Metodi di campionamento

Con il termine “campionamento” si intende la procedura di conteggio e misurazione delle tracce sul piano di riferimento (front) nella zona di pertinenza della finestra unitaria di campionamento, che consiste in una superficie circolare nel caso del metodo proposto da Zhang e Einstein (1998), e in una scanline circolare nel caso del metodo di Mauldon et al. (2001). Il principale vantaggio di tali metodi è quello di non necessitare di dati di orientazione delle discontinuità, ma solo di dati sulle tracce. Inoltre i metodi sono applicabili a tracce con qualsiasi distribuzione dell’orientazione: l’indipendenza dal tipo di distribuzione deriva dalle proprietà di simmetria della finestra circolare.

Le fasi preliminari del campionamento sono comuni ad entrambi i metodi: gli edge estratti dal DSM, ognuno composto da un certo numero di vertici, vengono proiettati sul piano front, così da creare una mappa delle tracce del tutto simile a quella che potrebbe essere ottenuta da un’immagine.

Figura 1: a) proiezione delle tracce sul piano di riferimento; b) finestra di campionamento di raggio c, con tracce di discontinuità nella propria area di pertinenza.

Viene poi creata sul piano front una griglia di passo regolare, i cui Nn nodi fungeranno ognuno da centro per la generazione di finestre di campionamento. Vengono stabiliti un certo numero Nr di valori del raggio c da assegnare alle finestre, perciò per ogni nodo si avranno Nr finestre concentriche di raggio diverso. In sostanza la procedura creerà in totale Nn· Nr finestre di campionamento distribuite in modo regolare sul piano di riferimento.

65 Figura 2: esempio di parete con tracce di discontinuità (in fucsia), sulla quale sono creati Nn = 8 nodi, su

ognuno dei quali sono centrate Nr = 3finestre di campionamento.

A questo punto la fase di campionamento vero e proprio prevede procedure distinte per i due metodi, anche se, essendo entrambi basati su una forma di campionamento circolare, le finestre di campionamento saranno le stesse, considerate come superfici o solo come perimetro.

3.1.2.1 Campionamento su finestra circolare

Il campionamento su finestra circolare proposto da Zhang e Einstein (1998) si basa sulle seguenti ipotesi:

1. Tutte le discontinuità sono piani che intersecano la finestra come tracce lineari.

2. I punti medi delle tracce sono uniformemente distribuiti in uno spazio bidimensionale, ad esempio una finestra di campionamento.

3. Lunghezza di traccia e orientazione sono statisticamente indipendenti fra loro.

Il metodo, finalizzato al calcolo della lunghezza media di traccia “, richiede che per ogni finestra circolare vengano acquisiti il numero N0 di tracce con entrambe le estremità al di fuori della finestra, il numero N1

di quelle con un’estremità all’interno e una al di fuori della finestra e il numero N2 di quelle con entrambe le estremità all’interno.

Figura 3: tracce di discontinuità di tipo N0 (verde), N1 (giallo) e N2 (azzurro) rispetto alla finestra considerata.

Ne consegue che il numero totale di tracce N è dato da:

N = N0 + N1 + N2

66 Nella pratica i valori esatti di N, N0 e N2 non sono noti e perciò la lunghezza media di tracci “ a deve essere stimata utilizzando i dati campionati. Dal campionamento su una singola finestra si ottengono campioni di N, N0 e N2 (chiamati ”,• , _? •) e da questo campione si può ottenere una stima puntuale di _#

“ (“̂ ). Gli autori dimostrano che la lunghezza media “̂ delle tracce campionate in una finestra circolare di campionamento può essere calcolata come:

“̂ =— ” +• −_? •_# 2 ” −• +_? • 3_#

dove c è il raggio della finestra, ” è il numero totale di tracce campionate nell’area di pertinenza della finestra, • e _? • sono rispettivamente il numero campionato di tracce con entrambe le estremità al di fuori _# della finestra e quello di tracce con entrambe le estremità all’interno.

