2.1 Norme in R
n, equivalenza delle norme
Sia
Rn ={−→x = (x1,· · · , xn); x1,· · · , x2 ∈ R}. Norma e’ ogni funzione
k · k : −→x ∈ Rn−→ k−→xk, tale che k−→xk ≥ 0, k−→xk = 0 ⇔ −→x = −→0 , (2.1.1) kλ−→xk = |λ|k−→xk per −→x ∈ Rn, λ∈ R, (2.1.2) disequazione triangolare k−→x + −→yk ≤ k−→xk + k−→yk. (2.1.3) Esempio 2.1.1. Sia k−→xk = q x2 1+ x2 2.
Possiamo verificare la disequazione triangolare (2.1.3) che e equiva-lente a
k−→x + −→yk2
≤ (k−→xk + k−→yk)2
e dopo simplifica della disequazione vediamo che si deve verificare la disequazione di Cauchy
h−→x , −→yi ≤ k−→xkkyk 31
32 Norme in Rn
, equivalenza delle norme
Ricordando
h−→x , −→yi = k−→xkk−→yk cos θ, dove θ e l’angolo tra i due vettori troviamo
h−→x , −→yi ≤ k−→xkkyk e quindi abbiamo la disequazione triangolare.
Due norme
k · kj : −→x ∈ Rn
−→ k−→xk, j = 1, 2
sono equivalenti se esistono due costanti posisitivi C1 < C2 tali che C1 ≤ k−→xk1 k−→xk2 ≤ C2 (2.1.4) per ogni −→x 6= 0. Esempio 2.1.2. Sia k−→xk1 =|x1| + |x2|, −→x ∈ R2, (2.1.5) k−→xk2 = max(|x1|, |x2|), −→x ∈ R2, (2.1.6) Abbiamo le disequazioni
|x1| + |x2| ≤ max(|x1|, |x2|) + max(|x1|, |x2|) = 2 max(|x1|, |x2|) e max(|x1|, |x2|) ≤ |x1| + |x2| e quindi abbiamo (19.1.4). Esempio 2.1.3. Sia k−→xk2 = x21+· · · + x2n 1/2 (2.1.7) e k−→xkp = (xp1+· · · + xp n)1/p (2.1.8) dove 1 < p <∞, p 6= 2.
Aperti in Rn
. 33
a) Vedere se (2.1.7) e (2.1.8) sono norme; b) Vedere se (2.1.7) e (2.1.8) sono equivalenti. Esempio 2.1.4. Sia Rn ={−→x = (x1,· · · , xn); x1, x2 ∈ R} con norme k−→xkp = (xp1+· · · + xp n)1/p (2.1.9) per 1≤ p < ∞. kxk∞= max(|x1|, · · · , |xn|). (2.1.10) Ricordando la relazione h−→x , −→yi = k−→xkk−→yk cos θ, dove θ e l’angolo tra i due vettori troviamo Lemma 2.1.1. Vale la disequazione di Cauchy
h−→x , −→yi = x1y1+· · · + xnyn≤ k−→xk2kyk2, ∀−→x , −→y ∈ Rn.
2.1.1 Aperti in R
n.
Un sottoinsieme U ⊆ Rn si dice aperto se per ogni x di U esiste un ε > 0 tale che
B(x, ε) ={−→y ∈ Rn;k−→y − −→xk < ε} ⊂ U.
Gli insiemi aperti hanno le seguenti propriet´a, valide in un qualsiasi spazio topologico:
a) L’intersezione di un numero finito di aperti ´e ancora un aperto; b) L’unione di una collezione arbitraria di aperti ´e ancora un aperto;
34 Norme in Rn
Chapter 3
Distanza in R
n
3.1 Definizione della distanza in R
nLa distanza tra due punti −→x , −→y ∈ Rn e definita con
d(−→x , −→y ) =k−→x − −→yk, (3.1.1) dove k−→xk ´e una norma.
La distanza soddisfa le seguente proprieta. d(−→x , −→y ) > 0 −→x 6= −→y d(−→x , −→y ) = 0 −→x = −→y d(−→x , −→y ) = d(−→y , −→x ) d(−→x , −→y )≤ d(−→x , −→z ) + d(−→z , −→y ).
L’ultima propriet´a e‘ detta disuguaglianza triangolare.
L’insieme delle palle aperte centrate nei vari punti avente raggio variabile puo essere utilizzata per definire gli insiemi aperti.
Piu’ precisamente, un insieme sar´a aperto se e‘ l’unione di un certo numero (finito o infinito) di palle.
Problema 3.1.1. Verificare che a ´e un punto di chiusura di A se e solo se
d(a, A) = 0, dove
d(a, A) = inf{k−→a − −→xk; −→x ∈ A}. 35
36 Teorema di Weierstrass
3.2 Funzioni contunui in R
nLa funzione f definita in un dominio D ⊆ Rn si dice continua in un punto p∈ D se, per ogni scelta di ε > 0, esiste un δ > 0, tale che, per ogni punto x∈ D che dista meno di δ da p, ovvero che:
d(x, p) < δ
si ha che f (x) dista per meno di ε da f (p), ovvero: |f(x) − f(p)| < ε.
