Modello Matematico: Calibration Box

La calibration box (da qui in avanti CB) utilizzata ha come unico scopo quello di ricavare i parametri intrinseci del sistema di imaging adottato. Per raggiungere tale obiettivo si è pensato di dotare la CB di due serie da 8 spilli, in modo da ottenere un poliedro di dimensioni note che ruoti con il sistema di riferimento. Le dimensioni della CB sono tali che gli spilli o più precisamente le capocchie (dette anche tie-points) rimangano all’interno dell’area di acquisizione per tutti gli scatti effettuati.

Figura 4.4: Particolare della calibration box, in evidenza le teste degli spilli, corrispondenti ai tiepoints.

Una volta posizionata la CB e acquisite le immagini, viene effettuata una seg-mentazione in modo da isolare gli spilli; successivamente si identificano i centri delle capocchie sfruttando il fatto che la loro forma è quasi ellittica e infine un semplice controllo sulle coordinate divide le due serie in alta e bassa. A questo punto l’elaborazione si fa più delicata: per poter relazionare gli spilli da un’im-magine alla seguente è necessario sia trovare la posizione dello stesso spillo in due immagini consecutive che determinarne la posizione relativamente agli altri. Un filtro di Kalman sulle coordinate provvede a mantenere l’identificazione dello spillo mentre un algoritmo semiautomatico verifica che la numerazione segua la rotazione, in quanto lo spillo i-esimo può trovarsi a destra o sinistra di quello

i + 1-esimo a seconda dell’angolo di ripresa, quindi è necessario verificare che non

ci siano scambi di posizione.

Una volta trovate e assegnate le teste, queste vengono divise in due grup-pi, B_up = {xup,1; xup,2; . . . ; xup,n} e Bdw = {xdw,1; xdw,2; . . . ; xdw,n}1_{, dove} x·,i

rappresenta la coppia di coordinate del tie-point. A questo punto si suddivide ulteriormente ogni sequenza a seconda della dimensione di B_dw,² iniziando da quelle complete (la maggior parte). Poiché la distanza tra due teste consecutive è breve, ha senso ipotizzare che localmente seguano un’orbita ellittica, che si può sfruttare per integrare la posizione mancante nell’immagine successiva. Iterando il processo si arriva al punto in cui tutte le sequenze sono complete e, grazie alla forte ridondanza, con un errore trascurabile.

Come ultimo passo nell’ordinamento si sfrutta la topologia del sistema: sic-come vale la relazione

x_ik = Pk

X_i

1

(dove x_ik sono le coordinate dell’i-esimo spillo nella k-esima immagine, Pk è la matrice di proiezione e X_i rappresenta le coordinate 3D dell’i-esimo spillo nel sistema di riferimento noto) si può definire una matrice Li così composta:

Li =

X_i^ 1 0_1×4

0_1×4 X_i^ 1 −x_ikX^ 1 

La sovrapposizione delle varie Li permette di ricavare la matrice globale L,

che a sua volta permette di determinare la matrice proiettiva Pk, ricavabile come il minor autovettore della matrice L^L.

1_{Si noti come}n possa essere diverso da 8 a causa di sovrapposizioni.

4.2 TARGET

4.2.2 Modello Matematico: Procedura

Una volta disponibili le coordinate 3D X della calibration box e quelle ad esse associate per ogni immagine J_i, per ciascuna di queste ultime è possibile estrarre la matrice P_i tale che

J_i ∝ P_iX_i con P_i = KR 

I C_i



Tuttavia le matrici così trovate non sono corrette, in quanto la matrice K dei parametri intrinseci non è vincolata ad essere unica per tutte le immagini. Per poter imporre tale condizione, si compiono le seguenti ipotesi: le coordinate della calibration box devono innanzitutto riportarsi tramite una rototraslazione [Rb, t_b] nel sistema di riferimento del rotatore; in tale sistema quindi, all’acquisizione i-esima, esse sono ruotate lungo l’asse verticale di un angolo costante, rotazione espressa dalla matrice R_a; infine è necessario riportarsi tramite un’ulteriore roto-traslazione [Rs, t_s] nel sistema di riferimento della camera, nel quale prende luogo l’effettiva proiezione. In figura 4.5 sono visibili le tre trasformazioni [Rb, t_b], Ra e [Rs, t_s].

