Moti Lineari, Circolari e Combinati

Un braccio di un robot industriale, composto da due componenti, potrebbe essere descritto come segue:

(6.1)

Il braccio maggiore ruota intorno ad un asse, mentre il minore ha il suo centro che si muove sulla circonferenza generata dal moto del braccio maggiore. Ogni braccio è capace di moto indipendente.

Le prime domande che si pongono sono: Quale traiettoria può percorrere l’estremità del braccio del robot? Quale è l’espressione della sua posizione, velocità ed accelerazione al variare del tempo? (il controllo dell’accelerazione è importante essendo essa proporzionale alla forza agente sull’estremità).

Ad un primo sguardo questi problemi possono sembrare di difficile soluzione. La risposta dipende, dopo tutto, da molte variabili: la lunghezza dei due bracci, la velocità di movimento ed il moto relativo, per esempio.

Vedremo come tutto ciò possa essere risolto in modo abbastanza semplice impiegando gli strumenti del calcolo di funzioni a valori vettoriali.

La strategia: studiare separatamente il moto delle due parti e successi-vamente ricomporre il sistema.

Per avere una visione di quello che può succedere, i disegni sotto mostrano tre possibili movimenti del robot

-3 -2 -1 0 1 -2 -1 1 2 Un primo percorso -2 -1 0 1 2 -2 -1 1 2 3 Un secondo percorso -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 1 2 3 Un terzo percorso

Spiegheremo più avanti come abbiamo realizzato questi percorsi. Modellizzazione del Moto Lineare

Come vi è ben noto, il moto su di una linea retta, a velocità costante, è chiam-ato moto lineare uniforme. Questo tipo di moto è facilmente modellchiam-ato usando una funzione posizione di tipo lineare, cioè, come abbiamo visto nella sezione precedente

p (t) = (x0, y0) + t (a, b)

che ci dice che al tempo t = 0 la particella parte dalla posizione (x0, y0)e che si muove nella direzione indicata dal vettore velocità (a, b) con una velocità costante di modulo√

Esempio 6.29 Supponiamo che una particella si muova linearmente nel pi-ano, a velocità costante partendo dal punto (1, 2) al tempo t = 0 per ar-rivare al punto (5, 6) al tempo t = 3. Trovare le funzioni posizione, velocità e accelerazione della particella.

Soluzione. Consideriamo il vettore v = (5, 6) − (1, 2) = (4, 4) .Questo unisce il punto (1, 2) al punto (5, 6) . Per percorrere questo cammino la parti-cella impiega 3 sec . Il vettore velocità è allora dato da (4, 4) /3 = (4/3, 4/3) . Il vettore posizione è allora dato da p (t) = (1, 2) + t (4/3, 4/3) . Il vettore ve-locità è , ovviamente v (t) = (4/3, 4/3) , mentre l’accelerazione è ovviamente nulla, a (t) = (0, 0) .

Il modulo della velocità è dato da √

42+ 42/3 =√

32/3≈ 1, 89 m/ sec . ¥ Modellizzazione del Moto Circolare

Il moto lungo un cammino circolare che abbia modulo della velocità costante è chiamato moto circolare uniforme. I due casi particolari sotto riportati sono di grande utilità:

Affermazione 6.30 Per ogni centro (x0, y0) e per ogni valore del raggio R > 0, la funzione posizione p (t) = (x0, y0) + R (cos t, sin t), modella un mo-to circolare uniforme antiorario di raggio R inmo-torno al punmo-to (x0, y0), avente modulo di velocità uguale ad R.

Il vettore posizione p (t) = (x0, y0) + R (sin t, cos t) modella un moto circo-lare uniforme orario di raggio R intorno al punto (x0, y0) avente modulo di velocità uguale ad R

Esempio 6.31 (Velocità diverse). Una particella ha una funzione po-sizione data da

p (t) = (x0, y0) + R (cos (α t) , sin (α t)) ,

con α > 0 costante positiva. Quale differenza comporta la presenza della costante?