La definizione pu´o essere scritta servendosi della nozione di intorno sferico B(p, δ) = {x; d(x, p) < δ} centrato in p, di raggio δ: in questo caso, la funzione ´e continua se x ∈ B(p, δ) ∩ D implica che |f(x) − f (p)| ≤ ε.
Nel caso di funzioni reali, le definizioni coincidono se le due distanze su dominio e codominio non sono altro che il modulo della differenza tra due valori in R.
Inoltre, questa definizione ´e valida per funzioni definite e a valori in tutti gli spazi vettoriali con norma, dove la distanza sia la norma della differenza tra due punti.
3.3 Teorema di Weierstrass
Il lemma seguente spiega la propriet´a: ”le funzioni continue mandano compatti in compatti.”
Lemma 3.3.1. Sia X, Y due spazi metrici ´e sia f una funzione con-tinua:
f : X → Y.
Allora per ogni K ⊆ X compatto f(K) ´e compatto in Y.
Il teorema di Weierstrass nell’ambito degli spazi metrici ha la seguente forma:
Lemma 3.3.2. (teorema di Weierstarss) Sia (X, d) uno spazio metrico e sia f : X → R continua in X. Allora se X ´e compatto, f(x) ammette un punto di massimo e un punto di minimo in X.
37
Proof. Consideriamo solo inf
x∈Xf (x) = L.
Il fatto che f ´e limitata implica che L > −∞. La definizione di inf implica che esiste una successione minimzzante, cio´e
xk ∈ X, L ≤ f(xk) < L + 1
k. (3.3.2)
La successione xk´e in compatto X, cosi’ possiamo estrare sottosucces-sione {xkm}∞ m=1, tale che lim m→∞xkm = x∗ ∈ X. Usando la continuit´a della funzione f otteniamo
lim
m→∞f (xkm) = f (x∗) e le disequazioni (3.3.2) mostrano che
f (x∗) = L.
Remark 3.3.1. La formulazione per spazi topologici ´e del tutto analoga se (X,T ) ´e uno spazio compatto.
3.4 Il teorema di Heine - Cantor
Il teorema di Heine - Cantor ha la seguente forma
Lemma 3.4.1. Siano(M, d) e (N, ρ) spazi metrici, e f : M → N una funzione continua su M. Se M ´e compatto allora f ´e uniformemente continua.
38 Il teorema di Heine - Cantor
Dimostrazione. La continuit´a di f implica che per ogni ε > 0 ed ogni x∈ M esiste δ = δ(ε, x) > 0 tale che
f (B(x, δ))⊆ B(f(x), ε/2), (3.4.3)
dove
B(x, δ) ={y ∈ M; d(x, y) < δ}, B(f(x), ε) = {z ∈ N; ρ(f(x), z) < ε}. Per ogni ε > 0 abbiamo
M =∪x∈MB(x, δ(ε, x)/2) e quindi
{B(x, δ(ε, x)/2)}x∈M
´e un ricoprimento aperto di M. La compattezza di M permette a trovare
x1,· · · , xN
tali che ponendo
δ1 = δ(ε, x1),· · · , δN = δ(ε, xN) abbiamo
B(x1, δ1/2),· · · , B(xN, δN/2)
´e un sottoricoprimento finito di M. Questa propriet´a e (3.4.3) impli-cano f (B(xj, δj))⊆ B(f(xj), ε/2), (3.4.4) Ponendo δ = min 1≤j≤N δj 2 = min1≤j≤N δ(ε, xj) 2
possiamo prendere qulsiasi coppia (x, y) con d(x, y) < δ e sapiamo che esiste j tale che x∈ B(xj, δj/2) e la disequazione triangolare implica
39
cos´ı la propriet´a (3.4.4) implica ρ(f (xj), f (x)) < ε
2, ρ(f (xj), f (y)) < ε 2
ed applicando la disequazione triangolare (rispetto la metrica ρ trovi-amo
ρ(f (x), f (y)) < ε.
3.5 Contrazioni e teorema del punto fisso.
Sia (X, d) uno spazio metrico. Si definisce contrazione con costante di Lipschitz k < 1 una funzione f : X → X che soddisfa la seguente condizione:
d(f (x), f (y))≤ k d(x, y) ∀x, y ∈ X. (3.5.6) Se k = 1 allora la funzione f : X → X che soddisfa
d(f (x), f (y))≤ d(x, y) ∀x, y ∈ X. (3.5.7) si chiama semplicemente contrazione o mappa NON ESPANSIVA. Lemma 3.5.1. Ogni contrazione ´e una funzione continua.
Teorema 3.5.1. Sia (X, d) uno spazio metrico completo non vuoto. Sia T : X → X una contrazione su X con costante di Lipschitz k ∈ [0, 1). Allora la mappa T ammette uno e un solo punto fisso.
Il teorema assicura che se (X, d) e‘ uno spazio metrico completo e non vuoto, allora il punto fisso esiste ed e‘ unico e che, fissato un qualunque x0 in (X, d), la successione definita per ricorrenza
x1 := x0, xn+1 := f (xn) converge al punto fisso.
