Moti rigidi

I moti rigidi sono quelli per cui le distanze tra le particelle sono costanti durante

il tempo.

2.5.8 Definizione. Un moto continuo C : T × D → P `e detto rigido se

C_(s,t) : D_t→ D_s, ∀s, t ∈ T ,

`e una trasformazione rigida.

In altre parole, un moto continuo `e detto rigido se, per ogni coppia di particelle, la

loro distanza rimane costante durante il tempo.

2.5.9 Teorema. I moti continui rigidi sono del tipo

C_(t,p)(s) = C_(t,o)(s) + ˆR_(s,t)(p − o) , ∀(s; t, p) ∈ T × D ,

dove (t, o) ∈ D sono i dati iniziali di una qualunque particella del continuo,

C_(t,o) : T → P

`e un qualunque moto di tale particella e

ˆ

R_(s,t) : ¯P → ¯P

`e una trasformazione ortogonale qualunque, che non dipende da p (e da o), tale che

ˆ

R_(t,t)= id_P¯ , ∀t ∈ ¯P ,

ˆ

R_(r,s)◦ ˆR_(s,t) = ˆR_(r,t), ∀r, s, t ∈ T .

Dimostrazione. Segue facilmente dalla Proposizione^{1.3.26. QED}

Dunque, un moto continuo rigido `e caratterizzato dal moto di una sua particella

(comunque scelta), che chiameremo “polo” (sul quale non `e imposta nessuna condizione),

e da un operatore di rotazione, che dipende solo dal tempo (e non dipende dalla particella

considerata o dal polo).

Dunque, i moti rigidi hanno solamente 6 gradi di libert`a, di cui 3 dovuti al moto del

polo e 3 all’operatore di rotazione (mentre un qualunque moto continuo ha infiniti gradi

di libert`a).

2.5.10 Corollario. Se C `e un moto continuo rigido, allora abbiamo

ˆ

D = id_P¯ , G

¯ ^{= g}¯^, E

¯^{= 0 , det ˆJ = det ˆ}R = det ˆD = 1 ,

δ ˆJ = ˆD¯v= ˆω ,  = 0 ,ˆ div ¯v= 0 .

Dimostrazione. Tutte le formule precedenti seguono facilmente da ˆJ = ˆR . QED

2.5.11 Proposizione. Sia C un moto continuo rigido. Si considerino due istanti

s, t ∈ T .

Allora, ˆR_(s,t) `e un operatore di rotazione attorno al suo asse principale ¯r_(s,t) con

autovalore 1, detto asse di rotazione relativo agli istanti t ed s .

Studiamo ora un moto continuo analizzando la sua velocit`a.

2.5.12 Corollario. Se C `e un moto continuo rigido, allora la velocit`a `e del tipo

¯

dove o ∈ D_t `e un qualunque punto del dominio iniziale del continuo, ¯v<sub>t</sub>(o) ∈ ¯P `e un

qualunque vettore, che dipende da o ed ¯Ω_t ∈ ¯P `e un qualunque vettore, che non dipende

da o (e da p).

Dimostrazione. Segue immediatamente dal Teorema 2.5.9, considerando la derivata particellare

dell’espressione del moto rigido. QED

Dunque, la velocit`a di un moto continuo rigido `e caratterizzata dalla velocit`a di una sua

particella (comunque scelta), che chiameremo “polo” (sulla quale non `e imposta nessuna

condizione) e dalla velocit`a angolare, che dipende solo dal tempo (e non dipende dalla

particella considerata o dal polo).

Dunque, le velocit`a dei moti rigidi hanno solamente 6 gradi di libert`a, di cui 3 dovuti

alla velocit`a del polo e 3 alla velocit`a angolare (mentre la velocit`a di un qualunque moto

continuo ha infiniti gradi di libert`a).

2.5.13 Nota. La formula della velocit`a di un moto rigido pu`o essere immediatamente

estesa a tutti i punti dello spazio, ottenendo cos`ı la formula

¯

v_t(p) = ¯v_t(o) + ¯Ω_t× (p − o) , ∀(t, p) ∈ T × P ,

che rappresenta la velocit`a del moto continuo rigido di un continuo, il cui dominio spaziale

`e esteso a tutto lo spazio, e che `e “trascinato” rigidamente dal continuo originale.

Per semplicit`a, riferiamoci a tale moto continuo il cui dominio spaziale `e esteso a tutto

lo spazio.

2.5.14 Proposizione. Sia C un moto continuo rigido. Si consideri un istante t ∈ T .

1) Se ¯Ωt= 0 , allora abbiamo

¯

vt(p) = ¯vt(o) , ∀(t, p) ∈ T × P ,

dove o ∈ P `e un punto qualunque.

Dunque, in questo caso la velocit`a `e traslatoria, ossia non dipende dal punto p ∈ P .

2) Se ¯Ω_t6= 0 , allora possiamo decomporre la velocit`a in una componente parallela ad

¯

Ω_t ed in una componente ortogonale ad ¯Ω_t, mediante la formula

¯

v_t(p) = ¯v^k_t(p) + ¯v^⊥_t(p) , ∀(t, p) ∈ T × P ,

dove

¯

v^k_t(p) = ¯v^k_t(o) ,

¯

v^⊥_t(p) = ¯v^⊥_t(o) + ¯Ω_t× (p − o) ,

dove o ∈ P `e un punto qualunque.

