Il sistema a levitazione magnetica
2.4 Sospensione magnetica singola
2.4.2 Miglioramento della sospensione magnetica sin- sin-golasin-gola
1 + GH = 1
M s2 − H(s) . (2.39)
Il relativo diagramma di Bode `e rappresentato in Fig. 2.8, dove si `e posto M = 50 g, mentre kb = 0.5 N/A calcolato con l’espressione (2.30); l’intervallo di frequenza scelto `e [0.1, 10000] Hz.
Per determinare la funzione di trasferimento ad anello aperto, cio`e GH, occorre moltiplicare la funzione di trasferimento senza reazione (vedi App. C) per quella del filtro di reazione (2.36) ottenendo, dall’analogia con la (2.38),
GH = − H
M s2 . (2.40)
La (2.40) presenta due zeri per s = s2 ed s = s3, un polo doppio per s = 0 e due poli per s = s1 ed s = s4.
Il diagramma di Bode `e mostrato in Fig. 2.9, per la quale sono stati assunti gli stessi parametri usati per ottenere la Fig. 2.8.
Dalla Fig. 2.9 si evince quanto il feedback sia stabile, con un margine di fase di ∼ 70◦ ed un margine di guadagno nominalmente infinito, in quanto la fase di GH raggiunge −180◦ solo asintoticamente.
2.4.2 Miglioramento della sospensione magnetica sin-gola
Risulta vantaggioso migliorare la configurazione della sospensione ma-gnetica illustrata in Fig. 2.3 aggiungendo magneti permanenti in attrazione rispetto a quelli da levitare: una tale configurazione `e stata anticipata nel Par. 2.1, in cui si `e descritta una sospensione magnetica, ed `e illustrata in Fig. 2.1.
Il vantaggio consiste nell’utilizzare la bobina per ottenere la stabilit`a del-l’oggetto da levitare ed i magneti in attrazione per ottenerne l’equilibrio: il peso dell’oggetto da levitare potrebbe essere sostenuto completamente dai
2.4 Sospensione magnetica singola 47 soli magneti, mentre la corrente che circola nella bobina avrebbe il solo com-pito di attivare il feedback.
In tal modo si riesce a limitare la corrente che circola nella bobina fino ad annullarla, riuscendo ad attivare il feedback solo con la componente continua della corrente data da un offset che riporta a zero (cio`e nella posizione di equilibrio stabile) l’oggetto.
Scelto il sistema di riferimento come mostrato in Fig. 2.1, cio`e con l’ori-gine coincidente con il centro della bobina, l’equazione della dinamica per la configurazione mostrata in questa figura `e
M~a = ~Fd+ ~Fb+ ~Fpeso (2.41) che, ricordando le relazioni (2.6) e (2.16) e ricordando che nel sistema di riferimento scelto ~rd = ~rb + ~rm, dove ~rb(x, y, z) rappresenta la distanza del magnete da levitare dal centro della bobina e ~rm(xm, ym, zm) la distanza del magnete in attrazione dallo stesso punto, diventa nelle sue componenti
M ¨x = µ0µrm2
supponendo di avere un solo magnete in attrazione con un momento di dipolo uguale a quello del magnete da levitare.
Nel caso di corrente continua si pu`o ipotizzare, come gi`a fatto nel Par.
2.4, per la relazione I(z) un andamento lineare con la posizione; lungo la direzione dell’asse z la relazione `e ancora la (2.26), dal bilanciamento delle
forze per`o si osserva che la costante di richiamo `e diversa, agendo ora sulla massa da levitare anche la forza tra i dipoli magnetici.
La forza di richiamo, in questo caso, si ottiene calcolando la forza eserci-tata dalla bobina in z = ±Rb/2 e quella dipolare ad una distanza arbitraria del magnete in attrazione da quello levitato, zd = z +zm; sotto queste ipotesi, la forza per unit`a di lunghezza sar`a
Fr = Fb
Lungo la direzione z il bilanciamento delle forze risulta
kb(az) + Fd(zd) − Mg = 0 (2.44) dove M `e la massa dell’oggetto sospeso, a un fattore moltiplicativo: anche in questo caso, il cambiamento di segno della forza di richiamo dipende dal sistema di riferimento scelto (Fig. 2.1).
La distanza zd scelta per il magnete in attrazione `e arbitraria: ovviamente pi`u i dipoli magnetici sono vicini, pi`u grande `e la forza dipolare e maggior peso `e possibile sostenere, come illustra la Fig. 2.10, in cui `e mostrato l’an-damento della forza esercitata dal magnete in attrazione su quello levitato al variare della distanza che li separa.
Assumendo per la bobina, il magnete permanente e la permeabilit`a ma-gnetica gli stessi parametri assunti nel Par. 2.4, e scegliendo, ad esempio, zd = 3 cm, si ottiene un valore per la forza per unit`a di lunghezza di 0.63 N/m.
Sostituendo il primo membro della (2.31) con la (2.43) si pu`o calcolare il peso della massa che potr`a essere levitata che risulta di ∼ 64 g.
Confrontando le due situazioni (configurazione con bobina e configura-zione con bobina e magneti in attraconfigura-zione), si deduce che la presenza del
2.4 Sospensione magnetica singola 49 magnete in attrazione, per la distanza scelta, aumenta la costante di richia-mo di 0.13 N/m e permette di levitare ∼ 13 g in pi`u.
Sembrerebbe possibile, in questo modo, levitare una massa di qualunque peso, aggiungendo magneti permanenti di intensit`a maggiore possibile nella quantit`a necessaria, ma ci sono delle limitazioni imposte dalla geometria dei magneti e dalla loro effettiva distanza.
Calcolando quest’ultima dai centri dei magneti questa non potr`a mai es-sere nulla. Per magneti del tipo descritto nel Par. 2.4 la distanza minima tra i magneti in attrazione deve essere zd > 4 mm, essendo l’altezza di ciascun magnete di 4 mm, pertanto, ipotizzando una distanza tra i magneti di 5 mm il valore teorico massimo della massa che si pu`o levitare `e ∼ 170 kg.
-0.040 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005
2 4 6 8 10 12
Forza esercitata dal magnete in attrazione
distanza in m
forza in N
Figura 2.10: Forza esercitata da un magnete al variare della distanza Un ulteriore miglioramento potrebbe essere ottenuto realizzando una con-figurazione che utilizzi pi`u sistemi del tipo di Fig. 2.1 posti in parallelo: in questo modo `e possibile esercitare una forza maggiore con le bobine ed i
magneti a disposizione per ogni sistema ed arrivare a sostenere un peso mag-giore.
Una configurazione che utilizza due sospensioni singole in parallelo sar`a esaminata pi`u in dettaglio nel successivo capitolo: questo tipo di configura-zione `e stato utilizzato per sospendere il supporto di uno dei due specchi che compongono un interferometro Michelson.