40 Contrazioni e teorema del punto fisso.
Dimostrazione. La dimostrazione si fa in due passi. Iniziamo ad occu-parci della esistenza, poi ricaveremo l’unicit´a.
Sia definita una successione ricorrente (o successione delle iterate) come segue:
x1 = T (x0) , x2 = T (x1) , ... , xn = T (xn−1) .
Sfruttiamo la metrica d e la propriet´a di contrazione per valutare la distanza tra due punti successivi xn, xn+1 :
d(xn, xn+1) = d(T (xn−1), T (xn))≤ k d(xn−1, xn) = k d(T (xn−2), T (xn−1))≤ ≤ k2 d(xn−2, xn−1)≤ ... ≤ knd(x0, x1) .
Prendiamo due numeri m , n∈ N tali che m < n : attraverso la disug-uaglianza triangolare e la proprieta di cui sopra
d(xn, xm)≤ d(xn, xn−1)+d(xn−1, xm)≤ n−1 X i=m d(xi, xi+1)≤ d(x0, x1) n−1 X i=m ki = = d(x0, x1) n−m−1X i=0 ki+m = km d(x0, x1) n−m−1X i=0 ki.
Per n → ∞ , l’ultima ´e una serie geometrica che converge perchio il termine generale ´e compreso tra 0 e 1, quindi
d(xn, xm)≤ d(x0, x1) k
m
1− k → 0 per m → ∞
ottenendo il criterio di Cauchy per le successioni. Passiamo ora dalla completezza dello spazio X , la quale garantisce l’esistenza di
x∗ = lim
n→∞xn
Poiche la T e un’applicazione uniformemente continua, vale T (x∗) = lim
n→∞T (xn) = lim
n→∞xn+1= x∗.
L’unicita si dimostra per assurdo: poniamo che esista un secondo punto y∗ tale che T (y∗) = y∗
d(x∗, y∗)≤ d(T (x∗), T (y∗))≤ k d(x∗, y∗) ⇒ k≥ 1 che contraddice le ipotesi di partenza.
41
3.6 Esercizi sulle contrazioni e punti fissi
Problema 3.6.1. Vedere per quali a > 0 la funzione fa : [0, 1] =⇒ [0, 1] definita con
fa(x) = xa
a) ´e una contrazione?
b) ´e una mappa non espasiva?
Problema 3.6.2. Se f : [0, 2] =⇒ [0, 2] ´e una funzione continua, allora esiste punto fisso, tale che f (x) = x.
Problema 3.6.3. Costruire f : [−2, 2] =⇒ [−2, 2] tale che il numero dei punti fissi ´e 3.
Problema 3.6.4. Costruire una mappa non espasiva f : [−2, 2] =⇒ [−2, 2] tale che
a) f (0) = 0;
b) Esiste almeno un altro punto fisso in [−2, 2]: c) La funzione non e’ una funzione lineare.
(contrazione in questo problema significa che vale (3.5.7) con k≤ 1!!!). Problema 3.6.5. Provare che:
a) T : [3/2, 2] → [3/2, 2] definita come T (x) = 1 + 1/x e’ una contrazione;
b) per quali 0 < a < b la funzione T (x) = 1 + 1/x ´e tale che T : [a, b]→ [a, b] ed e’ una contrazione?
c) studiare i punti fissi e limite della successione per ricorrenza x0 = c, xn+1= T xn. al variare di c∈ [a, b]. Risp. b). 1 < a < 1 + √ 5 2 < b, b + 1≥ ab ≥ a + 1.
42 Esercizi sulle contrazioni e punti fissi
Problema 3.6.6. (*) Sia T : [0, 1]→ [0, 1] e supponiamo che |T x − T y| < |x − y|, ∀0 ≤ x 6= y ≤ 1.
Vedere se T ´e una contrazione. Problema 3.6.7. Sia
f (x) = kx− xp, dove p≥ 2 e k ∈ [0, 1].
a) Vedere per quali valori dei parametri k, p con p ≥ 2, 0 ≤ k ≤ 1 abbiamo la propriet´a
f : [0, 1] =⇒ [0, 1]? b) Vedere se la mappa f ´e una contrazione; c) Vedere se la mappa f ´e nonespansiva;
d) Studiare l’esistenza e unicita’ dei punti fissi di f .
Problema 3.6.8. Vedere se il Teorema 3.5.1 ´e vero per k = 1. Problema 3.6.9. Se A e una matrice n× n e
T (x) = Ax, x ∈ Rn allora T e una contrazione con k < 1 se e solo se
max{|λ|; λ ´e autovalore di A} ≤ k. Problema 3.6.10. Sia X = C[0, a] con norma
kfkX = sup
[0,a]|f(x)| e T : X =⇒ X e’ definito come segue
T (f )(x) = 10 + Z x
0
f (t)3dt. (3.6.8)
Studiare per quali a > 0 l’operatore (3.6.8) ´e una contrazione in B(10, 1) ={g ∈ X; kg − 10kX ≤ 1}.