Il successivo gruppo analizzato all’interno dell’asse master è quello (indicato in verde in Figura 5-3) che comanda gli spingitori delle stazioni 9, 10, 11 e 12. Il sistema è analogo a quello del comando del contrasto chiusura capsule visto nel paragrafo precedente: una camma muove un bilanciere, che a sua volta è collegato a una biella che muove una massa traslante in verticale. Pertanto, le formule di calcolo sono del tutto analoghe a quelle viste in
Figura 5-21: andamento dell’accelerazione della massa traslante del
5.5 . Il meccanismo di comando spingitori
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precedenza, e saranno enunciate senza dimostrarle; lo script in Matlab è stato ottenuto semplicemente cambiando i parametri del modello prima descritto. Rispetto al precedente paragrafo, sono necessarie solo due piccole precisazioni. Innanzitutto, anche in questo caso si è rilevato (attraverso il CAD) che il baricentro della camma collegata all’albero a camme è quasi esattamente sull’asse di rotazione, pertanto il peso della camma non dà luogo a un momento all’asse motore; al contrario, il bilanciere anche stavolta è sbilanciato, e la coppia dovuta al suo peso proprio andrà presa in considerazione.
L’altro aspetto che potrebbe non risultare immediato dal CAD di Figura 5-3 è che in questo caso il bilanciere è scomposto in due pezzi, per motivi di ingombro (altrimenti i pezzi andrebbero in interferenza tra di loro). Qui, un braccio (in verde, più a destra in figura) porta la rotella che si impegna nel profilo della camma ed è rigidamente collegato al contralbero; al contralbero è poi collegato il secondo braccio, che è quello collegato allo spingitore che trasmette il moto alla massa traslante. Mentre nel meccanismo di contrasto chiusura il bilanciere era libero di ruotare (grazie a dei cuscinetti) rispetto al contralbero, qui il contralbero e i due bracci del bilanciere ruotano di conserva e dovranno essere quindi presi in considerazione congiuntamente.
Figura 5-22: andamento dell’accelerazione del bilanciere verde.
Sosta Andata Ritorno
𝛉𝐜 𝐚𝐯(𝛉𝐜)
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Si inizia definendo in Matlab la legge di moto, che in questo caso è decisamente più complessa che nelle altre camme dell’asse master, per cui vale la pena approfondirla. Con riferimento a Figura 5-22, in questo caso la legge di moto è costituita da una fase di andata, da ϑiniav= 103° a ϑfinav = 273°, subito seguita una di ritorno, da ϑfinav a ϑfinrv (la fase di sosta, da ϑinisv= 44° a ϑiniav, completa il ciclo sui 360° di ampiezza complessiva, essendo ϑinisv lo sfasamento dello zero camma).
L’andata è definita con una legge trapezia generalizzata (vedi pag. 43) avente un’alzata complessiva (cioè la rotazione del bilanciere) di 22.8°. Tale fase è definita da soli 3 tratti di sinusoide (rispettivamente ϑiniav− ϑv12, ϑv12− ϑv23 e ϑv23− ϑfinav); questo si ottiene ponendo, nel grafico di Figura 4-9, δ2 = δ4 = δ6 = δ7 = 0 e δ1 = 0.15, δ3 = 0.20, δ3 = 0.65. La particolarità, rispetto alle leggi di moto solitamente usate, è che al termine della fase di andata la velocità e l’accelerazione non sono nulle (cosa che deriva dall’aver eliminato dei tratti), bensì pari rispettivamente a va,fin= −1.05 × 10−03 rad/s e aa,fin = 36.32 rad/s.
Questo è rilevante anche per calcolare la legge di moto al ritorno dovendo ovviamente garantire la continuità non solo di spostamento e velocità (per evidenti motivi fisici), ma anche delle accelerazioni (diversamente si avrebbero degli urti, dannosi per il funzionamento della macchina). Inoltre, bisogna imporre che al termine della fase di ritorno lo spostamento sia nullo, perché ovviamente per una rotazione di 360° dell’albero a camme il bilanciere verde deve tornare nella posizione di partenza; così anche la velocità e l’accelerazione devono essere nulle al termine della fase di ritorno, per raccordarsi alla successiva fase di sosta. Questo si ottiene con una legge di moto poly-7, data dall’eq. [4-17], che consente anche di garantire la continuità del jerk.
Si può ora definire la funzione Matlab che calcola spostamento pv(θc), rapporto di trasmissione τv(θc) e sua derivata αv(θc); in Figura 5-23
5.5 . Il meccanismo di comando spingitori
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l’andamento della rotazione del bilanciere verde, in funzione della rotazione θc dell’albero a camme.
Le formule per il calcolo della coppia ridotta al motore sono, come detto, analoghe a quelle viste nel paragrafo precedente. Dunque la coppia d’inerzia ridotta dovuta al bilanciere verde è (analogamente all’eq. [5-20])
Cm,v = Jvωc2τ
cτvαv [5-33]
la coppia ridotta data dalla massa sbilanciata del bilanciere (vedi eq. [5-25]) Cv,b,m= −[g ∙ mv,b∙ dv,bcos(θv)] ∙ τcτv(θc) [5-34] la coppia ridotta dovuta alla forza d’inerzia sulla massa traslante (cfr. [5-30])
Cm,v,m = mv,mωc2τcτv,mαv,m [5-35] e infine la coppia ridotta data dal peso della massa traslante (come in eq. [5-31])
Cv,m = −g ∙ mv,m∙dv,mcos(θv,m)∙ τv,m(θc) ∙ τc [5-36]
Le quantità aggiuntive (da ricavare tramite il modello al CAD) richieste per il calcolo delle [5-33]-[5-34]-[5-35]-[5-36], come ad esempio inerzia Jv e
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massa mv,b del bilanciere, massa mv,m del gruppo traslante in verticale (oltre alle quantità geometriche che definiscono la posizione iniziale del sistema) sono definite come in precedenza. Per ottenere la coppia al motore complessiva si modifica la [5-37] introducendo i termini adeguati:
Ctot,v = Cm,v+ Cv,b,m+ Cm,v,m+ Cv,m [5-37] Si ottiene infine l’andamento di coppia di Figura 5-24.
Anche in questo caso si è fatto un modello cinematico e dinamico in Mechanism, per controllare la corrispondenza tra i risultati calcolati da Matalb e quelli del simulatore multibody, oltre che per verificare la corretta fasatura della camma. Di nuovo il modello risulta validato per quanto riguarda l’andamento della coppia; non si riportano i risultati dell’analisi cinematica sulla massa verticale, per brevità, ma anche queste risultano combaciare nei due modelli. A ogni modo le equazioni che danno l’andamento di spostamento, velocità e accelerazione sono le stesse viste nel par. 5.4 (cambiando gli opportuni parametri), essendo i due sistemi cinematicamente simili.
Figura 5-24: andamento della coppia data dal meccanismo comando