Nello sviluppo della meccanica quantistica abbiamo seguito inizialmente il punto di vista on-dulatorio, basato sull’equazione di Schroedinger, e ne abbiamo visto poi l’inquadramento nella formulazione pi`u generale ispirata alle idee del gruppo di Gottinga e Cambridge (Born, Heisen-berg, Jordan e Dirac). Esiste un’altra formulazione equivalente, legata al nome di Richard P.
Feynman, che si `e dimostrata molto efficace nello studio di sistemi a infiniti gradi di libert`a.
Ci dobbiamo limitare per ovvi motivi di spazio ad una trattazione molto succinta, affidando il lettore ai numerosi trattati disponibili sull’argomento [FH65, Sch81, Roe91, Sim79].
1. Integrali sui cammini
L’idea di Feynman consiste nel caratterizzare in modo del tutto sintetico il propagatore G(x, x′; t, t′) ordinariamente definito come la matrice dell’operatore di evoluzione temporale
G(x, x′; t, t′) =⟨ x ∣ exp{−iH(t − t′)/̷h}∣ x′⟩
direttamente in termini della funzione di azione S[x(t)] definita dalla meccanica classica: al propagatore quantistico G(x, x′; t, t′) contribuiscono tutte le possibili traiettorie virtuali del sistema meccanico classico, cio`e tutti i cammini x(t) compatibili con gli eventuali vincoli e tali che x(t′) =x′, x(t) = x , con un’ampiezza
exp{iS[x]/̷h} = exp {i h̷ ∫
t
t′ L(x(τ ), ˙x(τ )) dτ } .
La somma su tutti i cammini costituisce una sorta di integrale su uno spazio a infinite dimensioni e si indica simbolicamente con
G(x, x′, t, t′) =⟨ x ∣e−iH(t−t′)/̷h∣x′⟩ =∫∫∫ Dx(.) exp {i h̷ ∫
t
0 L(x, ˙x) dτ } ∣x(tx(t)=x′)=x′.
Questa formula si propone quindi come un’alternativa alla regola di quantizzazione canonica, in quanto permette di definire il propagatore a partire dalla Lagrangiana classica. Si noti l’e-leganza di questa idea che rende molto intuitivo il legame tra meccanica classica e quantistica:
ogni cammino virtuale contribuisce all’ampiezza totale con un’ampiezza di modulo uno e dunque nessun cammino particolare `e pi`u probabile degli altri. Tuttavia nel limite in cui la costante
̷h sia piccola rispetto alle azioni in gioco nel sistema fisico, il principio della fase stazionaria ci dice che i contributi di tutti i cammini si cancellano per interferenza tranne quelli per cui la fase S[x] risulti stazionaria rispetto a piccole variazioni del cammino, il che costituisce il prin-cipio di Eulero−Lagrange che determina le equazioni del moto classiche. Ecco dunque svelato il fondamento di tutti i principi variazionali della meccanica classica: si tratta semplicemen-te di manifestazioni del principio della fase stazionaria applicata alla formulazione quantistica in termini di somma sui cammini! Resta “soltanto” aperto il problema di dare un significa-to matematico preciso all’integrazione sui cammini e di verificare che in tal modo si ottiene effettivamente la meccanica quantistica.
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In effetti il concetto di integrazione sui cammini o integrazione funzionale (estensione a infi-nite dimensioni del calcolo integrale) pu`o essere formulato in termini matematicamente rigorosi, ma in un contesto differente, quello dei processi diffusivi, che corrisponde all’equazione di Schroe-dinger in cui si prenda la continuazione analitica a valori immaginari del tempo. Si tratta di uno sviluppo molto interessante che ha portato alla applicazione dell’integrale sui cammini al calcolo dello spettro per teorie di campo quantistiche al di fuori del regime perturbativo. Il nocciolo del-la questione `e costituito dal fatto che del-la continuazione analitica a tempi immaginari permette di studiare le propriet`a dell’operatore exp {−tH/̷h} da cui in particolare si ottengono informazioni sullo spettro e su elementi di matrice di varie osservabili (si veda [Roe91, Sim79, ID89]).
