Modelli di attrito

Per spostare una parte meccanica a stretto contatto con un'altra parte meccanica è necessario un livello di forza, noto come forza di attrito meccanica. Questo attrito deriva dall'interazione tra la rugosità sulle due superfici, superfici più lisce diminuiranno la forza di attrito (Pedersen, 2013).

Figure 24. Superfici rugose a contatto (matematicamente.it)

La valvola a farfalla su un veicolo è esposta all'umidità e allo sporco che si infiltra nel sistema meccanico. Ciò si traduce in un aumento dell'attrito tra le componenti in moto relativo. L’intensità dell’attrito cambierà durante il giorno a causa del cambiamento di temperatura dei componenti meccanici, ma anche per tutta la durata della valvola a farfalla a causa dell'usura. Il fenomeno dell’attrito ha un effetto preponderante sul comportamento della valvola a farfalla, questo sottolinea quanto sia importante simulare la progettazione di un sistema di controllo con un modello di attrito quanto più accurato, prima della sua implementazione su un componente fisico.

Dalla descrizione data in precedenza sembrerebbe che la forza di attrito sia soltanto una funzione dello spostamento tra le due superfici meccaniche, in questo modo la forza di attrito sarebbe la stessa se il moto meccanico viene ripetuto. In realtà si hanno variazioni casuali della forza di attrito prodotte da corpi estranei che si muovono quasi liberamente tra le superfici a contatto (ad esempio lo sporco).

La casualità dell'attrito nella valvola a farfalla rende difficile produrre un modello di attrito accurato per poter essere compensato direttamente dall’algoritmo di controllo. La conclusione è che la robustezza del controllore deve essere adeguatamente elevata per contrastare gli effetti dell'attrito.

La caratteristica di attrito può essere suddivisa in due fasi: regime di prescorrimento (o micro-slip) e regime di scorrimento. I metodi classici di analisi dell'attrito si concentrano sulla descrizione del regime di scorrimento. Tali modelli rappresentano la relazione statica tra velocità e forza di attrito.

Secondo la descrizione classica di attrito, si ritiene che esso abbia tre diverse componenti: l'attrito cinetico o viscoso, Coulombiano e statico.

1. L'attrito cinetico o viscoso è lineare e dipende dalla velocità, in molti casi è causato dalla rugosità delle superfici;

2. L'attrito di Coulomb è costante ma dipendente dalla direzione del moto;

3. L'attrito statico (attrito di stick-slip o del balbettamento) è la misura della forza di attrito necessaria per avviare il moto relativo a partire da velocità zero. Questo attrito non lineare può essere di intensità molto più elevata rispetto agli altri componenti di attrito. L'attrito statico può, in alcuni casi, dipendere dalla posizione realativa dei componenti meccanici a causa della casualità delle asperità sulla superficie, ma la modellazione di questo fenomeno non è stata inclusa nel lavoro di tesi. Esistono modelli che tengono conto anche dell'effetto Stribeck, che porta una migliore approssimazione dei fenomeni a basse velocità.

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Tuttavia, in ciascuno di questi casi, il comportamento in prescorrimento non viene considerato. È noto, tuttavia, che i modelli di attrito classici possono fornire risultati insoddisfacenti, specialmente negli istanti di zero crossing della velocità a causa della discontinuità nelle caratteristiche velocità-attrito in corrispondenza della velocità nulla. Pertanto, è importante studiare modelli più complessi, includendo anche fenomeni dinamici, come l'isteresi da attrito e i micro-slip nel regime di prescorrimento.

Vengono presentati di seguito diversi modelli di attrito, studiati durante le fasi di modellazione del progetto. Essi sono disposti in ordine di implementazione, ogni modello sostituisce quello precedente secondo l’ordine del percorso di tesi.

3.3.2.1 Attrito viscoso

Modello di attrito semplificato, in cui interviene soltanto il coefficiente di attrito cinetico o viscoso.

È un modello lineare, per cui l’intensità della coppia di attrito è direttamente proporzionale alla velocità angolare del piattello.

𝑇 = 𝑘 𝜃̇

Tale modello viene utilizzato per la definizione del modello lineare del sistema TVA.

Figure 25. Diagramma a blocchi del modello di attrito viscoso

31 3.3.2.2 Attrito viscoso e Coulombiano

Si tratta di un modello di attrito più complesso del primo, in cui, oltre al contributo dell’attrito viscoso, intervengono l’attrito Coulombiano e l’attrito statico.

Figure 26. Grafico del modello di attrito viscoso e Coulombiano

Come accennato in precedenza l’attrito Coulombiano è descritto da una coppia costante che si oppone alla direzione del moto. Il modello che ne deriva è di tipo non lineare.

𝑇 = 𝑘 𝑠𝑔𝑛 𝜃̇

L’attrito statico interviene soltanto quando la velocità è nulla. La coppia di attrito totale sarà data dalla somma dei tre contributi appena citati.

𝑇 = 𝑘 𝑠𝑔𝑛 𝜃̇ + 𝑘 𝜃̇ 𝑖𝑓 𝜃̇ ≠ 0 𝑇 𝑖𝑓 𝜃̇ = 0

Questo modello può essere utilizzato per caratterizzare il fenomeno di attrito in un sistema TVA ma rimane un modello semplificato che non descrive accuratamente il comportamento reale. In

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particolare, nella zona di transizione da attrito statico ad attrito dinamico si ha una discontinuità di prima specie, dovuta al fatto che i contributi di coppia di attrito statico e di attrito dinamico non presentano la stessa intensità. Inoltre, quando la velocità è nulla, la coppia di attrito statico si oppone a quella esterna, dal momento che l’attrito si oppone sempre al movimento. Un modello più complesso e accurato, come quello che verrà descritto successivamente, presenta una funzione di raccordo sulla transizione da attrito statico ad attrito dinamico.

