Modello semplificato di ciclo Stirling

Quanto finora visto in questo capitolo si riferisce a quello che avviene per un ciclo teorico della macchina di Stirling. Quindi non vengono presi in considerazione i fenomeni di non idealità che incidono negativamente sul rendimento del motore. Al fine di ottenere sul piano F-x l’andamento di un ciclo di Stirling semplificato ma che allo stesso tempo possa riprodurre approssimativamente quello che potrebbe essere un ciclo reale si può generalizzare la (6.19) utilizzando la seguente espressione della forza:

¯P  _d ^ÀP

i dP 6.26)

dove il numeratore di questa espressione si ottiene integrando nel tempo l’equazione:

À ¥ = Él(d)( Àl − À ) + Éf(d)( Àf− À ) (6.27)

dove: Gh(x) = funzione dello spostamento del pistone che rappresenta il trasferimento di calore dal riscaldatore al fluido di lavoro;

Gk(x) = funzione dello spostamento del pistone che rappresenta il trasferimento di calore dal fluido di lavoro al raffreddatore.

Kh è un coefficiente proporzionale alla temperatura del riscaldatore e pari a :

À_l = y_¹ 6 7_l (6.28)

Mentre Kk è un coefficiente proporzionale alla temperatura nel raffreddatore pari a :

À_f = y_¹ 6 7_f (6.29) -15 -10 -5 0 5 10 15 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 V e lo ci tà d e l p is to n e ( N )

107 Dove mg ed R sono rispettivamente la massa del gas di lavoro e la costante universale di tale gas. L’andamento delle funzioni Gh(x) e Gk(x) viene riportato in figura :

Fig. 6.11: andamento di G_h(x) e G_k(x)

Dove x1h, x2h, x1k, x2k sono posizioni contenute nella corsa del pistone. Queste, come anche i valori massimi di Gh(x) e di Gk(x), possono essere variate al fine di riprodurre quelle che sono le prestazioni effettive degli scambiatori di calore della macchina. L’asse delle ascisse rappresenta ovviamente la posizione del pistone. Si può immediatamente osservare che si è supposto che il trasferimento di calore, sia nel riscaldatore che nel raffreddatore, raggiunga il proprio valore massimo variando linearmente con la posizione. Ciò può costituire un’analogia con quanto espresso nel capitolo 4 dove si assumeva un profilo lineare della temperatura nel passaggio tra riscaldatore e raffreddatore.

L’equazione (6.27), integrata ed implementata al Simulink, porta a quanto riportato in figura 6.12.

Fig. 6.12: schema dell’implementazione in Simulink dell’equazione (6.27) per il calcolo di K(t). All’interno del blocco che riproduce la funzione Gh(x) viene implementato il codice Simulink riportato in figura 6.13.

108

Fig. 6.13: schema dell’implementazione al Simulink della funzione funzione G_h(x).

In figura 6.13 sono evidenziate le tre zone che caratterizzano l’andamento di Gh(x) in funzione della posizione del pistone: la zona ad andamento costante a valore Gh, la zona con andamento lineare, e la zona in cui Gh(x) è nulla. La zona con andamento lineare è riprodotto dalla retta di equazione:

Éld  Él d * dTl

d_]l* d_Tl ^6.30

Il blocco “if” assieme ai blocchi “if action” (con il contorno in grassetto) permette di fornire in uscita uno tra i tre andamenti evidenziati, in funzione del valore della posizione del pistone x. Quanto contenuto all’interno di questo blocco Simulink si ripete in maniera analoga all’interno del blocco che riproduce la funzione Gk(x).

La parte riguardante l’integrazione dell’equazione cinematica rimane la stessa vista nel paragrafo precedente.

Per fornire una spiegazione semplificata di quanto accade nel modello, nel suo complesso, si può supporre inizialmente che il pistone si trovi nella sua posizione media x0 e che K(0) sia pari a:

À0  y¹ 6 7^'( 6.31

A questo punto ipotizzando che il pistone cominci a muoversi verso destra si ha che Gh(x) inizia ad aumentare, mentre Gk(x) rimane ferma a zero. Dato il fatto che poi ( Kh – K ) è maggiore di zero si ha che anche À ¥è positivo. Questo significa che K aumenta. Una volta che si è raggiunto

l’equilibrio termico nel riscaldatore ( cioè la temperatura del gas ha raggiunto la temperatura del riscaldatore e quindi Kh = K ) si ha che À ¥  0. Nel frattempo il pistone ha continuato a nella sua

corsa e arrivando nella zona in cui Gk(x) non è più pari a zero ma viceversa lo è Gh(x). Quindi,

