Metodo Monte Carlo

È una scrittura leggermente più complicata rispetto a quella precedente ma in sostanza analoga.

- Modello di attenuazione sviluppato da Marin E Al nel 2004:

Oltre a queste sono state realizzate più di 2000 leggi di attenuazione; per ottenere una omogeneizzazione dei risultati per le tre leggi riportate, è stata proposta una generica equazione funzione di 7 parametri:

√

6.2 Metodo Monte Carlo

Una volta automatizzata la procedura per la definizione della probabilità associata a ciascun stato di danno, il passo successivo sarebbe quello di tenere conto di tutte le possibili combinazioni di danno per ciascun ponte. Questa è una operazione estremamente laboriosa e l’unica via per realizzarla è di implementare all’interno del database il Metodo Monte Carlo, che esegue un’analisi campionaria degli stati di danno.

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6.2.1 Generalità sul metodo Monte Carlo

Il metodo Monte Carlo si basa sull’idea di stimare il valore medio di una popolazione attraverso un’indagine campionaria. Si effettuano dei test (in numero sufficientemente grande) che controllano in che condizioni si trova una certa variabile di controllo, poi si misura il risultato ed infine si esegue un test di convergenza per verificare la bontà del campionamento. Un classico esempio di applicazione del metodo è il calcolo dell’area di un cerchio.

Si tratta di un problema bidimensionale, l’applicazione del metodo consiste nell’effettuare un numero di lanci, n, e controllare se il punto “casuale” definito in base alle sue coordinate, (x, y), si trova all’interno o all’esterno del cerchio controllando che:

√

La stima dell’area si ottiene facendo la media delle prove positive sul totale dei lanci:

̅ ^∑

è una variabile booleana (in realtà un vettore di valori booleani) che indica

per ogni prova se il lancio effettuato cade all’interno del cerchio o meno. Si riportano in figura 6.1 due prove, la prima con 1000 lanci e la seconda con 10000.

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Le origini del metodo di Montecarlo sono da ricercarsi nella matematica settecentesca, tuttavia la formalizzazione è avvenuta all’interno del progetto Manhattan a metà degli anni ’40, ad opera di John von Neumann e Stanislaw Marcin Ulam. Il nome è stato assegnato dal prof. Nicolas Constantine Metropolis per descrivere l’aleatorietà, base dei giochi d’azzardo, aleatorietà rappresentata per antonomasia dal casinò di Montecarlo. Il metodo era già stato impiegato negli anni ’30 da Enrico Fermi per il calcolo delle proprietà del neutrone. Trent’anni prima, all’inizio del secolo scorso il metodo era stato applicato per risolvere il problema dell’ago di Buffon.

Il metodo è usato per trarre stime attraverso simulazioni. Si basa su un algoritmo che genera una serie di numeri tra loro non correlati, che seguono la distribuzione di probabilità che si suppone abbia il fenomeno da indagare. L'incorrelazione tra i numeri è assicurata da un test chi quadrato.

La simulazione Monte Carlo calcola una serie di realizzazioni possibili del fenomeno in esame, con il peso proprio della probabilità di tale evenienza, cercando di esplorare in modo denso tutto lo spazio dei parametri del fenomeno. Una volta calcolato questo campione casuale, la simulazione esegue delle 'misure' delle grandezze di interesse su tale campione. La simulazione Monte Carlo è ben eseguita se il valore medio di queste misure sulle realizzazioni del sistema converge al valore vero.

L'algoritmo Monte Carlo è un metodo numerico che viene utilizzato per trovare le soluzioni di problemi matematici, che possono avere molte variabili e che non possono essere risolti facilmente, per esempio il calcolo integrale. L'efficienza di questo metodo aumenta rispetto agli altri metodi quando la dimensione del problema cresce.

6.2.2 Applicazione del metodo al caso dei ponti

Alla base dell’applicazione di Monte Carlo è la conoscenza delle curve di fragilità per ogni ponte, in particolare per ogni stato di danno.

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Dalle curve, attraverso un lancio di Monte Carlo, si determina in quale stato si trova il ponte per ciascun scenario sismico.

Si procederà nella seguente maniera. Si crea uno scenario di simulazione il cui numero è pari al numero di scenari sismici per numero di iterazioni di Monte Carlo. Quindi per ogni ponte, conoscendo il valore di accelerazione spettrale a 1 s associato ad un determinato scenario, si effettua un lancio di Monte Carlo per determinare in quale stato di danno si venga a trovare il ponte nell’iterazione corrente del metodo di Monte Carlo.

Riprendendo il grafico delle curve di fragilità per il ponte IBRID 45 (fig. 6.3), considerando che per un determinato scenario l’accelerazione Sa(1s) sia uguale a 0,3, si considera quindi (come già visto nei capitoli precedenti) la verticale. Entra in gioco quindi la generazione casuale dei numeri attraverso la chiamata alla funzione random.

Il numero casuale determina se il ponte si trova in uno stato di nessun danno (numero causale χ lanciato, con i dati di figura, compreso nell’intervallo 1.000≤χ≤0,4), nel caso in cui il numero casuale χ cadesse sopra la curva di danno moderato e, necessariamente, all’interno della curva di danno lieve, il danno del ponte si definirebbe lieve (0,4≤χ≤0,22). Nel caso il numero casuale cadesse tra 0,22 e 0,13 il manufatto sperimenterebbe uno stato di danno moderato. Se il numero causale χ è compreso tra 0,13 e 0,46 lo stato di danno è esteso, se il numero casuale è inferiore a 0,46 il ponte si definisce collassato.

Tale operazione viene svolta per ogni ponte presente in rete per ciascuno scenario sismico analizzato, e per ogni iterazione del metodo Monte Carlo.

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Fig. 6.3 Esempio IBRID 45