Occorre considerare due casi speciali da evitare:

1. Se ”• = ” , allora “̂ → ∞. In questo caso tutte le tracce che intersecano la finestra hanno _| entrambe le estremità esterne; questo implica che l’area della finestra potrebbe essere troppo piccola e quindi non rappresentativa della parete. Per evitare questo problema basta aumentare il valore del raggio c della finestra.

2. Se ”• = ”, allora “̂ = 0. In questo caso tutte le tracce che intersecano la finestra hanno _# entrambe le estremità interne e la lunghezza media di traccia è nulla per definizione. Per evitare questo caso occorre ridurre il valore del raggio c della finestra.

Gli autori mostrano come l’effetto di non uniformità della distribuzione delle tracce decresca per effetto delle operazioni di media sui dati dell’affioramento; in altre parole, la vera lunghezza media di traccia

“, per essere stimata il più correttamente possibile, deve essere calcolata come media delle “̂

ottenute da un opportuno numero di finestre dello stesso raggio collocate in diversi punti della parete.

Questa è la ragione per la quale si è scelto di considerare i valori ottenuti su più finestre; inoltre, al fine di evitare i casi ”_|= ” e ”_#= ”, verranno considerate un certo numero di valori per il raggio delle finestre.

3.1.2.2 Campionamento su scanline circolare

Il campionamento su scanline circolare proposto da Mauldon, Dunne e Rohrbaugh (2001) si pone come metodo avanzato di campionamento su una linea; la tradizionale scanline retta viene sostituita da un cerchio, del quale è possibile sfruttare le proprietà di simmetria. L’unica ipotesi su cui si basa il metodo è la seguente:

1. La posizione delle trace e la posizione della scanline sono statisticamente indipendenti.

Il metodo, finalizzato anch’esso al calcolo della lunghezza media di traccia “, richiede che per ogni finestra circolare vengano acquisiti il numero n di intersezioni delle tracce con la scanline e il numero m di estremità di traccia che ricadono all’interno della finestra circolare di cui la scanline costituisce il perimetro. Si tratta quindi del conteggio di punti in funzione della posizione rispetto ad una linea circolare.

67 In questo caso viene elaborata la relazione per calcolare la lunghezza media “̂ delle tracce campionate in una scanline circolare:

“̂ =—3 2 Bš

&(C

dove c è il raggio della scanline, š il numero campionato di intersezioni delle tracce con la scanline e &( il numero campionato di estremità di traccia che ricadono all’interno.

Figura 4: n tracce di discontinuità che intersecano la scanline(verde); m estremità di traccia contenute nell’area racchiusa dalla scanline (arancione).

In caso di più scanlines dello stesso raggio, i valori di š devono essere ottenuti separatamente e sommati, per calcolarne il valore medio ›; lo stesso vale per i valori di &( per calcolarne il valore medio &œ. Perciò la relazione per stimare la lunghezza media di traccia utilizzando un certo numero di scanlines dello stesso raggio ma collocate in posizioni diverse è:

“̂ =—3̅

2 B›

&œC

Anche in questo caso gli autori suggeriscono che per stimare il più correttamente possibile la vera lunghezza media di traccia “ si debba utilizzare un opportuno numero di scanlines dello stesso raggio collocate in diversi punti della parete.

Gli autori suggeriscono inoltre che i centri delle scanlines siano disposti in una griglia regolare che ricopra tutta la parete in esame e che vengano considerate, per l’acquisizione dei valori, solo le finestre la cui superficie è completamente all’interno della superficie delle parete.

68 Figura 5: scanlines/finestre circolari disposte in punti casuali della parete (in grigio): i cerchi 1 e 2 possono essere utilizzati, il cerchio 3 invece va scartato poiché è parzialmente all’esterno della parete.

3.1.2.3 Misurazione delle tracce

Al termine del conteggio secondo i metodi di campionamento illustrati, vengono misurate le porzioni di traccia che ricadono all’interno di ogni finestra/scanline circolare. Questo permette di calcolare media e deviazione standard del campione, ottenendo una stima della forma della distribuzione f(l) delle tracce di discontinuità.