Figure 27. Diagramma a blocchi del modello di attrito viscoso e Coulombiano

33 3.3.2.3 Attrito di Stribeck

Modello di attrito simile a quello descritto in precedenza, ma che presenta una funzione esponenziale di raccordo passando da attrito statico ad attrito dinamico. Questo modello tiene conto dell’effetto di Stribeck, che si presenta a basse velocità. In prossimità del minimo relativo introdotto dalla somma tra la funzione esponenziale e quella lineare che descrive l’attrito viscoso, si osserva il fenomeno dello Stick-slip o del balbettamento. In questa zona il moto presenta dei repentini cambi di velocità, che ricordano un balbettio.

La spiegazione si trova sulla forma della caratteristica di attrito: mantenendo una forza costante su un corpo in movimento ad una velocità inferiore a quella corrispondente al minimo relativo della caratteristica, si può osservare un’accelerazione amplificata. Forza costante implica accelerazione costante secondo l’equilibrio dinamico sul corpo, ma all’aumentare della velocità si ha una diminuzione del contributo di attrito e quindi un corrispondente aumento di accelerazione, fino a quando non si arriva alla velocità di minimo relativo. Passando sul ramo destro della caratteristica rispetto al minimo relativo, si osserva il comportamento opposto. L’aumento di velocità comporta un aumento della forza di attrito e quindi una diminuzione di accelerazione. La variazione di accelerazione che si ha passando da sinistra a destra del minimo relativo si riflette sull’andamento della velocità. Il corpo avanza balbettando durante il suo moto.

Figure 28. Grafico del modello di attrito di Stribeck

Il comportamento di attrito dinamico è descritto dagli stessi coefficienti definiti precedentemente. Si ritrovano infatti il coefficiente di attrito cinetico o viscoso e la coppia di attrito Coulombiano. Il modello di attrito statico presenta la coppia di attrito statico. Per passare da attrito statico ad attrito

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dinamico si introduce una funzione di tipo esponenziale che raccorda all’interno di un range di velocità l’intensità della coppia di attrito statico con quella dell’attrito dinamico.

𝑇 = 𝑘 𝑠𝑔𝑛 𝜃̇ + (𝑇 − 𝑘 )𝑒

̇̇ 𝑠𝑔𝑛 𝜃̇ + 𝑘 𝜃̇ 𝑖𝑓 𝜃̇ ≠ 0 𝑇 𝑖𝑓 𝜃̇ = 0

Si può osservare che per velocità nulla si ritrova lo stesso modello di attrito statico descritto nel paragrafo precedente. Lo stesso si può dire per il comportamento dell’attrito dinamico per velocità molto elevate, in cui risulta preponderante l’effetto di attrito Coulombiano e viscoso. L’unica differenza quindi si ha per velocità molto basse. Per velocità nulla, il segno della coppia di attrito statico è dato da quello della coppia esterna.

Figure 29. Diagramma a blocchi del modello di attrito di Stribeck

35 3.3.2.4 Attrito di Pedersen e Dodds

Come evidenziato precedentemente, i modelli di attrito classici come quelli presentati non danno risultati soddisfacenti in prossimità della velocità nulla, per via della scarsa accuratezza (Pedersen, 2013). In generale, quando la velocità è nulla, il segno dell’attrito statico è dato da quello della coppia esterna. In particolare, la coppia di attrito statico si deve opporre a quella esterna.

Figure 30. Grafico del modello di attrito di Pedersen e Dodds

Si introduce un modello di attrito ancora più complesso in grado di rispondere meglio allo zero crossing della velocità, senza prendere in considerazione la coppia esterna. Il seguente modello di attrito riprende il modello presentato da Haessig e Friedland nel 1990 e da Majd e Simaan nel 1995, introducendo delle importanti semplificazioni che riducono il calcolo computazionale. Il modello segue la formulazione:

𝑇 = (𝑇 + 𝑇 + 𝑇 ) 𝑦

Viene introdotta una funzione che rende lineare la transizione da velocità negativa a velocità positiva, eliminando il problema della discontinuità.

𝑦 =

|𝜔|

𝜔 , |𝜔| ≤ 𝜔 1, |𝜔| > 𝜔

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L’attrito statico segue in questo caso una funzione iperbolica, la quale presenta un andamento simile alla funzione esponenziale ma presenta meno parametri da caratterizzare sotto alcune condizioni, che verranno descritte poi.

𝑇 = 𝐴

𝜃̇ + |𝐵| 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝜃̇

𝐴 = 𝑇 (𝐵 + 𝜔 ) 𝐵 =𝑇 𝜔 − 𝑇 𝜔

𝜔 − 𝜔

A velocità zero l'attrito viene imposto come zero per aumentare la stabilità del modello. La pendenza nella zona di transizione è grande per ridurre l'impatto sul modello dell’attrito statico. Per semplificare la parametrizzazione del modello di attrito i due parametri 𝜔 e 𝜔 sono impostati inizialmente su valori costanti.

Figure 31. Diagramma a blocchi del modello di attrito di Pedersen e Dodds

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