Il modello considerato assume quindi la seguente forma:¹

P_i = K

R_sRⁱ⁻¹_a (RbX + t_b) + ts



A questo punto si ha che, secondo il modello, vale sia R_i = RsRi−1 a R_b che

C_i = R_b^t_b+ R^_bR^i−1_a R^_st_s. (4.1) Con queste relazioni si arriva al risultato cercato, cioé

P_i = KRi  I C_i  . Rumore di acquisizione

L’acquisizione dei tie-points è soggetta a rumore, per ridurre il quale è sufficien-te analizzare ogni tie-point della calibration box assieme al relativo andamento nelle acquisizioni: essendo questi punti in rotazione attorno ad un asse, la loro proiezione rappresenta un’omotetia.² Quindi si può scrivere per ciascuno di essi la seguente relazione:

J_i ∝ HX_i

dove H è una matrice 3x3. Tale espressione permette di ridurre il rumore di fondo, ottenendo così i parametri mostrati in figura 4.6, dove sono presenti per ogni immagine delle 72 considerate³ sia i parametri intrinseci f_x, f_y, c_x, c_y, s_k che quelli estrinseci C_i, R_i.

Vincolo di acquisizione circolare

Come visibile in figura 4.6 i parametri intrinseci risultano particolarmente variabi-li durante l’acquisizione, ragion per cui è necessario imporre dei vincovariabi-li. Essendo la meno rumorosa tra le disponibili, la posizione dei centri camera è indubbiamen-te quella che più si presta a fornire il vincolo richiesto: poiché le acquisizioni sono

1_{Si noti come l’indice i, relativo alla singola acquisizione, compaia solo all’esponente della}

matriceRa.

2_{Trattasi di trasformazione geometrica che dilata e/o contrae le distanze mantenendo}

invariati gli angoli o gli spigoli.

4.2 TARGET

Figura 4.6: La matrice K dopo l’analisi a punto singolo.

avvenute attraverso una rotazione costante intorno ad un asse, i centri devono necessariamente trovarsi su un cerchio. Questa condizione rappresenta il nuovo vincolo, evidente anche dall’equazione 4.1.

È quindi lecito vincolare i C_i a trovarsi su un cerchio perfetto, identificando in tal modo univocamente l’asse del rotatore (ed eliminando così la dipendenza da

R_b) per poi stimare nuovamente gli altri parametri, ottenendo i risultati illustrati in figura 4.7.

Rotazione

Con il precedente vincolo si è eliminata la componente sull’asse Z del rotatore, ottenendo quindi che

R^_iR_i+1= Ra

Utilizzando la scomposizione di Rodrigues, si nota in figura 4.8 che tale valore risulta sufficientemente stabile. In particolare la matrice stimata ha rotazione nulla su due assi e attorno ai 5 gradi sugli altri, in accordo con le previsioni.

A questo punto è possibile vincolare tale rotazione sostituendo a X l’espres-sione Rⁱ⁻¹_a (X − Ci). Questo permette di mantenere costante la rotazione residua (definita da R_s), come ilustrato in figura 4.9.

Figura 4.7: Stima della Matrice K e dei centri C.

4.2 TARGET

Figura 4.9: Stima delle matrici K, Rae dei centri C.

È possibile imporre ulteriormente tale rotazione, ottenendo così un ulteriore miglioramento della stima, come visibile in figura 4.10.

Skew factor e correzione finale

In questa sede è possibile agire anche sull’ultimo parametro, lo skew factor, im-ponendolo nullo. Tuttavia gli errori residui sulla focale e sul centro proiettivo rimangono presenti, ma considerato il loro andamento armonico è evidente che siano dovuti non a rumore ma a imprecisioni della valutazione delle dimensioni della calibration box. Pertanto è possibile svolgere un procedimento a ritroso per correggere le coordinate della posizione “reale” delle teste degli spilli fino a massimizzare la convergenza, come visibile in figura 4.11.

