Lo studio del comportamento dinamico di una struttura consiste principalmente nel ricercare la storia di spostamenti cui il sistema andrà incontro in risposta ad una determinata serie di sollecitazioni esterne.
La risposta di un corpo a una sollecitazione di tipo dinamico, dal punto di vista teorico, può essere trattata come un problema di propagazione di onde in un mezzo continuo; oppure come un problema di tipo "Inerziale" riconducibile al moto di corpi rigidi.
Belytschko [14] classifica i problemi strutturali come "inerziali" in quanto il tempo di risposta del sistema è grande rispetto al tempo impiegato dalle onde di pressione per attraversare la struttura.
È possibile ottenere una descrizione analitica della risposta di un sistema a una sollecitazione esterna, solamente in pochi semplici casi d’interesse puramente teorico, in quanto la
possibilità di descrivere matematicamente il problema richiede una serie di semplificazioni che non sono giustificabili nella pratica progettuale.
Dall’impossibilità di ottenere una soluzione analitica al problema dinamico di strutture reali nasce l'esigenza di ricercare soluzioni approssimate di tipo numerico.
MODELLAZIONE DELLE STRUTTURE
3.1.1 GENERALITÀ
Esistono diversi metodi per ottenere soluzioni numeriche approssimate all'equazione del moto di una struttura. La scelta di un metodo rispetto ad un altro viene effettuata in base alle
caratteristiche del problema da analizzare, che può essere lineare o non lineare, e in base al grado di accuratezza richiesto.
Per studiare la risposta di strutture dal comportamento lineare o quasi lineare, il metodo più usato è basato sull'analisi dei modi di vibrare; non solo perché la conoscenza di tali modi di vibrare fornisce importanti indicazioni sul comportamento dinamico della struttura, quali le frequenze proprie di vibrazione, ma anche perché tale approccio è in grado di disaccoppiare il sistema di equazioni del moto e di risolverlo in un modo efficiente dal punto di vista
computazionale.
Per l'analisi di strutture dal comportamento non lineare, l'approccio più adatto a cogliere il comportamento del sistema è quello dell'integrazione diretta nel tempo dell'equazione del moto.
3.1.2 CLASSIFICAZIONE DEI METODI DI INTEGRAZIONE
DELL'EQUAZIONE DEL MOTO
I metodi di integrazione dell'equazione del moto possono essere classificati come impliciti o espliciti. I metodi espliciti ottengono i valori delle grandezze dinamiche quali spostamento, velocità e accelerazione al tempo t+∆t partendo unicamente dai valori di tali grandezze al tempo t.
I metodi espliciti sono caratterizzati dal fatto di essere condizionatamente stabili. In generale il limite di stabilità, ovvero il massimo valore del passo temporale ∆t per il quale la soluzione converge verso la soluzione del problema, può essere approssimato come il tempo impiegato da un'onda elastica per attraversare il più piccolo elemento facente parte del sistema.
I metodi impliciti di integrazione dell'equazione del moto, superano il limite dovuto alla dimensione massima del passo temporale basando la soluzione dell'equazione al tempo t+∆t non solo sui valori delle grandezze dinamiche al tempo t ma anche su alcune delle stesse quantità al tempo t+∆t e proprio per ciò vengono detti impliciti.
METODI NUMERICI PER L’ANALISI DINAMICA
relazione al valore del periodo proprio T del sistema, nei problemi di carattere strutturale i metodi impliciti forniscono in genere risultati accettabili con passi temporali di uno o due ordini di grandezza superiori rispetto al limite di stabilita dei metodi espliciti.
Nella scelta del massimo passo temporale i fattori che maggiormente influenzano la scelta sono tre; essi sono:
• il tasso di variazione dei carichi applicati;
• la complessità delle caratteristiche non lineari del sistema; • il periodo proprio di vibrazione della struttura.
In generale per ottenere risultati affidabili il rapporto ∆t/T non dovrebbe superare il valore di 1/10.
3.1.3 IL METODO PROPOSTO DA HILBERT HUGHES E
TAYLOR
Scrivendo l'equazione di equilibrio globale tra le forze interne I le forze esterne F e le forze d'inerzia M•ű in forma matriciale otteniamo:
Equazione 3.1 in cui [M] è la matrice di massa, I il vettore delle forze interne e F il vettore delle forze esterne.
Il metodo implicito di integrazione dell'equazione del moto adottato dal codice di calcolo ABAQUS [15], utilizzato per le analisi numeriche nel presente lavoro, è quello definito da Hilbert, Hughes e Taylor (1978) [16]. Tale metodo utilizza un operatore monoparametrico con smorzamento numerico. Tale operatore rimpiazza l'effettiva equazione di equilibrio con un bilancio di forze di D'alambert alla fine del passo temporale ed una media pesata delle forze statiche presenti all'inizio e alla fine del passo temporale:
Equazione 3.2 La definizione dell'operatore di integrazione è completata dalle formule di Newmark per l'integrazione degli spostamenti e delle velocità:
[
M]
⋅uI−F =0MODELLAZIONE DELLE STRUTTURE Equazione 3.3 Equazione 3.4 in cui =1 41− 2 =1 2−
dove α deve rispettare la limitazione
−1
3≤≤0
Il principale vantaggio derivante dall'uso di questo schema di integrazione dell'equazione del moto è la possibilità di controllare lo smorzamento numerico e la forma che questo
smorzamento assume, ovvero questa formulazione fornisce un trascurabile incremento di smorzamento numerico alle basse frequenze, mentre mano a mano che ci si avvicina alle alte frequenze tipiche dei disturbi numerici introdotti dalla variazione del passo temporale tra un incremento e l'altro, lo smorzamento numerico diventa più significativo.
Più precisamente il controllo sullo smorzamento numerico avviene regolando il parametro α; infatti con α=0 lo smorzamento numerico è nullo, mentre per α = -1/3 si ha il massimo smorzamento numerico.
In particolare il solutore di ABAQUS utilizza il parametro a=-0.05 come valore predefinito, fornendo cosi un leggero smorzamento numerico che elimina il disturbo numerico ad alta frequenza, introdotto dal dalla variazione del passo temporale della procedura di integrazione dell'equazione del moto, senza alterare la risposta complessiva del sistema analizzato.
Equazione 3.5
( )
el vis F F dF du E E = + + ⋅ − ∆ ∆ ut t=utt ˙utt2 1 2− ¨ut ¨ut tMODELLAZIONE DEI GIUNTI