La metodologia dell’approccio Geostatistico Bayesiano Quasi-Lineare Il codice utilizzato per la stima della conducibilità idraulica è il BgaPEST (Fienen

et al., 2013), un software gratuito per la soluzione di problemi inversi fortemente parametrizzati, sviluppato sulla base dei protocolli del software PEST (Doherty, 2010). La metodologia inversa è in grado di stimare il campo di conducibilità idraulica combinando le osservazioni sullo stato del sistema (i livelli piezometrici nei pozzi) e le informazioni a-priori sulla struttura dei parametri incogniti, caratterizzate da funzioni geostatistiche, ovvero tramite uno specifico modello di covarianza. Le informazioni a priori, dal punto di vista geostatistico, impongono un certo grado di continuità e di uniformità al campo dei parametri incogniti e hanno lo scopo di regolarizzare la soluzione. La procedura inversa richiede il calcolo della sensitività di ciascuna osservazione a ciascuno dei parametri stimati;

questa è stata valutata in maniera efficiente tramite il codice in avanti MODFLOW_2005_Adjoint (Clemo, 2007) facendo ricorso ad una formulazione agli stati aggiunti.

Visto l’esiguo numero di osservazioni in confronto al numero di celle attive, si è deciso di ridurre il numero di parametri da stimare accorpando le celle e riducendo il numero di parametri e conseguentemente semplificare il processo di stima. Il teorema di Bayes, alla base dell’approccio geostatistico, espresso in funzione di variabili casuali e loro funzioni di densità di probabilità (pdf), afferma:

) (

) ( )

| ) (

|

( y

s s y y

s p

p

p  p (1)

dove s e y sono rispettivamente le incognite (quantità incerte) e le osservazioni (grandezze misurate).

Nell’ eq. 1, p(s|y) è la pdf condizionata di s noto y (a posteriori) valutata come il prodotto della pdf di verosomiglianza p(y|s) di y per un dato stato di s e la pdf a priori di s, p(s) normalizzati rispetto alla pdf totale p(y); tale per cui la somma delle probabilità a posteriori sia 1. I termini a priori e a posteriori sono riferite alle misure.

La probabilità a priori rappresenta la conoscenza circa le incognite a priori, che è nota, prima che ogni dato osservato sia stato considerato; tuttavia, in problemi di interpolazione ed inversi è ragionevole dedurre la struttura di s, rappresentata dalla pdf a priori, dai dati. Ci si riferisce, in questo caso, ad un metodo "empirico di Bayes".

Un approccio “computazionalmente” conveniente e popolare è quello di adottare una pdf a priori gaussiana e una funzione di verosimiglianza gaussiana in modo che anche la pdf a posteriori è anche essa gaussiana.

Considerando la seguente relazione:

 

= +

y h s r (2)

L’eq. 2 lega il vettore dei dati (le osservazioni di carico) al vettore delle incognite (i parametri) s n_par1; h s

 

nobs¹ rappresenta il modello in avanti che, per un dato s, fornisce i valori nello stesso luogo e istante dei dati osservati (nobs e npar sono il numero delle osservazioni e dei parametri rispettivamente). Gli errori nel modello concettuale, quelli dovuti alla soluzione numerica del modello e quelli casuali di misura, sono considerati tramite il vettore di errore epistemico r n_par1. Le incertezze epistemiche sono assunte come un processo casuale con media nulla e matrice di covarianza R n_obsn_obs in cui s e r sono scorrelati.

Il vettore s delle incognite a priori è assunto con una distribuzione random multi-Gaussiana con media^E

 

^{s X} e covarianzaE



sX



sX



^TQss, dove il simbolo E indica il valore atteso,X n_parp è una matrice nota (funzione di base), β

 

^p1 è un vettore dei coefficienti di deriva (drift coefficients) e Qss è la matrice di covarianza. La matrice X associa ogni valore del vettore s al corrispondente valore medio selezionato dal vettore β (in questo modo si può riferire a zone con differente media o parametri di diverso tipo) un trend dell’informazione conosciuta a priori riguardo s può anche essere espresso dalla stessa matrice.

Assumendo βincognita a priori uniforme su tutto lo spazio, s e β sono entrambe stimate e la pdf a priori multi-Gaussiana vale:

   

^{T -1}ss

 

, exp -1

p s    2 sX Q sX  (3) Nel caso in cui la relazione tra i parametri e le osservazioni fosse lineare, h(s) può essere sostituito con Hs dove la matrice H



^nobsnpar



è indipendente da s e la funzione di verosomiglianza dell’errore può essere scritta come:

obs 1 n 

 

 

y

 

^{exp -1}

 

^{T -1}

 

p y s   2 yHs R yHs  (4) applicando il teorema di Bayes la pdf multi-Gaussiana a posteriori diventa:

 

^{exp -1}₂

  

^{T ss-1}

  

^-



^{T -1}

  

p s y   s X  Q s X  yHs R yHs  (5) Le probabilità a posteriori di s e βsono quelle che massimizzano la probabilità dell’eq 5; per semplicità si minimizza il suo logaritmo negativo. La funzione obiettivo assume la seguente forma:

 

^T ss¹

   

^{T 1}

 

 

 s X Q sX  yHs R yHs (6) Dopo qualche manipolazione algebrica dei valori a posteriori sˆ(miglior stima) e , che minimizzano l’ eq. 6, si può ottenere risolvendo il seguente sistema di equazioni:

T

ˆ ss

ˆXQ H 

s (7)

T ss

T T 0 ˆ

      

     

 

    

 

HQ H R HX y

X H  0

 (8)

Il sistema dell’eq. 8 è anche noto come sistema ordinario di cokriging usualmente derivato cercando la migliore stima lineare.

