Non regolarit`a: esistenza di coni minimi

Il problema della regolarit`a delle superfici minime non parametriche `e in- timamente legato alla natura del sistema delle superfici minime. In codi- mensione 1 tale sistema si riduce ad all’equazione ellittica in forma di diver- genza (2.3); le soluzioni di tale equazione sono regolari grazie al teorema di De Giorgi, vedi [5]. Un teorema analogo non esiste per i sistemi ellittici e questa differenza tra la teoria scalare e la teoria vettoriale si concretizza nel seguente esempio.

Teorema 3.5 Sia η : S3 _{⊂ R}4 _{→ S}2_{⊂ R}3 _{la mappa di Hopf definita da}

η(z1, z2) = (|z1|2− |z2|2, 2z1z2) ∈ R × C ∼= R3,

dove (z1, z2) ∈ C2 ∼= R4. Allora l’applicazione Lipschitziana, ma non C1,

u : R4 → R3 data da u(x) = √ 5 2 |x|η µ x |x| ¶ , x 6= 0 (3.9)

e u(0) = 0 soddisfa il sistema delle superfici minime (1.19).

Cenni di dimostrazione Consideriamo la famiglia di immersioni

i_α : S3→ S6

date da

iα(x) :=

¡

αx,p1 − α2_η(x)¢_{, 0 ≤ α ≤ 1.}

Sia SU (2) il gruppo delle matrici unitarie di determinante 1 in C2 _{e sia}

SO(3) il gruppo delle matrici ortogonali di determinante 1 in R3. Sappiamo che SO(3) ∼= SU (2)/Z2 per cui c’`e una naturale immersione

SU (2) ,→ SU (2) × SO(3),

attraverso la quale SU (2) agisce su S6 _{⊂ R}7_{. Grazie ad un teorema di}

Wu-Yi Hsiang [17], le orbite di maggior volume dell’azione sono sottovariet`a di S6 _minime3_{. Data la grande simmetria di i}

α, non `e difficile mostrare

che iα(S3) `e un’orbita principale e che `e sufficiente massimizzare l’area tra

queste sottovariet`a di S6_:

A(iα(S3)) = 2π2α(4 − 3α2),

che raggiunge il suo massimo in [0, 1] per α = 2₃. Allora i2 3(S

3_{) `e minima in}

S6, da cui il cono C costruito su di essa `e minimo in R7 perch´e, in generale, il cono costruito su una sottovariet`a minima di Sn _{`e una sottovariet`a minima}

in Rn+1_{. Infatti la curvatura media di C in x non ha componente parallela}

a x, quindi coincide, a meno di un riscalamento, con la curvatura media di

i2 3(S

3_{) in S}6_{. Infine si verifica che C `e il grafico della funzione f definita in}

(3.9).

Osservazione Grazie a questo controesempio `e preciso il risultato di Mor- rey, teorema 5.10, secondo cui le soluzioni C1 _{del sistema delle superfici}

minime sono analitiche. Per ottenere un risultato di regolarit`a sono necces- sarie ulteriori ipotesi. Infatti proveremo la regolarit`a dei grafici di funzioni Lipschitziane area-decreasing. •

3_S6 _{`e una variet`a Riemanniana. Data una sua sottovariet`a Σ sono ben definite le}

connessioni di Levi-Civita di S6_{e Σ. Di conseguenza si definisce anche la curvatura media}

H di Σ in S6 _{che, in generale, non coincide con la curvatura media di Σ vista come}

Esistenza in codimensione

arbitraria

Il teorema di esistenza in codimensione 1 si basa sulle stime a priori del gradiente sul bordo per un’arbitraria soluzione u. Esse vengono ottenute attraverso la costruzione di barriere v che soddisfino

n X i,j=1 gij(Dv) ∂ 2_v ∂xi_∂xj ≤ 0. (4.1)

In linea di principio, essendo il sistema delle superfici minime non lineare, dovremmo cercare barriere del tipo

n X i,j=1 gij(Du) ∂ 2_v ∂xi_∂xj ≤ 0 (4.2)

e questo `e molto pi`u difficile perch´e, non conoscendo a priori Du (`e quello che vogliamo stimare!), non conosciamo la costante di elletticit`a dei coeffi- cienti gij_{(Du). In codimensione 1 il lemma 2.12 dice che la costruzione di}

barriere che soddisfino (4.1) `e sufficiente, ma, essendo tale lemma falso in codimensione maggiore di 1, non `e possibile generalizzare questa procedure. In questo capitolo mostreremo che, con ipotesi sulla norma C2 del dato al bordo ψ, la costruzione di barriere `e ancora possibile. Per fare ci`o utilizzeremo il sistema parabolico associato al sistema delle superfici minime (il sistema del moto per curvatura media) ed il principio di massimo parabolico, mostrando che esistono quantit`a geometriche preservate durante l’evoluzione per curvatura media. A causa del controesempio di Lawson e Osserman, teorema 3.1, `e naturale introdurre un’ipotesi sulle derivate del dato al bordo.

