Dal modello studiato nel capitolo precedente si sono ricavati i valori rispettivamente di:
Rigidezza verticale: Kz= 23560 N/m;
Smorzamento verticale: Cz= 10.223 N/m/s.
Questi vengono ora sfruttati per determinare altri parametri in riferimento al modo di vibrare a 46.17 Hz. Si ricorda che a questa frequenza la batteria era ferma, mentre la struttura traslava in opposizione ai punti più esterni dei motori, con i centri dei bracci che fungevano da nodo. I punti di attacco dei bracci a telaio traslavano insieme alla struttura, imputando la causa della deformazione al cedimento del vincolo piuttosto che alla cedevolezza essionale del braccio. Per questo motivo, è possibile identi care una rigidezza rotazionale tra struttura e motore. Per il fatto che i motori abbiano la stessa massa e traslino tutti in fase rispetto alla struttura, è possibile risalire alla rigidezza rotazionale dell'incastro considerando una massa equivalente costituita dalle otto masse dei rotori, e una singola rigidezza composta dalla somma delle otto rigidezze di ogni incastro, dato che la particolare forma del modo di vibrare suggerisce un collegamento in parallelo tra i motori e la struttura. Da quanto detto è possibile ricavare un modello a due gradi di libertà, schematizzabile come segue:
6.2 Modello a 2 GDL 6 MODELLI DINAMICI
Figura 105: Modello ricavato dal modo a 46.17 Hz.
La massa Mm identi ca otto volte la massa di un singolo motore, Md è la massa della sola struttura. Kz e Cz, già noti, collegano la massa della struttura alla batteria,
che è ferma, dunque a telaio. Keq e Ceq rappresentano una rigidezza e uno smorzamento
traslazionali, equivalenti a Kθ e Cθ rotazionali, che collegano la struttura ai motori. Il
legame tra le due grandezze è il seguente:
Keq = Kθ/R2;
Ceq =Cθ/R2.
Dove R = 0.386 m, corrispondente alla lunghezza del braccio del drone e z2 = Rθ.
Come fatto nel caso precedente, si scrivono le equazioni del moto: (
Mdz¨1 = −Kzz1− Czz˙1− Keq(z1− z2) − Ceq( ˙z1− ˙z2) Mmz¨2 = −Keq(z2− z1) − Ceq( ˙z2− ˙z1)
da cui si ricavano le matrici:
M = Md 0 0 Mm K =(Kz + Keq) −Keq −Keq Keq C =(Cz+ Ceq) −Ceq −Ceq Ceq
Da queste è possibile risolvere il problema agli autovalori, studiando le vibrazioni non smorzate, per la ricerca delle frequenze naturali del sistema, risolvendo:
det[K − (ωn)2M ] = 0
ricavando così il polinomio caratteristico, che come nel caso precedente è di quarto
grado rispetto ad ωn, ma senza radici nulle. Delle due possibili soluzioni ne è nota solo
Si può così risolvere il determinante nell'unica incognita Keq, ottenendo un valore pari
a: Keq = 79492 N/m, corrispondente a una rigidezza rotazionale complessiva di Kθ =
11844 N m/rad, pari a 1481 Nm/rad per il singolo motore. Inserendo nel modello il valore
appena trovato di Keq, si può risolvere interamente il problema agli autovalori, ricavando
il secondo valore di frequenza naturale relativo al modello in esame, che risulta pari a ωn1
= 11.12 Hz. In questo modo si risale alla matrice dinamica [U], che ha per colonne gli autovettori del sistema, le cui proprietà vengono sfruttate per ricavare il coe ciente di
smorzamento Ceq, al ne di caratterizzare in maniera completa questo modello.
Come già anticipatamente accennato, la matrice dinamica gode della proprietà di diagonalizzare la matrice di massa e la matrice di rigidezza. Nel caso particolare in cui gli autovettori fossero normalizzati rispetto alla matrice di massa, le masse modali e le rigidezze modali delle matrici diagonali sarebbero rispettivamente pari ad uno e agli autovalori.
Si avrà perciò che:
[MD] = [U ]t[M ][U ];
[KD] = [U ]t[K][U ];
[CD] = [U ]t[C][U ].
Per quanto riguarda il modo in esame, dall'analisi modale è noto il coe ciente ξ =
0.01303. Di conseguenza è noto anche il valore sperimentale di Ceq, pari a
Ceqsperimentale = 2ξpkmmm (52)
con km e mm elementi di entrata (2, 2) rispettivamente nelle matrici diagonali di
rigidezza e di massa appena calcolate. Ponendo uguale il valore noto di (52) all'elemento
(2, 2)della matrice teorica degli smorzamenti [CD], si risale al valore teorico di Ceq, essendo
l'unica incognita nell'uguaglianza.
Il risultato che ne deriva è Ceq = 6.365 N/m/s, corrispondente ad un Cθ = 0.9483
N m/rad/s, pari a 0.1185 Nm/rad/s per il singolo motore.
Caratterizzato completamente il modello, si osserva ora la matrice degli autovettori:
AV ett =−0.4489 −0.3140
−0.4901 0.7006
La seconda colonna è quella di interesse, relativa al modo di vibrare a 46.17 Hz. Si noti infatti che la massa della struttura è in opposizione rispetto alla massa dei motori. Un' informazione aggiuntiva è data sul modo a 11.12 Hz, in cui le due masse si muovono in fase e circa della stessa quantità.
Come per il caso precedente, si è simulato il modello anche in Simulink, sia con libreria Simscape, che con il più tradizionale schema a blocchi. Supponendo l'eccitazione a forma di sweep sinusoidale applicata alla massa Md, si ottengono i seguenti risultati:
6.2 Modello a 2 GDL 6 MODELLI DINAMICI
Figura 106: Posizione assoluta della massa Md con eccitazione in Md.
Figura 107: Posizione assoluta della massa Mm con eccitazione in Md.
Si notino i picchi a 11 e a 46 Hz. Per ulteriore conferma della correttezza del modello, si analizza anche la posizione relativa tra le due masse: analizzando gli autovettori, ci si aspetterebbe di vedere un'attenuazione della risonanza a 11 Hz dato che a questa frequenza le masse son in fase e con ampiezza simile, viceversa, a causa dell'opposizione di fase a 46 Hz, si prospetta una accentuazione dello spostamento. La Fig.108 mostra la posizione relativa.
Figura 108: Posizione relativa tra le due masse. Quanto detto precedentemente viene confermato dall'ultimo gra co.
Anche in questo caso si riportano i massimi valori numerici di spostamento riscontrati
nel modello in esame: in corrispondenza degli 11 Hz si ricava z1max = 0.91 mme z2max =
0.99 mm.
La geometria degli schemi a blocchi utilizzata viene riportata nelle Fig.109 e 110.