4.4 Modello matematico per l’analisi di scalabilit` a
4.4.1 Modellizzazione del circuito di selezione del piano
La modellizzazione proposta nel nostro tool MATLAB fa riferimento sia al dimen- sionamento dei parametri fisici dei ring che compongono il demultiplatore, sia alla stima dei livelli di crosstalk che tale struttura comporta. Per quanto riguarda la prima parte `e stata fatta distinzione tra ring dimensioanti secondo Vernier e ring dimensionati secondo il processo di ottimizzazione illustrato nei Par. 4.1.4, anche se la filosofia del progetto rimane la stessa. Per ogni ring facente parte del j-esimo
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stadio del demux `e stato calcolato il FSR attraverso la formula: F SRj =
2j· ∆λ
h (4.41)
dove h `e posto pari a 2j+ 1 per quanto riguarda la soluzione Vernier semplice, men- tre viene ricavato dalla funzione di ottimizzazione per quanto riguarda la soluzione ottimizzata. A questo punto abbiamo eseguito l’operazione di centratura nelle rispet- tive lunghezze d’onda di risonanza secondo le Eq. 4.8 e 4.9, ottenendo cos`ı il valore della lunghezza geometrica dei ring Lr con la quale siamo di conseguenza in grado di calcolare le perdite per roundtrip e il coefficiente χr. Svolte queste operazioni preliminari il tool determina per ogni ring i valori dei coefficienti di accoppiamento guida-anello (abbiamo supposto κ1 = κ2) necessari per ottenere alle porte drop una larghezza di banda a 3 dB sufficiente per il bit rate considerato. Utilizzando κ come varaibile, si ricava la banda espressa nella forma:
B3dB = F SR (1 − µ2χr) πpµ2χ r (4.42) con µ =√1 − κ2 (4.43)
Nel caso di ring ottimizzato, il valore di κ viene ricavato dalla funzione di ot- timizzazione, mentre nel caso Vernier semplice abbiamo deciso di attribuire a k il valore:
min [κ] : B3dB ≥ Rb (4.44)
cio`e il minimo necessario per avere una banda di ampiezza pari al bit rare Rb. Quest’ultima scelta non `e ottimale per quanto riguarda la riduzione dell’insertion loss alla porta drop, ma contribuisce a diminuire l’effetto del crosstalk. Noti i coefficienti di accoppiamento risulta possibile ricavare, mediante le Eq. B.24 e B.26, i valori di insertion loss alle porte drop e through e anche il valore del crosstalk relativo ai canali interferenti. Occorre precisare che, a seconda del percorso seguito dal segnale, questi valori possono subire variazioni anche importanti: generalmente le insertion loss in drop hanno un impatto pi`u rilevante di quelle in through (si vedano ad esempio le figure B.10 e B.12) e considerando tutti i ring attraversati, anche per un numero
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ridotto di stadi, la differenza tra il caso migliore e il peggiore pu`o essere di alcuni dB. Siccome la nostra analisi di scalabilit`a vuole essere piuttosto conservativa, nel computo delle perdite subite dal segnale utile abbiamo cercato di ricreare il caso pessimo di utilizzo del circuito considerando di volta in volta il massimo di questi due valori. Ogni singolo ring dell’i − esimo stadio attraversato dal segnale utile sar`a quindi caratterizzato dalle seguenti perdite:
ILringi = maxIL ON dropi, IL ON throughi (4.45) Per quanto riguarda l’analisi del livello di crosstalk non sono state fatte differen- ze tra le due tipologie di ring (ottimizzati e non), poich`e tale procedimento `e in- dipendente dal dimensionamento del singolo risonatore, ma dipende piuttosto dalla struttura del demultiplatore e delle interconnessioni presenti nell’architettura. A tale scopo si `e considerata la seguente distinzione tra potenza di segnale utile e potenza di crosstalk : la prima `e quella che deve essere realmente trasportata a ricevitore e quindi viene filtrata dalla funzione di trasferimento del ring in risonanza, subendo un’attenuazione pari a ILON
drop, mentre la seconda `e la potenza residua dovuta agli altri segnali presenti nel circuito che, per come funziona l’interleaver, cadranno sem- pre nella condizione di antirisonanza del ring, subendo quindi una perdita pari a ILOF F
drop. Considerando ora come segnale utile di riferimeto quello trasmesso dall’i- esimo trasmettitore del k-esimo piano, questo sar`a soggetto a N − 1 contributi di segnale indesiderato cos`ı composto:
• N
S − 1 contributi destinati agli altri ricevitori del suo stesso piano di ricezione e che quindi andranno a creare crosstalk solo a ridosso del ricevitore;
• N − N
S − 1 contributi destinati ai piani di ricezione diversi dal suo e quindi responsabili del crosstalk presente gi`a prima dell’EDFA.
In questo paragrafo focalizzeremo l’attenzione sul secondo dei due gruppi di con- tributi, mentre il primo verr`a considerato quando sar`a effettuata l’analisi del crosstalk dovuta alla selezione dello specifico ricevitore nel piano. Tale contributo in fatti, all’uscita del selettore del piano non `e da considerarsi crosstalk, ma segnale utile destinato ai ricevitori appartenenti al medesimo piano del canale di riferimento.
4.4. Modello matematico per l’analisi di scalabilit`a 97 Fig 4.14 Rif XT=(ILDOFF)-1 XT=(ILDOFF)-2 XT=(ILDOFF)-2 XT=(ILDOFF)-3 Useful signal Crosstalk
Figura 4.16: Contributi di crosstalk dovuti alla struttura ad albero.
Osservando la Fig. 4.16 si comprende come in realt`a il secondo contributo di crosstalk sia ulteriormente suddivisibile in due sotto-contributi, uno proveniente dalla met`a del demux in cui `e presente il mio segnale di riferimento e l’altro dalla met`a op- posta. Tale comportamento, definendo con L = maxS − 2T S−1 il numero di uscite della seconda met`a del demux sulle 2T S−1 effettivamente disponibili, `e modellizzabile nel seguente modo:
• L contributi aventi tutti potenza: PXT = Ps· T S Y i=1 1 ILOF F dropi ·N S (4.46)
• S − L − 1 contributi che dipendono dalla k-esima uscita dlla parte superiore dell’albero, ognuno dei quali avente potenza:
PXTk = k−1 Y i=1 1 ILON dropi · T S Y i=k 1 ILOF F dropi · 2|k−T S| · N S (4.47)
dove i indica lo stadio del demultiplexer a cui appartiene il ring attraversato e k la k-esima uscita della parte superiore dell’albero. Questi due contributi di potenza indesiderata, valutati appena prima dell’EDFA, continueranno il loro percorso nell’ar- chitettura fino ad arrivare al blocco di circuito dedicato alla selezione dei ricevitori, dove saranno soggetti ad un’ulteriore azione di filtraggio.
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