Figura 4.10: Stima delle matrici K, R_a ,R_s e dei centri C.

4.3 APPLICAZIONI PRECEDENTI

4.3 Applicazioni Precedenti

La tecnica SfS utilizzata in questa tesi è già stata applicata con successo nella ricostruzione di due oggetti monolitici, con variazioni minime nella posizione di sensore e rotatore. Tuttavia c’è una differenza sostanziale con quanto compiuto in questa tesi: in entrambe le occasioni la calibration box veniva utilizzata sia per ricavare i parametri intrinseci del sistema, come anche in quest’ultimo espe-rimento, sia per ottenere una metrica attraverso la quale calcolare il modello 3D. Inoltre gli angoli di rotazione degli oggetti erano noti a priori.

Nel caso in esame in questa tesi, invece, la calibration box è stata acquisita separatamente al bersaglio, e si sono utilizzate le features rilevate per calcolare le catene di ereditari precedentemente introdotte ai fini di ricavare il valore della rotazione, che aveva come unico vincolo quello di essere costante.

Il primo utilizzo sperimentale della tecnica è visibile in figura 4.12, l’oggetto ricostruito è una suora di peltro [27].

Figura 4.12: Ricostruzione SfS di una suora di peltro, a sinistra una foto della suora, a destra due lati del modello 3D.

A fronte di un volume misurato di 36.2 ± 0.2cm³, la ricostruzione 3D ha ripor-tato un volume 36.5cm³, pienamente accettabile per gli scopi di questa tecnica. In questa foto si nota inoltre come le concavità dell’oggetto vengano in gran par-te perse, tuttavia, nonostanpar-te questo, è ancora pienamenpar-te possibile dedurre la

forma della suora nei suoi dettagli più importanti (la posizione del viso e del velo e il fatto che “in mano” abbia un oggetto vagamente rettangolare).

Figura 4.13: Robustezza dell’algoritmo di ricostruzione, in senso orario partendo dall’al-to a sinistra: variazione del volume calcoladall’al-to in funzione dell’errore intro-dotto nella posizione dei tiepoints; errore relativo sull’effettivo valore del volume; viso della suora prima dell’introduzione del rumore (sono visibili occhi e bocca); viso della suora in seguito all’introduzione di rumore con varianza 20 pixel sulle coordinate dei tiepoints.

Interessante è osservare il comportamento dell’algoritmo rispetto al rumore, illustrato in figura 4.13. Poiché la dimensione degli spilli in pixel risultava al massimo 50 pixel, si è supposto un errore di al più±30 pixel (cui corrisponde una

deviazione standard σ pari a 20 pixel), caso in cui comunque la differenza rispetto al volume effettivo si è mantenuta sotto il 15%. L’andamento monotonico del volume in presenza di errore è spiegato dalla perdita di coerenza tra le silhouette, a sua volta dovuto all’addittività dell’errore nel posizionamento dei tiepoints.

4.3 APPLICAZIONI PRECEDENTI

Altro esempio di questa tecnica è stata la sua applicazione in ambito ar-cheologico, [28] visibile in figura 4.14. L’oggetto da ricostruire consisteva in un manufatto paleoveneto metallico completamente circondato da roccia. Poiché il metallo assorbe totalmente i raggi X e la roccia no, è stato possibile utilizzare la tecnica SfS senza particolari accorgimenti, in quanto la silhouette dell’oggetto risultava comunque ben distinguibile dalla roccia che lo racchiudeva.

Figura 4.14: Un manufatto paleoveneto ricostruito tramite SfS. La prima immagine evi-denzia come ad occhio nudo il manufatto fosse invisibile. La seconda imma-gine mostra una radiografia dell’oggetto e le ultime due mostrano il modello 3D ricostruito.

L’archeologia è il campo dove questa particolare tecnica mostra meglio i suoi vantaggi: la tomografia offre sì una risoluzione estremamente superiore, ma la velocità e la praticità di utilizzo del setup SfS sono molto migliori, inoltre, come visibile in figura 4.14, il dettaglio raggiunto è soddisfacente e sufficiente se non altro a dare indicazioni operative a chi dovrà eseguire un eventuale recupero del manufatto dal blocco di roccia in cui si trova.