À ¥diventa negativo e di conseguenza K inizia a scendere. K scende fino a che anche nel lato dello

scambiatore freddo non si raggiunge l’equilibrio termico ( cioè la temperatura del gas ha raggiunto quella del raffreddatore e perciò Kk = K ). Il ciclo a questo punto può ripetersi identicamente a quanto descritto. Occorre però fare una precisazione: non è detto infatti che l’equilibrio termico venga raggiunto sempre in entrambi gli scambiatori di calore. Infatti può accadere che a causa dell’elevata velocità di funzionamento del motore la temperatura non riesca a raggiungere quella delle pareti dello scambiatore. Sul piano F-x questo si traduce nel fatto che il ciclo non riesce a raggiungere quelle che sono le curve isoterme che delimitano il ciclo teorico ma rimane all'interno del ciclo teorico stesso. Questo effetto è facilmente osservabile dalla figura 6.14:

109 Fig. 6.14: confronto tra ciclo teorico e simulazione del modello realizzato.

Una formalizzazione compatta delle funzioni Gh(x) e Gk(x) può essere fatta nella modalità descritta di seguito. Per prima cosa si considera la posizione relativa del pistone rispetto alla sua posizione media di oscillazione, che risulta pari a zero quando la posizione assoluta del pistone è x0. Dopo di che si definisce la funzione R(x) nel seguente modo:

6d  Êd OR 0 Ë d š 1_{1 OR d Ì 1 6.32}

Rappresentata graficamente in figura 6.15:

Fig. 6.15: funzione R(x).

E’ possibile variare la pendenza della rampa in salita nel seguente modo:

6fAÉ_d^d ]B  Íd^É]d OR 0 Ë d š d] É OR d Ì d] 6.33 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 F o rz a ( N ) Posizione pistone (m) Modello realizzato Ciclo teorico

110

Per ottenere in seguito anche una traslazione orizzontale della funzione di una quantità x1 è necessario solamente apportare la seguente modifica:

6fAÉ_d^{d * dT} ]* dTB   0 OR 0 Ë d š dT É_d^{d * dT} ]* dT OR dTË d š d] É OR d Ì d] 6.34

La rappresentazione di questa nuova funzione è riportata in figura 6.16:

Fig. 6.16: rappresentazione della funzione (6.34).

A questo punto si può notare che si è arrivati ad identificare una funzione che può rappresentare la Gk(x) riportata in figura. Lo stesso può essere fatto anche per la Gh(x). È necessario semplicemente rendere simmetrica la funzione sopra ottenuta rispetto all’asse delle ordinate come rappresentato in figura 6.17.

Fig. 6.17: rappresentazione simmetrica rispetto all’asse delle ordinate della funzione (6.34). La funzione così ottenuta può essere espressa come di seguito riportato:

111 6lAÉ_d^{d * dT} ]* dTB   0 OR d_T ≤ d < 0 É_d^{d − dT} ]− d_T ^{OR d]≤ d < dT} É OR d ≤ d] (6.35)

Infine, sempre ricordando che è stata presa in considerazione la posizione del pistone relativa al punto medio di oscillazione, la funzione che riproduce lo scambio termico nel riscaldatore e nel raffreddatore può venire scritta unendo le due funzioni precedentemente definite nel seguente modo:

É(d) = 6f“Éf d − d_Tf′

d]f′ − dTf′” + 6^l“Él

d − d_Tl′

d]l′ − dTl′” (6.36)

dove, con riferimento alla figura si indicano con:

d_TfÎ = d_Tf− d_i (6.37) d_]fÎ = d]f− di (6.38) d_TlÎ = d_Tl− d_i (6.39) d_]lÎ = d]l− di (6.40)

Per completezza si riporta anche l’espressione che assumerebbe la funzione G(x) qualora si volesse considerare la posizione effettiva del pistone e non più quella relativa. Essa è data dall’equazione:

É(d) = 6fAÉf d − d_Tf

d_]f− d_Tf^{B + 6lAÉl}

d_Tl− d

d_Tl− d_]l^{B (6.41)}

Che risulta equivalente alla (6.36) eccetto per i termini x1h, x2h, x1k, x2k .