Una prima giustificazione intuitiva della formula di Feynman discende da una propriet`a che possiamo definire di semigruppo: suddividiamo l’insieme C di tutti i cammini ω ∶ x′ → x nei sottoinsiemi Cx′′ definiti dalla condizione aggiuntiva x(t′′) = x′′ per un qualche t′′ scelto arbitrariamente nell’intervallo (0, t). Si avr`a ovviamente
G =∫ dx′′∫∫∫ Dx(.) exp {i h̷ ∫
t
0 L dτ } δ(x(t′′) −x′′)∣x(0)=x
′
x(t)=x
= ∫ dx′′∫∫∫ Dx(.) exp {i h̷ ∫
t
t′′ L dτ } ∣x(tx(t)=x′′)=x′′×
× ∫∫∫ Dx(.) exp {i h̷ ∫
t′′
0 L dτ } ∣x(tx(0)=x′′)=x′′′.
Gli integrali sui cammini soddisfano perci`o ad una legge di composizione identica a quella ti-pica di un propagatore. D’altra parte questo fatto ci permette di procedere nella suddivisione dell’intervallo (0, t) applicando ricorsivamente questa legge di composizione, in modo tale che per una suddivisione sufficientemente fine dell’intervallo potremo applicare un’approssimazione dell’integrale sui cammini valida per tempi brevi. Sia (t1, t2, . . . , tN) una suddivisione con N molto grande. Per ogni sotto-intervallo (tk, tk+1) consideriamo la soluzione xcl(τ ) delle equa-zioni classiche del moto tale che xcl(tk) = xk, xcl(tk+1) = xk+1. Poniamo in ciascun intervallo x(τ ) = xcl(τ ) + ξ(τ ) , dove ξ `e una nuova variabile di integrazione funzionale soggetta al vincolo ξ(tk) =ξ(tk+1) =0. Inserendo nell’azione otteniamo
S[x] =∫
tk+1
tk
(1
2m( ˙x2cl+2 ˙ξ ˙xcl+ ˙ξ2)
−V (xcl) −V′(xcl)ξ −12V′′(xcl)ξ2+O(ξ3))dτ ∣ξ(tξ(tk)=0
k+1)=0.
I termini lineari in ξ si cancellano grazie alle equazioni del moto e si trova allora per la somma sui cammini nell’intervallo considerato
∫
∫∫ Dξ exp { i
h̷L(xcl+ξ)} = exp {i
h̷S[xcl]} ×
∫∫∫ Dξ exp { i h̷ ∫
tk+1 tk
(m
2 ˙ξ2−1
2V′′(xcl(τ ))ξ(τ )2+O(ξ3))dτ } .
La dipendenza dalle coordinate xk `e contenuta esplicitamente nel termine dell’azione classica e implicitamente nell’integrale funzionale su ξ; dal momento che ξ `e vincolata ad annullarsi agli estremi dell’intervallo (tk, tk+1) possiamo assumere che (come per il moto browniano vincolato o brownian bridge) si abbia ∫ dξ ξ(τ )2 =O((tk−tk+1)2) e quindi che l’unica dipendenza dalle
coordinate provenga dal termine di azione classica1 Se ammettiamo dunque che l’integrale sui cammini per tempi brevi sia dominato dalla porzione di traiettoria classica che connette i due punti estremi dell’intervallo infinitesimo otteniamo
G(x, x′, 0, t) ≈∫…∫ dx1dx2. . . dxN exp {
N+1
∑
n=1
i
̷hS(xn−1, xn, tn−1, tn)}
= ∫…∫ dx1dx2. . . dxN exp {
N
∑
n=0
i h̷ (m
2
(xn+1−xn)2 tn+1−tn
−V (xn)(tn+1−tn))}
(114)
con le condizioni x0 =x′, xN +1=x, t0=0, tN +1=t . Si noti che questa espressione del propagatore in termini di integrali multipli `e presente nelle lezioni di Dirac ([Dir59],§ 32), a cui si pu`o far risalire la prima idea di integrali sui cammini. Si ha cos`ı un primo suggerimento riguardo al modo di interpretare la somma su tutti i cammini: introdotta una griglia di tempi (t1, t2, . . . , tN) si considerano le posizioni x(tj), (j = 1, N ) come variabili indipendenti su cui integrare; la somma sui cammini si definisce come il limite per N → ∞ di questo integrale N -dimensionale.