Ricostruzione

Come già asserito nei capitoli precedenti, lo scopo di questa tesi è stimare auto-maticamente l’angolo di rotazione dell’oggetto direttamente dalla immagini che lo ritraggono. La stima di tale angolo, tuttavia, non è fine a sé stessa, ma è essenziale alla ricostruzione 3D finale, punto di arrivo e di verifica dell’intero esperimento.

5.1 Galeone

Il bersaglio scelto per questa tesi doveva presentare, per far risaltare i punti di forza e di debolezza dell’algoritmo implementato, le seguenti caratteristiche: innanzitutto doveva essere di dimensioni ridotte, in accordo con l’area sensibile del rivelatore; poi doveva possedere una struttura relativamente complessa ovvero con vari livelli di dettaglio, in modo da evidenziare direttamente la risoluzione ottenibile dal sistema; infine si è cercato un oggetto la cui struttura presentasse concavità, convessità e parti forate, cosi da mettere alla prova le prestazioni dello SfS.

Un oggetto che risponde a tutti i requisiti è quello visibile in figura 5.1. Trattasi, come scritto in precedenza, di un galeone in argento di circa 6x8 cm, posto su un supporto plastico trasparente ai raggi X per poter essere centrato sul rivelatore. Una volta acquisite le sue silhouette, gli ereditari sono stati scelti in base alla lunghezza delle catene loro corrispondenti: qualche esempio sono le punte delle tre bandiere, gli spigoli inferiori delle vele e i piedini del supporto. Un esempio di silhouette acquisita e della sua elaborazione è visibile in figura 5.2.

5.1 GALEONE

Figura 5.1: Il galeone utilizzato in questa tesi come bersaglio.

(a) Una delle 73 silhouette del galeone acquisite per la ricostruzione 3D.

(b) Le features della stessa silhouette indivi-duate dal detector FCPDA.

Dalla figura 5.2(a) si evince inoltre come il sensore presentasse tre linee difet-tose (le righe nere), che hanno reso necessario un pre-trattamento manuale delle immagini acquisite. La zona più scura alla base del galeone è la proiezione della scatola in plastica utilizzata come supporto, mentre le due chiazze scure sotto i piedini sono dovute a della plastilina utilizzata per assicurare il galeone al sup-porto durante le rotazioni. La presenza di queste ombre non ha creato problemi alla segmentazione delle immagini.

In figura 5.2(b) sono visibili le features così come sono state rilevate dal de-tector FCPDA, prima di essere sottoposte a cernita per identificare gli ereditari. La posizione di ciascuna di esse è identificata dal centro del relativo quadrato. Si noti inoltre come la riga attraversante le vele introduca una separazione che non esiste in realtà, generando così dei falsi positivi.

I passi successivi dell’algoritmo avvengono compiendo iterativamente opera-zioni su matrici, arrivando con successo alla ricostruzione 3D finale visibile in figura 5.3.

Il modello 3D mostra chiaramente le caratteristiche principale del galeone: sono visibili infatti tutte le singole vele, con anche le parti separate dai rispettivi alberi, le bandiere mostrano un accenno di curvatura (come si vede in figura 5.1, sono lavorate come se sventolassero) e la parte del timone è ben ricostruita.

Purtroppo però sono presenti anche difetti: la trama dello scafo non è visibile, ma soprattutto l’algoritmo non riesce a visualizzare il filo d’argento che collega le vele tra di loro e successivamente al pennone di prua.

5.1 GALEONE

(a) Vista laterale destra del modello 3D ricostruito.

(b) Vista laterale sinistra del modello 3D ricostruito.

(c) Particolare della vela centrale. Figura 5.3: Ricostruzione 3D finale.

(a) Visione 3/4 anteriore del galeone.

(b) Visione 3/4 anteriore della ricostruzione 3D.

