Modelli discreti

Voter model

Questo modello `e uno dei primi della dinamica di opinione discreta, `e uno dei pi`u semplici e viene proposto originariamente per modellare la concorrenza delle specie [CS73]. Successiva- mente viene applicato anche alle elezioni elettorali [HL75] derivandone il nome.

In questo modello vengono considerati N agenti collegati attraverso un grafo sottostante e

ogni agente i possiede una delle due opinioni discrete xi = ± 1. In ogni fase temporale, viene

selezionato casualmente un agente i insieme a un suo vicino casuale j e xi viene impostata

1.3. OPINION DYNAMICS CAPITOLO 1. STATO DELL’ARTE

Quando gli agenti sono collegati da una rete completa, la popolazione converge al consenso su una delle due possibili opinioni. La probabilit`a che si raggiunga il consenso su una data opinione `e uguale alla frazione di individui che inizialmente possiedono tale opinione.

Una variante di questo modello, oltre a considerare singole coppie di agenti interagenti, ana- lizza un nodo e il suo vicinato, N. Se il numero di nodi nel vicinato che detengono un’opinio- ne diversa supera una data soglia T, il nodo selezionato cambia opinione. Ulteriori studi del modello prevedono ad esempio l’applicazione di questo su opinioni discrete non binarie e su diverse topologie di rete.

Majority rule model

Il Majority Rule model si colloca tra quelli che considerano opinioni discrete tra ± 1 ed `e sta- to introdotto per descrivere i dibattiti pubblici [Gal02]. Anche il nome di questo modello `e descrittivo del suo funzionamento: ad ogni iterazione un gruppo di r agenti `e scelto casual- mente come gruppo di discussione e tutti assumono l’opinione della maggioranza all’interno del gruppo.

La dimensione del gruppo selezionato pu`o essere impostata o selezionata ad ogni fase tempo- rale da una distribuzione precisa. Il valore di r pu`o quindi essere pari o dispari: nel caso in cui r `e dispari la maggioranza `e sempre definita; in caso contrario potrebbe non essere sempre possibile selezionare un’opinione predominante. Per ovviare a questo problema, viene inseri- to un errore sistematico a favore dell’opinione +1. Gli autori hanno dimostrato che l’opinione preferita verr`a assunta da tutta la popolazione e che il tempo medio di consenso scala come log N, dove N `e il numero di agenti nella rete.

Alcune estensioni di questo modello sono state utilizzate per esaminare l’andamento dei dibat- titi pubblici su questioni recenti. Qualcuna prevede due diversi tipi di agenti, cio`e gli indecisi e gli agenti che non cambiano opinione, dimostrando come quest’ultima tipologia definisce il risultato del dibattito. Un altro sviluppo considera la presenza di agenti “contrari” cio`e coloro che possiedono idee opposte e che quindi adottano l’opinione di minoranza del gruppo.

1.3. OPINION DYNAMICS CAPITOLO 1. STATO DELL’ARTE

Teoria dell’impatto sociale e modello di Sznajd

La dinamica delle opinioni `e un argomento di interesse anche per le scienze sociali. Una delle teorie che nascono da questo campo `e quella che prende il nome di teoria dell’impatto sociale [Lat81]. Questa descrive come gli individui percepiscono la presenza dei loro pari e come loro stessi influenzano gli altri, affermando che ci`o dipende dal numero N di individui, dal potere di persuasione, dalla distanza tra loro e dalla loro forza. L’idea `e che la forza `e rappresentata da due variabili: la persuasivit`a e il supporto che corrispondono rispettivamente alla capacit`a di un agente di cambiare l’opinione degli altri e alla capacit`a dello stesso di mantenere il suo pensiero. Agli archi viene assegnata la propriet`a di immediatezza, che descrive la facilit`a o probabilit`a della comunicazione tra due nodi specifici. Su un reticolo questa `e la distanza euclidea tra quei nodi, mentre in altre topologie grafiche pu`o essere gestita con archi ponderati. Se la somma ponderata della persuasivit`a di agenti che hanno un’opinione diversa dell’agente

i`e maggiore del sostegno degli agenti che hanno la sua stessa opinione, allora i viene persuaso

e cambia opinione.

Un modello che ha le sue fondamenta in questa teoria `e quello proposto da Sznajd [SS00]. Questo parte dall’idea che convincere qualcuno sia pi`u facile per un gruppo di persone che per un singolo individuo. Il social network considerato `e un reticolo bidimensionale e ciascun

agente possiede un’opinione xi = ± 1. Ad ogni step vengono selezionati due agenti vicini i e j,

se xi = xj, la coppia `e d’accordo e tutti i loro vicini copiano la loro opinione, altrimenti nessuna

opinione viene modificata. Esiste un’altra versione del modello che in caso di disaccordo tra le opinioni dei due agenti considerati, prevede che i vicini di uno prendano l’opinione dell’altro. Il modello Q - Voter

Questo viene introdotto come generalizzazione dei modelli di opinioni discrete. Il Q - Voter [CMP09] modella N individui in una rete completamente connessa e ognuno possiede uno stato ± 1. Ad ogni fase temporale si seleziona un insieme di agenti vicini q: se concordano, influenzano un vicino casuale, altrimenti con probabilit`a  il vicino scelto cambia la sua opi- nione. Il voter model e quello formulato da Sznajd sono casi speciali di questo, rispettivamente con q = 1,  = 0 e q = 2 e  = 0.

1.3. OPINION DYNAMICS CAPITOLO 1. STATO DELL’ARTE

I risultati con q ≤ 3 confermano quelli ottenuti per le configurazioni dei modelli dei casi spe- ciali, con transizioni da una fase ordinata ( piccolo) ad una di disordine ( grande), mentre si osserva come con un q > 3 si ha un nuovo tipo transizione tra le due fasi, ovvero un regime intermedio in cui lo stato finale dipende dalla condizione iniziale.