Inoltre, i punti o⁰ ∈ P , per i quali

¯

appartengono ad una retta r_t parallela ad ¯Ω_t, detta asse di rotazione istantanea. Se,

scegliamo come polo un qualunque punto o⁰ ∈ r_t, allora l’espressione della velocit`a diventa

¯

v^k_t(p) = ¯v^k_t(o⁰) ,

¯

v^⊥t(p) = ¯Ωt× (p − o⁰) .

Dunque, in tal modo la velocit`a `e decomposta in una componente traslatoria, parallela

all’asse di rotazione istantanea, ed in una componente di rotazione attorno all’asse di

rotazione istantanea.

L’asse di rotazione istantanea `e il limite dell’asse di rotazione

rt= lim

s→tr_(s,t).

Dimostrazione. La decomposizione della velocit`^{a segue immediatamente dal fatto che ¯Ω}t× (p − o)

`e ortogonale ad ¯Ωt.

Consideriamo ora il caso 2) e cerchiamo il luogo dei punti o⁰per i quali ¯v^⊥t(o) = 0 . Dobbiamo dunque

risolvere l’equazione lineare

¯

Ωt× (o⁰− o) = −¯v^⊥t(o) ,

nell’incognita o⁰∈ P , associata all’operatore lineare

ˆ

f : ¯P → ¯P : (o⁰− o) 7→ ¯Ωt× (o⁰− o)

ed al termine noto −¯v^⊥t(o) .

Tale equazione ammette soluzioni perch´e l’immagine dell’operatore lineare ˆf `e il piano ortogonale ad

¯

Ωted il termine noto −¯v^⊥t(o) appartiene all’immagine.

Inoltre, il nucleo dell’operatore lineare ˆf `e la retta ¯rt⊂ ¯P passante per 0 ∈ ¯P e parallela ad ¯Ωt.

Perci`o le l’insieme delle soluzioni dell’equazione `e la retta

rt= o⁰+ ¯rt,

dove o⁰ `e una soluzione particolare dell’equazione.

Abbiamo visto che, per un moto continuo rigido, abbiamo E

¯ ^{= 0 e }¯^{= 0 . Viceversa,}

queste due propriet`a caratterizzano i moti rigidi.

2.5.15 Proposizione. Consideriamo un moto continuo C : T × (T × P ) → P . Se

E

¯ ^{= 0 , allora il moto `e rigido.}

Dimostrazione. L’idea intuitiva `^{e la seguente. Se E}_¯ ^{= 0 , allora le lunghezze dei vettori infinitesimi}

sono conservate lungo il moto. Ma questo implica anche che le lunghezze dei vettori finiti sono conservate

lungo il moto.

Pi`u rigorosamente dimostriamo la tesi come segue.

Facciamo innanzitutto un’osservazione preliminare. Si considerino due istanti s, t ∈ T , All’istante

t ∈ T , si consideri una curva

c_t: [0, 1] → P .

All’istante s ∈ T , tale curva `e trasformata, per effetto del moto, nella nuova curva

cs:= C_(s,t)◦ ct: [0, 1] → P .

Si pu`o dimostrare che, dato che il tensore metrico `e conservato dal moto, allora questa trasformazione

di curve manda geodetiche in geodetiche e quindi rette in rette.

Si considerino ora due istanti s, t ∈ T , un punto p ∈ P ed un vettore ¯h ∈ ¯P . All’istante iniziale t ,

si consideri la curva rettilinea

ct: [0, 1] → P : λ 7→ p + λ k¯hk ,

che collega il punto p ed il punto p + ¯h .

Per effetto del moto, tale curva si trasforma, all’istante finale s , nella curva rettilinea

cs: [0, 1] → P : λ 7→ C(s; t, p + λ k¯hk) ,

che collega il punto C(s; t, p) ed il punto C(s; t, p + ¯h) .

Per le nostre ipotesi abbiamo

Dc_t(λ) = k¯hk e Dc_s(λ) = D(C_(s,t))(k¯hk) = ˆR(s,t)(k¯hk) = (k¯hk) .

Possiamo esprimere la lunghezza L_t della curva c_t (ossia la lunghezza del vettore ¯h) e la lunghezza

L_sdella curva c_s(ossia la lunghezza del vettore C(s; t, p + ¯h) − C(s; t, p)) come segue

Lt= k¯hk =

Z

[0,1]

Dctdλ e Ls= kC(s; t, p + ¯h) − C(s; t, p)k =

Z

[0,1]

Dcsdλ .

Dunque, abbiamo

Lt= Ls.

Tale uguaglianza vale qualunque sia il punto p ed il vettore ¯h scelti.

Abbiamo dunque dimostrato che le distanze tra le particelle sono costanti lungo il moto. Dunque il

moto `e rigido. QED

2.5.16 Corollario. Consideriamo un moto continuo C : T ×(T ×P ) → P . Se 

¯^{= 0 ,}

allora il moto `e rigido.

Dimostrazione. Lungo il moto di ciascuna particella, abbiamo

0 = ˆ = δ ˆD e D^ˆ(t,t)= id_P¯ .

Perci`o, per il teorema di esistenza ed unicit`a delle equazioni differenziali del prim’ordine, otteniamo

ˆ

D_(s,t)= id_P¯ .

Dunque, abbiamo identicamente E

¯ ^{= 0 . Allora, il Corollario segue dalla Proposizione}

preceden-te. QED

Nel documento Introduzione alla Meccanica dei SISTEMI CONTINUI (pagine 144-149)