Nei problemi inversi i processi di stima, anche se non lineari, possono essere risolti per successive linearizzazioni con una procedura iterativa (metodi quasi-lineari).

Per problemi debolmente non lineari, h (s) può essere successivamente linearizzata ad una soluzione s_kseguendo l’approccio geostatistico quasi lineare (Kitanidis, 1995). Ad ogni iterazione k assumendo che l’effettivo sˆsia prossimo a sk, nel processo di linearizzazione, si approssima:

)

~( ) )

(s h(s_k Hs s_k

h    (9)

ˆ

dove la matrice di sensitività ~[ ]

par

obs n

n 

H deve essere valutata ad ogni linearizzazione come:

 

sk

k

s s

~ h





H .

La soluzione può essere ottenuta risolvendo nello stesso modo dell’eq. 8 il sistema lineare:

(10)

La nuova stima di s in modo analogo all’eq. 7 è:

(11) Si parte quindi da una stima di s_ke si migliora il risultato ad ogni iterazione. La procedura viene ripetuta iterativamente. Con questo approccio le iterazioni vengono arrestate quando il miglioramento nella funzione obiettivo è trascurabile.

Quando il processo iterativo è giunto a convergenza, può essere calcolata la covarianza a posteriori.

In accordo con Fienen et al. (2008), in questo lavoro è adottata un'approssimazione del modello per la funzione geostatistica di covarianza esponenziale dei parametri a priori:

( ) 2exp d

R d  l  (12) dove ² è la varianza, d è la distanza tra i nodi e l è la lunghezza di scala.

Assumendo che l sia costante e sufficientemente grande (10 volte (d) massimo) e impiegando la relazione ² l, il modello di covarianza a priori secondo l’eq. 12 può essere riscritto come:

( ) exp d R d l

  l 

   (13)

Il modello di covarianza sopra descritto è un modello valido per un singolo parametro  il quale deve essere stimato. In accordo con il modello ogni termine della matrice di covarianza nella funzione di densità di probabilità sarà:

exp ,

,

i j ss

Q i j l  dl 

  

  (14) Inoltre, in questo lavoro, la distribuzione dell’errore si presume essere indipendente e identicamente distribuita (e non correlata) con la varianza; in questo caso, la matrice di covarianza R assume la forma:

I

R² (15) dove I è la matrice identità.

Le funzioni di covarianza (Qss e R) sono definite mediante due parametri strutturali: il parametro di covarianza a priori  (eq. 14) e la varianza dell’errore epistemico²R (eq.15).

Nella derivazione dell'approccio geostatistico i parametri strutturali sono considerati noti ma la scelta dei parametri corretti è fondamentale per raggiungere una buona soluzione del problema. La stima dei parametri strutturali può essere basata sull’esame dei residui: la differenza tra l’osservato e lo stimato; in questo lavoro sono stimati analizzando i residui ortonormali come proposto da Kitanidis, 1997. Il vettore ortonormale dei residui è il vettore dei residui normalizzati



nobs p ¹



   dal vettore degli errori standard



nobs  p ¹



. L’ i-esimo valore residuo δi è la differenza tra l’i-esimo valore osservato e l’i-esimo valore stimato usando solo le prime i-esime misure.

In accordo con Kitanidis (1997) quando i parametri corretti vengono utilizzati, i residui εi sono indipendenti e identicamente distribuiti con distribuzione gaussiana, media nulla e varianza pari a 1. Per questa ragione, se i parametri non sono noti, la corretta selezione dei parametri è tale per cui:

2 2

1

1 1

nobs

i

obs i p

Q n p 

 

 





(16) Dal momento che devono essere stimati due parametri è necessario un altro vincolo: è ragionevole selezionare i valori dei parametri che determinano un piccolo errore di stima, cioè i residui δidevono essere il più piccolo possibile. Un buon accordo tra il modello e il dato è descritto da:

 

²

2

1

exp 1 ^nobs ln

i

obs i p

cR Q

n p 

 

  

 

  



 (17) Riassumendo, i parametri strutturali corretti sono i due che minimizzano l’ eq. 17 con il vincolo dell’ eq. 16.

Nel documento Università degli Studi di Parma Dipartimento di Ingegneria Civile, dell’Ambiente, del (pagine 89-95)