Prima di andare a descrivere lo stato dell’arte sugli esperimenti effettuati, occorre indicare che la maggior parte degli autori si è avvalso di modelli matematici statistici per cercare le correlazioni fra i vari parametri in gioco e il danneggiamento del carico. Un esempio di parametri o variabili indipendenti che possono influire sulle vibrazioni trasmesse dal camion sono: velocità, tipo di strada, disposizione del carico sul pianale del rimorchio.
Quindi per capire quale sia il parametro più influente, tipicamente gli autori, si sono avvalsi di metodi per progettare ad hoc l’esperimento e scegliere le variabili indipendenti in maniera ottimale. Tale tecnica, prende il nome di DOE (Design of Experiment), ossia progettazione dell’esperimento.
Il modello utilizzato è l’ANOVA (Analysis of Variance) cioè l’analisi della varianza ad uno o più fattori.
Per spiegare meglio il suo funzionamento, segue un esempio:
Y =
variabile dipendentela variabile dipendente è il risultato di una prova, o un indicatore di qualità;
X
= variabile dipendenteLa variabile dipendente è il fattore potenzialmente influente;
bisogna capire quale sia il legame fra X e Y. A tal proposito si svilupperà un legame funzionale del tipo 𝑌 = 𝑓(𝑋, 𝜀), dove ε rappresenta l’effetto di tutti gli altri fattori a parte X, ossia l’incertezza sperimentale.
Se prendiamo come Y le ore di durata di una batteria e X i vari marchi e con ε gli altri fattori di cui però non se ne ha una piena consapevolezza e che possono comunque incidere sul risultato ne può risultare una tabella come la seguente:
dove i = 1,…, R indica la ripetizione, J = 1,…, C indica i livelli;
𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖𝑗+ 𝜀𝑖𝑗 (1)
Dove 𝜇indica la media totale vera, ossia su infinite prove;
τj quanto mediamente il risultatodel singolo livello si distacchi dalla
media totale;
𝜀𝑖𝑗 indica il rumore associato allo i,j- esimo valore.
Operativamente si effettua una media per ogni singola colonna delle R ripetizioni, se le medie per colonne differiscono molto, allora possiamo già intuire che il marchio possa avere un effetto sulla vita della batteria.
Il fattore µ è stimabile effettuando la media secondo la seguente formula:
𝑌̃. . =
∑
(∑
𝑌
𝑖𝑗 𝑅 𝐽=1)
𝐶 𝑗=1𝑅𝐶
la stima di τj invece è la risultante della differenza di 𝑌̃.j - 𝑌̃.. ossia è lo scostamento dalla
media di ogni livello. Infine 𝜀𝑖𝑗 lo si ricava dalla differenza degli altri fattori.
Segue che la (1) può essere riscritta come: (2)
Nella (2) il primo membro indica la variazione totale in Y, a secondo membro il primo termine indica la variazione in Y associata ai vari livelli (colonne) cioè a X, mentre il secondo termine descrive la variazione in Y associata agli latri fattori (l’errore).
Ora, quadrando i membri e sommando su i e su j si ottiene la seguente equazione:
TSS: è la varianza totale dovuta al fattore X e all’incertezza;
SSBC: varianza legata all’impatto della variabile X su Y, R è un coefficiente di amplificazione
che serve a dare un maggior peso e quindi significato al valore, cioè se si dispone solo di 2 prove (R=2) il valore è meno significativo di 10 prove (R=10);
SSWC: varianza legata agli altri fattori diversi da X, se SSWC quasi coincide con TSS e SSBC
è quasi nullo, ciò indica che il fattore X potrebbe avere influenza sulla Y ma il suo flusso è influenzato dall’incertezza, invece se SSBC quasi coincide con TSS allora l’effetto di X è
evidente.
Per l’Anova ad un fattore, si completa innanzitutto una tabella come segue: VARIANZA SSQ GdL MSQ FRA LE COLONNE SSBC (C-1) MSBc = 𝑆𝑆𝐵𝑐 𝐶−1 ENTRO LE COLONNE (ERRORE) SSWC C(R-1) MSW = 𝑆𝑆𝑊𝑐 𝐶(𝑅−1)
SSBc misura la varianza fra le colonne confrontandole (c-1 confronti) SSWc misura la varianza fra le righe per ogni colonna (C*(R-1) confronti)
Compilata la precedente tabella, si effettua un confronto fra MSBc e MSW calcolandone il rapporto come segue 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑀𝑆𝐵𝑐
𝑀𝑆𝑊 se il rapporto è > 1 allora è ragionevole ritenere che
X abbia un effetto su Y al di là delle incertezze.