Soluzione. La presenza della costante α non modifica il fatto che il moto si svolga sulla circonferenza di raggio R centrata nel punto (x0, y0) .

La differenza la si trova quando si vanno a considerare velocità ed acceler-azione. Infatti, differenziando si ha

ne segue che il modulo della velocità è |v (t)| = α R. In modo analogo

a (t) = α²R (− cos (α t) , − sin (α t))

La presenza della costante α ha quindi l’effetto di moltiplicare il modulo della velocità per α ed il modulo dell’accelerazione di α2.

¥ Esempio 6.32 (Cambio di velocità). Una particella si muove in senso an-tiorario, con velocità costante s , su di una circonferenza di raggio R e centro (x0, y0) . Trovare la funzione posizione.

SoluzioneSe consideriamo la funzione posizione p (t) = (x0, y0) + (R cos t, R sin t)

abbiamo che il vettore velocità del sistema è dato da (−R sin t, R cos t)

e quindi il punto ha velocità di modulo costante uguale ad R. . Per le proprietà della derivazione, se adesso moltiplichiamo il parametro t per ^s

R ^e consideriamo perciò la nuova funzione posizione

p (t) = (x0, y0) +³ R cos t ^s R^{, R sin t} s R ´

abbiamo che la nuova funzione posizione ha la velocità richiesta.

¥ Esempio 6.33 Una particella parte dal punto (2, 3) al tempo t = 0. Si muove con velocità di modulo 1 su di una circonferenza centrata in (2, 0) fin quando non raggiunge la posizione (−1, 0) . Trovare la funzione posizione.

Soluzione. Il raggio della circonferenza è 3, così che p (t) = (2, 0) + (3 cos t, 3 sin t) descrive una particella partente dal punto (5, 0) al tempo t = 0. Per partire dal punto (2, 3) si può operare una rotazione angolare di π/2 e considerare il vettore posizione

p (t) = (2, 0) +³ 3 cos³ t + ^π 2 ´ , 3 sin³ t + ^π 2 ´´ = (2, 0) + (−3 sin t, 3 cos t) .

Questo nuovo vettore ha velocità di modulo 3. Per ottenere la velocità richi-esta di 1 bisogna allora considerate il vettore

p (t) = (2, 0) + µ −3 sin₃^t, 3 cos ^t 3 ¶ .

La particella arriva nel punto (−1, 0) quando t = ^3π 2 ^.

¥ Moto Circolare, Accelerazione e Forza Centripeta Supponiamo che una particella si muova di moto circolare uniforme con velocità s su di una circonferenza di raggio R centrata nell’origine. Per quanto detto prima l’equazione di moto è data da

p (t) =³ R cos t^s R^{, R sin t} s R ´ .

Differenziando due volte si ottiene l’espressione del vettore velocità a (t) = ^s 2 R2 ³ −R cos t_R^s,−R sin t_R^s´ =−^s 2 R ³ cos t^s R^{, sin t} s R ´

Il calcolo che ci ha portato ha trovare il vettore accelerazione è banale, ma il risultato è molto interessante dal punto di vista fisico:

In un moto circolare uniforme di velocità s su di una circonferenza di raggio R , il vettore accelerazione punta sempre verso il centro

della circonferenza ed ha modulo ^s

2

R^.

A prima vista può sembrare sorprendente che un moto circolare di velocità costante generi un’accelerazione. Ma, ricordando la seconda legge di Newton che la forza è proporzionale all’accelerazione ed anche le sensazioni provate quando si ruota un oggetto legato ad una corda o quando si affronta in velocità una curva stretta, si riconosce la presenza di una forza centripeta. Quello che il calcolo afferma è che tale forza è proporzionale al quadrato della velocità ed inversamente proporzionale al raggio.

Per gli automobilisti l’indicazione è chiara, prendere curve strette ad alta velocità non è un idea brillante.