Una derivazione della formula (1) si pu`o ottenere dall’equazione di Schroedinger secondo la linea mostrata da Nelson [Nel64]. Sia H = T + V la decomposizione dell’Hamiltoniano in energia cinetica e potenziale. Si utilizza allora la formula di Lie-Trotter che permette di esprimere l’operatore di evoluzione temporale U (t) = exp {−it(T + V )/̷h} come limite di un prodotto di operatori facilmente calcolabili:
U (t) = lim
N →∞(exp {−itT /N ̷h} exp {−itV /N ̷h})N .
Si inseriscono tanti relazioni di completezza∫ dx∣ x ⟩⟨ x ∣ = 1l in modo da ottenere
⟨ x ∣U(t)∣ x′⟩ = lim
N→∞⟨ x ∣e−itT /N ̷h∫ dx1∣x1⟩⟨ x1∣e−itV /N ̷he−itT /N ̷h
∫ dx2∣x2⟩⟨ x2∣. . .∫ dxN−1∣xN−1⟩⟨ xN−1∣ e−itT /N ̷h∫ dxN∣xN⟩⟨ xN∣e−itV /N ̷h∣x′⟩ . Dal momento che V `e funzione solo di q si ha semplicemente
exp {−itV (q)/N ̷h} ∣ xk⟩ = exp {−itV (xk)/N ̷h} ∣ xk⟩ ,
mentre gli altri elementi di matrice sono dati dal propagatore della particella libera e quindi
⟨ x ∣U(t)∣ x′⟩ = lim
N →∞∫…∫ dx1. . . dxN −1
N −1
∏
k=1
√ mN
2πi̷htexp {i h̷ (mN
2t (xk+1−xk)2− t
NV (xk))} .
Si nota che l’esponente costituisce giustamente un’approssimazione discreta per l’integrale che definisce l’azione classica. In pi`u questa derivazione i) ci d`a una prova della convergenza per il li-mite N → ∞ (teorema di Kato-Trotter, si veda [Nel64]) e ii) ci fornisce anche la normalizzazione corretta (il fattore divergente (2πi̷ht/N m)−N /2).
Un’interessante variante di questa formula discretizzata permette di impostare l’integrale sui cammini in termini Hamiltoniani. Per ciascun fattore che coinvolge l’energia cinetica, anzich´e
1Di passaggio notiamo che per l’oscillatore armonico il termine V′′ `e una costante e perci`o l’integrale sui cammini risulta in una semplice funzione del tempo mentre il propagatore si riduce alla formula semiclassica G= exp {iS/̷h} , come si pu`o verificare dalla formula.
inserire la formula nota, riscriviamo tutto facendo uso della trasformata di Fourier
⟨ xk∣exp {−i t
N T (p)/̷h} ∣ xk+1⟩ = (2π̷h)−1∫ dpkexp {i pk(xk+1−xk)/̷h − i t
N T (pk)/̷h} .
Il nuovo termine si riconosce immediatamente come un’approssimazione discreta dell’integrale
∫ dτ p(τ ) ˙x(τ ), e perci`o l’integrale sui cammini assume il seguente aspetto
⟨ x ∣U(t)∣ x′⟩ = lim
N →∞∬
dx1dp1 2π̷h . . .
∬
dxNdpN
2π̷h exp {i h̷ ∑
k
(pk(xk+1−xk) −H(pk, xk))}δ(xN−x′), ovvero simbolicamente
⟨ x ∣U(t)∣ x′⟩ =∫∫∫
Dq(.) Dp(.)
2π̷h exp {i
̷h∫
t
0 (p(τ ) ˙q(τ ) − H(q(τ ), p(τ ))) dτ } .
Questa formulazione, apparentemente pi`u complicata per via del doppio numero di integrazioni coinvolte, pu`o al contrario in taluni casi risultare pi`u conveniente. Se si introduce un regolatore del tipo
exp {−ν−1∫
t
0 dτ ( ˙p2+µ2˙x2)}
l’integrale `e ben definito e porta (nel limite ν → ∞) ad una formulazione alternativa della quantizzazione che d`a risultati essenzialmente equivalenti alla meccanica basata sull’equazione di Shroedinger, ma getta nuova luce sulla permanenza in meccanica quantistica delle simmetrie dell’Hamiltoniano classico. Inoltre l’integrale sui cammini Hamiltoniano pu`o essere utilizzato come metodo di integrazione numerica dell’equazione di Schroedinger dipendente dal tempo [OMT91].