Capitolo 6

Conclusioni

In questa tesi ci si è posti l’obiettivo di estrarre i parametri estrinseci del sistema di imaging necessari alla ricostruzione 3D.

Tale obiettivo, come dimostrato dalla figura 5.3, è stato raggiunto con succes-so; è tuttavia necessario fare alcune annotazioni: innanzitutto la ricostruzione è sì corretta per le caratteristiche macroscopiche, ma per i dettagli più minuti la tecnica mostra qualche debolezza, è il caso delle concavità presenti come deco-razioni sullo scafo o delle bandiere, specialmente vicino all’asta che le sorregge. Inoltre vi sono sezioni del modello con scarsa ridondanza di informazioni dovute alla silhouette, come ad esempio il volume subito dietro le vele, ben visibile nella figura 5.3(b).

La tesi ha dimostrato la possibilità di ridurre il processo di calibrazione del sistema di acquisizione. Un ulteriore lavoro deve essere fatto ai fini di valutare la soglia di curvatura utilizzata dal detector FCDPA dipendentemente dalla to-pologia del target preso in considerazione. Per il momento si assume come soglia empirica 0.32, valore scelto in quanto le acquisizioni eseguite hanno evidenziato l’esistenza di un range ottimo, come visibile in figura6.1, compreso tra 0.15 e 0.45. È da considerare infine che un’ipotesi fondamentale è stata introdotta per proporre l’euristica alla base di questa tesi; secondo tale ipotesi si deve avere la possibilità di un’acquisizione del target da punti di vista definibili attraverso una rototraslazione costante tra un punto di presa e il successivo. È quest’ipotesi a introdurre la ridondanza di informazione che permette di utilizzare gli algoritmi di self-calibration per la stima della matrice fondamentale nonostante l’informazione presente sulle immagini sia minima.

(a) Differenze tra parametri effettivi e stimati. (b) Differenze tra angoli di rotazione effettivi e stimati - Scala logaritmica.

(c) Ingrandimenti dei grafici precedenti nel range ottimo. Figura 6.1: Errori relativi ai parametri estrinseci.

6.0

Anche qualora fossero disponibili i parametri intrinseci per il sistema di acqui-sizione, l’algoritmo è in grado di rilevare solo una visione parziale dei parametri estrinseci; in particolare non è possibile (data la scalabilità della matrice fonda-mentale) rilevare la dimensione del vettore di traslazione tra un sistema di acquisi-zione e il “successivo”. Quella che viene a perdersi è effettivamente l’informaacquisi-zione metrica mentre quella topologica rimane valida.

Il metodo si propone pertanto come mezzo per una ricostruzione qualitativa di un target.

Implementazione MATlab

Per questa tesi sono stati utilizzati i seguenti file: MM_chain_final.m

Script che analizza la cartella dove sono salvate tutte le immagini acquisite, le elabora ad una ad una estraendone gli ereditari ed elabora le catene restituendo alla fine un cell array dove ogni cella contiene una matrice n×2

contenente le due coordinate (x e y) degli n punti appartenenti alla catena. fast_cpda.m

Detector delle features, è l’implementazione del detector proposto in [20]. Fornisce in uscita l’immagine con indicata la posizione di tutte le features, il vettore con le coordinate e il valore di curvatura calcolato per ogni feature (quest’ultimo inutilizzato in questa tesi).

SIM1_(...).m -> SIM10_(...).m

Sono i files realizzati per la calibrazione del sistema in occasione degli espe-rimenti precedenti [27] [28], qui usati in versione modificata per l’estrazione della matrice fondamentale.

PhaseA_(...).m -> PhaseL_(...).m

I file utilizzati per riunire tutti i dati ottenuti dai precedenti script, resti-tuiscono sia il modello 3D sotto forma di file WRL che le analisi degli errori e del rumore relativi ai parametri calcolati.

Altri Files

fixes” o script di prova. Data la loro natura estemporanea e accessoria all’esecuzione, vengono solamente citati qui per completezza.

[1] Dana H. Ballard, Christopher M. Brown ,Computer Vision, 1982, Prentice-Hall Inc.