Utilizzeremo il moto per curvatura media per provare l’esistenza di una soluzione Lipschitziana del sistema delle superfici minime; nel prossimo

capitolo proveremo che le soluzioni trovate (in generale non tutte le possibili soluzioni) sono anche C∞_{. Questi risultati, dovuti a Mu-Tao Wang, sono}

apparsi nel 2003 e nel 2004 in [42] e [39].

Nella prossima sezione proviamo, invece, un risultato ben noto ai tem- pi dei controesempi di Lawson e Osserman: un teorema di esistenza locale basato sul teorema della funzione inversa.

4.1

Esistenza per dati piccoli in C

Mostriamo che se la norma kψk_2,α `e sufficientemente piccola, allora il pro- blema di Dirichlet per il sistema delle superfici minime (1.25) ha soluzione regolare. Questa sezione `e indipendente dal resto del capitolo e i risultati in essa contenuti non verranno utilizzati nelle sezioni successive.

Teorema 4.1 (Funzione inversa) Siano E ed F spazi di Banach e sia Φ : E → F di classe Cr_{, r ≥ 1. Supponiamo che DΦ}

x0 sia un isomorfismo

di spazi di Banach1 _{per un certo x}

0 ∈ E. Allora esistono U ⊂ E e V ⊂ F

intorni aperti di x0 e Φ(x0) rispettivamente tali che Φ(U ) = V

Φ¯¯_U : U → V

sia invertibile e l’inversa sia di classe Cr_.

La dimostrazione di questo teorema `e analoga a quella del teorema della funzione inversa in Rn_{. Una versione completa per spazi di Banach si}

trova in [24].

Teorema 4.2 Dato Ω ⊂ Rn_{aperto, connesso e regolare, esiste una costante}

C = C(Ω) tale che se kψk_2,α < C, allora il problema di Dirichlet per il sistema delle superfici minime con dato al bordo ψ (1.25) ha soluzione C∞_.

Dimostrazione Sottointendiamo la somma sugli indici ripetuti e conside- riamo l’operatore tra spazi di Banach

Φ : C2,α(Ω; Rm) → C0,α(Ω; Rm) × C2,α(∂Ω; Rm) definita da Φ(u) := ³ gij(Du) ∂2u ∂xi_∂xj, u ¯ ¯ ∂Ω ´ . Il differenziale di Φ in u `e dΦu(v) = ³ gij(Du) ∂2v ∂xi_∂xj + ∂gij ∂pβ_k(Du) ∂vβ ∂xk ∂2_u ∂xi_∂xj, v ¯ ¯ ∂Ω ´ . 1_{ovvero DΦ}

x0 dev’essere invertibile e la sua inversa dev’essere continua. Quest’ultima

ipotesi `e, tuttavia, superflua grazie all’open mapping theorem: un’applicazione lineare continua e surgettiva tra spazi di Banach `e aperta.

Si verifica facilmente che dΦ `e continuo e che per u = 0 si riduce a

dΦ0(v) =

¡

∆v, v¯¯_∂Ω¢;

invertire dΦ0vuol dire, dati f ∈ C0,α(Ω) e h ∈ C2,α(∂Ω), risolvere in C2,α(Ω)

il problema di Dirichlet ½

∆v = f in Ω

v = h su ∂Ω.

Come noto questo problema ha sempre soluzione in C2,α_{(Ω) e la soluzio-}

ne `e unica (principio di massimo). Dunque l’operatore dΦ<sub>0</sub> `e invertibile e l’inversa, per il teorema della mappa aperta, `e continua.

Osserviamo che Φ(0) = 0; allora il teorema della funzione inversa 4.1 implica che esiste un intorno di 0 V ⊂ C0,α(Ω) × C2,α(∂Ω) contenuto nell’immagine di Φ. In particolare esiste C > 0 tale che {0} × BC(0) `e

contenuto nell’immagine di Φ, e questo, assieme al teorema 5.10, conclude

la dimostrazione. ¤