Modello di attrito

Le parti in movimento del braccio robotico sono inevitabilmente sogget-te all’azione dell’attrito. Questo desogget-termina una perdita di efficienza della macchina e un peggioramento delle prestazioni del sistema di controllo.

Nel modello dell’UR5, per tener conto delle coppie di attrito a cui sono sottoposti i singoli giunti, si `e scelto di concentrare tutti i loro effetti nei relativi riduttori. Al fine di rappresentare fedelmente tali azioni resistenti, `e necessario identificarne i parametri caratteristi e realizzare una modellazione quanto pi`u accurata possibile.

Riprendendo la metodologia riportata in [58, 59], l’identificazione dei parametri dinamici del robot in esame, e, pertanto, anche dei coefficienti di attrito, `e stata realizzata imponendo ad ogni giunto una traiettoria pe-riodica ricavata tramite una serie di Fourier del quinto ordine. Dopo aver sollecitato il braccio robotico in tal modo, i parametri di interesse sono stati estratti grazie al metodo dei minimi quadrati. Considerata la loro dipen-denza dalla temperatura, si `e condotta una campagna sperimentale con lo scopo di determinare i valori assunti al variare di questa. In particolare, come si pu`o vedere dalle figure 3.26 e 3.27, il coefficiente di attrito viscoso dei sei giunti si riduce, con legge quasi lineare, al crescere della temperatura, mentre quello relativo all’attrito coulombiano `e debolmente influenzato da questa grandezza, rimando circa costante.

Figura 3.26: Andamento del coefficiente di attrito viscoso nei sei giunti dell’UR5 in funzione della temperatura.

Come si `e gi`a riportato in precedenza, al fine di creare il database neces-sario per l’estrazione delle feature relative allo stato di salute del manipo-latore in esame, si devono effettuare un numero sufficientemente elevato di simulazioni, tale da essere significative dal punto di vista statistico. Queste riproducono il funzionamento del robot per un intervallo di tempo limita-to, inferiore a 10 secondi. Durante questo lasso di tempo, la temperatura del giunto `e soggetta a variazioni dell’ordine del decimo di grado Celsius e, pertanto, si potrebbe considerare costante. Con l’obiettivo di rendere il

Figura 3.27: Andamento del coefficiente di attrito coulombiano nei sei giunti dell’UR5 in funzione della temperatura.

modello valido anche per simulazioni pi`u lunghe rispetto a quelle effettuate, si `e scelto di considerare tale variazione, nonch´e quella dei coefficienti di attrito coulombiano e viscoso. I valori di questi ultimi sono stati ricavati sfruttando le funzioni MATLAB polyfit e polyval, grazie alle quali `e possibile realizzare un’interpolazione polinomiale dei valori ottenuti dalla campagna sperimentale.

In generale, l’andamento della coppia di attrito tra due superfici lubri-ficate pu`o essere approssimato tramite la curva di Stribeck. Come si pu`o vedere dalla figura 3.28, si possono distinguere diversi regimi di lubrificazione in funzione della velocit`a relativa tra le due superfici a contatto [9]:

ˆ attrito statico: rappresenta la soglia che la coppia deve superare affinch´e si possa innescare il moto relativo;

ˆ lubrificazione limite: si ha quando la velocit`a relativa `e troppo bassa affinch´e si possa instaurare un film di lubrificante tra le due superfici;

ˆ lubrificazione mista: il contatto `e supportato in parte dalla forza idrodinamica e in parte dalle asperit`a delle due superfici;

ˆ lubrificazione idrodinamica: il contatto solido-solido `e eliminato, pertanto si `e in regime completamente viscoso. Questa condizione non sempre si verifica.

Figura 3.28: Generico andamento della curva di Stribeck [9].

Una modellazione esatta della curva di Stribeck risulta molto comples-sa, pertanto, al fine di ottenere una modellazione degli effetti dell’attrito semplice e allo stesso tempo accurata, si `e approssimata tale curva trami-te una funzione dipendentrami-te dai coefficienti di attrito statico, coulombiano e viscoso, che, coerentemente con quanto riportato sopra, variano durante la simulazione in funzione della temperatura del giunto.

T_f = (T_f,s− T_f,c) · [1 − tanh (10 · ω)] + T_f,c+ f_v · ω (3.21) Essendo:

ˆ Tf la coppia di attrito complessiva a cui `e sottoposto il giunto;

ˆ Tf,s la coppia di attrito statico;

ˆ Tf,c la coppia di attrito coulombiano;

ˆ fv il coefficiente di attrito viscoso;

ˆ ω la velocit`a angolare del giunto.

Dall’espressione 3.21, si osserva che la coppia di attrito T_f non `e calcolata utilizzando la velocit`a relativa tra le due ruote, bens`ı tramite la velocit`a del giunto. Questo `e dovuto al fatto che i parametri di attrito sono stati de-terminati tramite un modello matematico che sfrutta la velocit`a ω, anzich´e quella relativa. Questo algoritmo ha permesso di ricavare i parametri di at-trito coulombiano e viscoso di ogni giunto, mentre, non avendo informazioni

in merito all’attrito statico, si `e fatto uso della seguente espressione empirica per determinare la coppia limite che bisogna superare affinch´e si inneschi il moto:

T_f,s = 1, 5T_f,c (3.22)

Un esempio dell’andamento di tale curva, relativa al polso 3, `e riportato in figura 3.29.

Figura 3.29: Andamento della coppia di attrito (Tf) in funzione della velocit`a angolare nel sesto giunto (ω).

Il modello Simulink `e stato realizzato in modo da simulare l’azione del-l’attrito in regime statico e dinamico, nonch´e la discontinuit`a tra di essi. In particolare, con riferimento allo schema a blocchi riportato in figura 3.30, in corrispondenza di velocit`a del giunto prossime a zero, si simulano le condi-zioni di attrito statico, mentre per velocit`a maggiori si considera un attrito di tipo coulombiano e viscoso. Avendo i calcolatori una precisione finita, non `e possibile definire una velocit`a esattamente nulla. Pertanto, all’inter-no dello schema, si `e inserito un elemento che permettesse di individuare quando il giunto si trova in tale condizione. Inizialmente, si `e fatto uso del blocco Simulink Hit Crossing, grazie al quale `e possibile avere una precisione prossima all’epsilon di macchina. Tale blocco per`o, in talune simulazioni, ha indotto instabilit`a nel sistema, dunque, `e stato sostituito con una funzione di soglia che permette di individuare quando la velocit`a `e minore di 10⁻⁶ rad/s. L’utilizzo della funzione di soglia ha permesso di ridurre del 25%

i tempi di calcolo necessari per l’individuazione della condizione di attrito statico.

Inoltre, il modello permette di discernere la condizione di attrito statico stabile dalla condizione di stuck, ovvero quella condizione in cui la coppia attiva `e tale da determinare un’accelerazione del giunto non nulla al passo di integrazione successivo. Questo avviene tramite il blocco Minimo in cui si confrontano la coppia attiva e la coppia di attrito limite.

Determinata la coppia di attrito T_f, sottraendola alla coppia attiva C, si ottiene la coppia utile T_u che permette di muovere i giunti.

T_u = C − T_f (3.23)

Figura 3.30: Schema a blocchi del modello di attrito.