[2] AA.VV., Encyclopedia Britannica Vol.23 Part III (World War - Zygote), reperito all’indirizzo http://gluedideas.com/content-collection/ Encyclopedia-Britannica-Vol-23-World-War-Zygote/Nature-of_P10. html, ultima visita il 16 aprile 2012

[3] Alexi Assmus, Early History of X Rays, 1995, http://www.slac.stanford. edu/pubs/beamline/25/2/25-2-assmus.pdf, ultima visita il 16 aprile 2012 [4] A. Haase, G. Landwehr, E. Umbach, Röntgen Centennial - X-rays in Natural

and Life Sciences, 1997, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.

[5] Luca Poletto, Corso di Nanotecnologie Ottiche e Laser, 2010, appunti personali

[6] W. A. Kalender, Computer Tomography, 2005, Publicis [7] W. Hendee, Biomedical Uses of Radiation, 1999, Wiley

[8] AA.VV., Other Uses of X-Rays, http://en.wikipedia.org/wiki/X-ray, ultima visita il 16 aprile 2012

[9] NASA CHANDRA X-ray observatory website, http://chandra.harvard. edu/about/, ultima visita il 16 aprile 2012

[10] Goddard Space Flight Center, X-ray Astronomy Satellites & Missions, http: //imagine.gsfc.nasa.gov/docs/sats_n_data/xray_missions.html, ul-tima visita il 16 aprile 2012

[12] F. Casali, X-ray and neutron digital radiography and computed tomography

for cultural heritage, Physical Techniques in the Study of Art, Archaeology

and Cultural Heritage, 2006 ,Elsevier

[13] Hervé Delinglette, Simplex Meshes: a General Representation for 3D

Sha-pe Reconstruction, Marzo 1994, INRIA Sophia-Antipolis Programme 4,

Rapport de recherche num. 2214

[14] Y. Yemez, Y.Sahillio˜glu, Shape from silhouette using topology-adaptive mesh

deformation, Maggio 2009, Pattern Recognition Letters

[15] Aldo Laurentini, The Visual Hull Concept for Silhouette-Based Image

Under-standing, Febbraio 1994, IEEE transactions on pattern analysis and machine

intelligence, Vol. 16, No. 2

[16] Asano, T., Chen, D.Z., Katoh, N., Tokuyama, T. Polynomial-time solutions

to image segmentation, Gennaio 1996, Proc. of the 7th Ann. SIAM-ACM

Conference on Discrete Algorithms

[17] Emanele Simioni, Analysis of the Stereoscopic Performance of the Stereo

Camera (STC) for the BEPICOLOMBO Mission: A New Method for 3D Reconstruction, 2011, Tesi di Dottorato

[18] Richard I. Hartley, Andrew Zisserman, Multiple View Geometry in computer

vision, 2nd edition, 2003, Cambrigde University Press

[19] Sadegh Abbasi, Farzin Mokhtarian, Josef Kittler, Curvature scale

spa-ce image in shape similarity retrieval, 1999 Multimedia Systems 7,

Springer-Verlag

[20] Mohammad Awrangjeb, Guojun Lu, Clive S. Fraser, Mehdi Ravanbakhsh,

A Fast Corner Detector Based on the Chord-to-Point Distance Accumula-tion Technique, Dicembre 2009, Digital Image Computing: Techniques and

Applications (DICTA ’09)

[21] HC Longuet-Higgins, A computer algorithm for reconstructing a scene from

two projections., 1981, Nature 293

[22] Richard I. Hartley, In defence of the 8-point algorithm, October 1997, IEEE Transactions on Patter Analysis and Machine Intelligence

[23] Hamamatsu Photonics K.K., L8601-01 Operating Manual, versione 1.3e [24] L. Poletto, M. Caldon, G. Tondello, A. Megighian, A system for

Nel documento MarcomattiaMocellin RELATORE:Prof.LucaPolettoCORRELATORE:Dott.EmanueleSimioniLAUREANDO: RICOSTRUZIONESHAPEFROMSILHOUETTE:AUTOCALIBRAZIONEPERAPPLICAZIONIARAGGIX (pagine 56-81)