Il Free Disposal Hull consiste semplicemente nel confronto tra input utilizzati e output prodotti dalle DMU osservate (Rizzi, 2016). La frontiera efficiente è costituita dalle DMU che non risultano dominate da altre in input o in output: una DMU si intende dominata da un’altra se, a parità di input, produce una quantità inferiore di output oppure se produce lo stesso numero di output utilizzando un maggior numero di input. Le DMU situate sulla frontiera avranno un’efficienza pari al 100%, mentre per le altre la distanza radiale dalla frontiera rappresenterà il grado di inefficienza.
2.1.1 Caso multi input
Consideriamo per primo il caso in cui vi siano diversi fattori, input (x1, …, xN),
necessari alla produzione di un singolo prodotto, output. Debreu e Farrell definisco tale questione come la “massima riduzione equiproporzionale di tutti gli input che permetta di mantenere la produzione di un dato vettore di output” (De Stefanis e Pavone, 1996). Una situazione ipotetica, in cui vengono prese in esame 6 differenti DMU (A, B, C, D, E e F), può essere graficamente rappresentata come in figura 2.1.
52 Rizzi (2016) p. 4
49 Figura 2.1 FDH caso 2 input - 1 output.
Le DMU efficienti (peers) sono A, B, E ed F: ciò significa che, a parità di output prodotto, queste unità utilizzano combinazioni di input tali per cui non esiste un’altra DMU osservata che le domini in input. La linea tratteggiata che collega le quattro unità efficienti rappresenta la frontiera efficiente.
Perché una DMU sia dominata è necessario che ve ne sia un'altra che utilizzi minori quantità di entrambi gli input (sia di x1 sia di x2): in tal caso, C e D sono dominate
rispettivamente da B ed F. Infatti, C sarebbe dominata da A solo relativamente a x1 e
sarebbe dominata da E solo per quanto riguarda x2. Per essere considerata efficiente, C
dovrebbe collocarsi in corrispondenza di C’, e D in corrispondenza di D’.
Mentre A, B, E ed F hanno un’efficienza in input (EI) pari a 100%, l’efficienza delle altre DMU è ovviamente inferiore. Prendendo ad esempio l’unità C, graficamente si tratta del rapporto tra i due segmenti:
𝐸𝐼(𝐶) =𝑂𝐶′ 𝑂𝐶
Dal punto di vista analitico, l’efficienza in input è misurata secondo la formula:
𝐸𝐼(𝑖|𝐽) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑚𝑎𝑥𝑥𝑠
𝑗
50 Dove J è l’insieme delle DMU che dominano l’unità inefficiente i, e s rappresenta gli input utilizzati (più di 1).
Letteralmente ciò significa calcolare il maggior rapporto tra gli input (input efficiente su input inefficiente) e scegliere come valore il minore tra tutti quelli risultanti. In altre parole, si calcolano così tutti i gradi di efficienza di una DMU rispetto alle sue dominanti, scegliendo il minor valore che rappresenta la maggior distanza dalla frontiera efficiente. Il grado di efficienza risultante, è quindi quello tra la DMU inefficiente rispetto alla sua maggiormente dominante.53
2.1.2 Caso multi output
Altra situazione è quella in cui vi sia un singolo input utilizzato al fine della produzione di diversi output (y1, …, yN). Specularmente a quanto visto prima, la questione
è ora definita come il massimo aumento equiproporzionale di tutti gli output mantenendo inalterato l’utilizzo di un dato vettore di input (Debreu e Farrell). Prendendo ad esempio le medesime DMU del caso precedente, una rappresentazione grafica ipotetica potrebbe essere quella della figura 2.2.
Figura 2.2 FDH caso 1 input - 2 output.
53 Rizzi (2016) p. 37
51 Le DMU efficienti (peers) sono nuovamente A, B, E ed F. La linea tratteggiata che le collega è la frontiera efficiente: a parità di input utilizzati, queste unità produttive producono combinazioni di output tali per cui non esiste un’altra DMU osservata che le domini in output.
Perché una DMU sia dominata è necessario che ve ne sia un’altra che produca maggiori quantità di entrambi gli output (sia di y1 sia di y2). C è dominata da E, mentre B
risulterebbe dominata da sia da E (maggiormente dominante) sia da F. Per essere considerate efficienti, C e D dovrebbero collocarsi rispettivamente in corrispondenza di C’ e D’.
Graficamente il grado di efficienza in output di C è rappresentato dal rapporto in formula, reciproco di quanto visto in relazione al caso multi-input:
𝐸𝑂(𝐶) = 𝑂𝐶 𝑂𝐶′
Dal punto di vista analitico, l’efficienza in output è misurata secondo la formula:
𝐸𝑂(𝑖|𝐽) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑚𝑎𝑥 1
𝑦𝑟𝑗/𝑦𝑟𝑖; 𝑟 = 1, … , 𝑅; 𝑗 ∈ 𝐽}
Dove J è l’insieme delle DMU che dominano l’unità inefficiente i, e r rappresenta gli output prodotti (più di 1).
Di nuovo, si tratta di calcolare il maggior valore del termine 1
𝑦𝑟𝑗/𝑦𝑟𝑖 per tutti gli
output, e scegliere tra questi il minimo. Il grado di efficienza in output risultante è quindi quello tra la DMU inefficiente rispetto alla sua maggiormente dominante.54
2.1.3 Caso multi input – multi output
Analizzare situazioni mono-input e mono-output è certamente utile per capire analiticamente e graficamente i meccanismi teorici che stanno alla base del funzionamento di questi modelli statistici. Tuttavia, è scarsamente probabile trovarsi nella
54 Rizzi (2016) p. 39
52 realtà a dover analizzare casi analoghi; è più realistico trovarsi nell’ambito di situazioni in cui vengono utilizzati diversi input per la realizzazione di diversi output.
Il metodo FDH prevede semplicemente che il grado di efficienza complessiva sia dato dalla media tra il grado di efficienza in input (EI) e quello di efficienza in output (EO):
𝐸(𝑖) =1
2𝐸𝐼(𝑖|𝐽) + 1
2𝐸𝑂(𝑖|𝐽)
Trattandosi della media tra due valori compresi tra 0 e 1, è chiaro che anche il grado di efficienza complessiva (EI) di una DMU i sarà tra 0 e 100%.
Il Free Disposal Hull gode di vantaggi, tra cui:
Assunzioni teoriche minime sulla forma della tecnologia utilizzata,
Confronto effettuato esclusivamente sulla base di osservazioni reali. ma anche di alcuni difetti:
Scarsa selettività,
Impossibilità di assegnare un peso ai vari input e output utilizzati. 55
Il problema della scarsa selettività è evidente in riferimento all’unità E in figura 2.1, e all’unità B in figura 2.2. Se immaginiamo di tracciare una curva di isocosto (o di isoquanto) approssimativa, notiamo che tali DMU ne rimarrebbero sensibilmente all’interno. E’ proprio alla soluzione di questo dilemma che tende la metodologia DEA.