Services Ltd., Chameleon Press Ltd. London.