Tutte le formule precedenti sono scritte per semplicit`a di notazione per un solo grado di libert`a, ma la generalizzazione a un numero qualunque di variabili canoniche non presenta difficolt`a.
2. Formulazione a tempo immaginario
Per illustrare un’applicazione dell’integrale sui cammini, vale la pena sottolineare che il pro-pagatore contiene tutte le informazioni necessarie per caratterizzare il sistema quantistico. In particolare per estrarre lo spettro di energia possiamo semplicemente integrare il propagatore con una qualunque funzione di prova ψ(x) ad ottenere
∫ dx ∫ dx′ψ(x) G(x, x, 0, t) ψ(x′) = ∑
n
∣⟨En∣ψ ⟩∣2 e−iEnt/̷h,
che pu`o fornire gli autovalori En attraverso l’analisi di Fourier. In alternativa si `e trovato conveniente studiare il propagatore a tempi immaginari G(x, x′, β) = ⟨ x ∣ exp {−βH} ∣ x′⟩, che rappresenta anche la matrice densit`a. La rappresentazione in termini di integrali sui cammini (vedi [Fey72]) `e del tutto simile a quanto visto per il propagatore ordinario, con una differenza fonamentale: la Lagrangiana del sistema `e sostituita dall’energia E(q, ˙q):
⟨ x ∣ exp(−βH)∣ x′⟩ =∫∫∫ Dq exp {−
1 h̷ ∫
β 0
(m
2 ˙x2+V (x)) dτ } ∣x(0)=xx(β)=x′.
Mostriamo ora come sia possibile esprimere alcune caratteristiche spettrali dell’Hamiltoniano direttamente in termini di integrali sui cammini a tempo immaginario. Consideriamo l’elemento di matrice
Φ(τ ) ≡ ⟨ E0∣q exp {−τ H} q exp {τ H} ∣ E0⟩ ,
dove ∣ E0⟩ `e lo stato fondamentale di H, con autovalore E0, e τ `e positivo. Inserendo la relazione di completezza 1l = ∑E∣E ⟩⟨ E ∣ , si trova
Φ(τ ) = ∑
E
e−(E−E0)τ∣⟨ 0 ∣q∣ E ⟩∣2.
D’altra parte si ha anche per un qualunque vettore ψ (soggetto all’unica condizione di non essere ortogonale allo stato fondamentale)
∣E0⟩ = lim
T →∞N (T ) e−T H∣ψ ⟩
con N (T ) = exp {−T E0} ⟨E0∣ψ ⟩ . Si trova perci`o, inserendo la rappresentazione di Feynman Φ(τ ) = lim
T →∞
⟨ ψ ∣e−T Hq e−τ Hq e−T H∣ψ ⟩
⟨ ψ ∣e−(2T +τ )H∣ψ ⟩
=∫∫∫ Dq q(0) q(τ ) exp {−
1
̷h∫
∞
−∞(m
2 ˙q2+V (q)) dt}
∫∫∫ Dq exp {−1̷h∫
∞
−∞(m
2 ˙q2+V (q)) dt} . (115)
La funzione Φ(τ ), che contiene informazioni dinamiche interessanti, `e riconducibile perci`o ad un integrale sui cammini che si presenta come una funzione di correlazione tra variabili di tipo statistico. La rappresentazione discreta dell’integrale (115) `e infatti identica all’espressione che daremmo alla correlazione tra le due variabili classiche q(0), q(τ ) che rappresentano lo scostamento dall’equilibrio di una corda elastica di lunghezza infinita soggetta ad una forza di potenziale V (q) e in equilibrio termico alla temperatura kT /̷h. Dato che risulta relativamente agevole simulare con il calcolo numerico sistemi classici soggetti ad agitazione termica, questo fatto apre la possibilit`a di ottenere informazioni riguardanti lo spettro del sistema quantistico attraverso una simulazione numerica. L’idea risale alla fine degli anni ’40 ed `e legata al nome di Marc Kac; la formula di integrazione sui cammini a tempo immaginario `e nota come formula di Feynman-Kac [Sim79].
CAPITOLO 11