Giunti a questo punto, occorre capire se accettare l’ipotesi nulla (H0) con la quale si
conferma che la variabile non ha alcun effetto sul risultato e che le differenze osservate sono solo dovute all’incertezza o, accettare l’ipotesi di significatività (H1) con la quale si
conferma che la variabile ha un effetto sul risultato al di là delle incertezze. Per effettuare tale confronto ci si può servire della distribuzione di Fisher, la quale rappresenta la distribuzione di probabilità di 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 .
Osservando la funzione, si ha che l’area sottesa la coda della curva (parte dx), rappresenta la probabilità di ottenere quanto ottenuto (p-value) partendo dall’ipotesi che X non influisca su Y. Se la probabilità di aver ottenuto tali risultati è bassa, allora si rigetta H0,
quindi X ha influenza su Y.
La soglia di probabilità tipicamente è α = 0.05, ossia il 5% di significatività. α individua il valore limite di c.
Se p-value < α si rifiuta H0, altrimenti se p-value > α si accetta H0. Analogamente se 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐
≥ c si rifiuta H0, se 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 < c si accetta H0.
Il p-value è calcolabile anche tramite una funzione di Excel (DISTRIB.F) che prende in ingresso 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 , i GdL di MSBC e MSW. Il valore della soglia c è calcolabile sempre una
Oltre ai modelli statistici, gli autori si avvalgono di opportuni grafici per la descrizione delle sollecitazioni di tipo meccanico e, quindi a diversi indici. Qui, verranno descritti sommariamente il significato del Root Mean Square, e del PSD (Power Spectra Density).
RMS (o valore quadratico medio)
nella teoria dei segnali, il valore quadratico medio di una funzione continua, è il valore efficace della funzione x(t) sul periodo stesso
𝑋𝑟𝑚𝑠= √ 1 𝑇∫ 𝑥(𝑡) 2 𝑇 0 (4)
Se il segnale fosse di tipo discreto, al posto di un integrale dovremo inserire una sommatoria, mediata sull’indice della sommatoria.
𝑋𝑟𝑚𝑠 = √ 1 𝑁∑ 𝑥𝑖(𝑡) 2 𝑁 𝑖=1 (5)
PSD (Funzione di Densità Spettrale)
Innanzi tutto si definisce il senso di autocorrelazione, come il grado di dipendenza tra i valori assunti da una funzione campionata nel suo dominio in ascissa. In altre parole, il segnale all’istante t viene confrontato con un altro valore di sé stesso ritardato di un valore τ, per comprendere quanti si somigli o quanta correlazione ci sia all’avanzare del tempo. Se il segnale varia poco nel tempo x(t) e x(t+τ) saranno simili e quindi l’autocorrelazione avrà segno positivo, mentre se il segnale varia rapidamente i valori dei due istanti temporali sarà molto diverso e quindi l’autocorrelazione sarà prossima allo zero. Di solito l’autocorrelazione viene utilizzata per cercare valori simili all’interno di un segnale e, quindi per identificare un segnale periodico, che è stato coperto da un rumore.
Quindi l’autocorrelazione Rxx(τ) di una funzione x(t) indica quanto la funzione sia
correlata a sé stessa. La sua formulazione è la seguente: 𝑅𝑥𝑥(𝜏) = lim
𝑇→∞∫ 𝑥(𝑡)𝑥(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡 𝑇/2
−𝑇/2 (6)
La trasformata di Fourier della di Rxx(τ) è detta densità di potenza spettrale (PSD)
o densità di autospettro (ASD) e si indica con Sxx(ω)
𝑆𝑥𝑥(𝜔) = 𝐅{𝑅𝑥𝑥(𝜏)} (7)
La funzione Sxx(ω), è legata alla trasformata di Fourier di x(t) dalla relazione:
Sxx(ω) = X*(ω)X(ω) = |X(ω)|2 (X(ω)* complesso coniugato di X(ω)) (8)
La funzione di autospettro, è una funzione reale e contiene e informazioni sulle frequenze presenti in x(t), ma non sulle fasi. Per diminuire gli errori di misura, l’autospettro viene stimato effettuando la media di più misure. Per quanto riguarda nello specifico le vibrazioni, si preferisce quantificarle con l’utilizzo della PSD cioè dell’autospettro rapportato alla banda di frequenza del filtro, segue che l’unità di misura della PSD è [g2/Hz].