Figura 4.3: Luoghi caratteristici di G1(s).
Valutiamo un altro esempio per capire meglio il teorema; si consideri il seguente sistema: G2(s) = 1 1.25(s + 1)(s + 2) s − 1 s −6 s − 2 .
Adesso costruiamo l’insieme dei luoghi caratteristici per il sistema.
Dal diagramma di figura4.4si deduce che il sistema ad anello chiuso `e stabile internamente per −∞ < −1/k < −0.8, −0.4 < −1/k < 0 e per 0.53 < −1/k < ∞ perch´e non compie nessun giro; mentre per −0.8 < −1/k < −0.4 si ha un giro in senso orario e per 0 < −1/k < 0.53 abbiamo due giri in senso orario.
4.5
Nyquist array e bande di Gershgorin
Un metodo alternativo per valutare la stabilit`a del sistema interconnesso consiste nel tracciare le bande di Gershgorin. Tale metodo viene utilizzato in congiunzione con il Nyquist array. Il Nyquist array di una funzione di
4.5 Nyquist array e bande di Gershgorin
Figura 4.4: Luoghi caratteristici di G2(s).
trasferimento G(s), non necessariamente quadrata, `e l’insieme dei diagrammi di Nyquist di gij(s).
Consideriamo il caso particolare di G(s) diagonale con funzioni di trasfe- rimento gii(s) sulla diagonale; il sistema `e composto da m sistemi monova-
riabile disaccoppiati e si ha det[I + G(jω)] = m Y i=1 (1 + gii(jω)).
L’applicazione del teorema di Nyquist si semplifica in quanto basta valuta- re il numero di giri di ogni singolo sistema SISO gii(jω) intorno al punto
(−1, 0). Nel caso generale di G(s) matrice quadrata qualunque, ci si avvale del seguente teorema.
Teorema 7 (Gershgorin) Sia Z una matrice complessa di dimensioni m× m. Allora gli autovalori di Z giacciono nell’unione degli m cerchi centrati in zii ed aventi raggi ri dati da:
ri = m X j=1 j6=i |zij|, con i = 1, . . . , m. (4.8)
4.5 Nyquist array e bande di Gershgorin
Inoltre tali autovalori giacciono negli m cerchi centrati in zii ed aventi raggi
r0i dati da: ri0 = m X j=1 j6=i |zji|, con i = 1, . . . , m. (4.9)
Vediamo ora l’utilizzo del teorema di Gershgorin considerando una G(s) qua- drata e i diagrammi di Nyquist di gii(s). Sovrapponiamo ad ogni ω al punto
gii(jω), un cerchio di raggio dato dalla 4.8 o dalla 4.9. Si ottengono cos`ı le
cosiddette bande di Gershgorin per ciascun gii(jω); ciascuna banda `e formata
dall’unione dei cerchi di Gershgorin.
Il teorema 7 assicura che queste bande contengono, frequenza per fre- quenza, i luoghi caratteristici di G(s). Dunque, se le bande di Gershgorin di G(s) non contengono il punto (−1, 0), possiamo dedurre le rotazioni intorno a tale punto degli autovalori λi(s) direttamente da quello delle bande; pi`u
precisamente tali rotazioni coincidono.
Inoltre, l’esclusione dell’origine da parte delle fasce di Gershgorin, implica una dominanza diagonale (riga o colonna) di G(s).
Definizione 4 Una matrice G(s) di dimensioni m × m si defininisce domi- nante diagonale riga in Ω se:
|gii(s)| > m X j=1 j6=i |gij(s)|, ∀s ∈ Ω, con i = 1, . . . , m (4.10)
e dominante diagonale colonna in Ω se: |gii(s)| > m X j=1 j6=i |gji(s)|, ∀s ∈ Ω, con i = 1, . . . , m. (4.11)
Se G(s) `e dominante riga (o colonna) sull’asse immaginario, allora il numero di giri N compiuti attorno all’origine dal vettore det[G(jω)] per ω che varia
4.5 Nyquist array e bande di Gershgorin
da −∞ a +∞, `e uguale alla somma dei numeri dei giri νi compiuti dalle
singole funzioni gii(jω) N = m X i=1 νi.
Si ricorda che la condizione di stabilit`a `e riferita a i + G(s) e pertanto per I + G(s) la condizione di dominanza diagonale riga diventa
|1 + gii(jω)| > ri(ω), con ri(ω) = m X j=1 j6=i |gij(jω)|
quindi I +G(s) `e dominante diagonale se le fasce di Gershgorin non includono il punto (−1, 0).
Figura 4.5: Dominanza diagonale.
Nel diagramma in figura4.5, possiamo vedere la rappresentazione delle varie grandezze 1+gii(jω), gii(jω) e ri(ω) per la caratterizzazione della dominanza
diagonale.
In generale pi`u `e elevato il grado di dominanza e pi`u le fasce di Gershgorin divengono strette; il sistema si comporta sempre di pi`u come m sistemi SISO non interagenti.
Nella figura 4.6 viene mostrato un esempio di fascia di Gershgorin per la verifica della stabilit`a di un sistema a controreazione unitaria. Si devono verificare anche le fasce per gli altri elementi della diagonale.
4.5 Nyquist array e bande di Gershgorin
Figura 4.6: Fascia di Gershgorin.
Si noti tuttavia che la verifica della stabilit`a tramite le fasce costituisce solo una condizione sufficiente. Se una fascia ricopre il punto (−1, 0), e quindi I + G(s) non `e dominante diagonale, non si pu`o dire che il sistema ad anello chiuso sia instabile.
Supponiamo adesso di eseguire una trasformazione di similarit`a su G(s):
e
G(s) = X(s)G(s)X−1(s).
I luoghi caratteristici di eG e di G coincidono, infatti trasformazioni simili lasciano inalterati gli autovalori. Si noti per`o che eG pu`o essere dominante diagonale anche se G non lo `e; pertanto ha senso a tale scopo cercare di individuare particolari trasformazioni simili.
Esiste un risultato di Mees (1981) che ha permesso di utilizzare pratica- mente sempre il risultato sulla diagonale dominanza. Prima di enunciare il risultato di Mees saranno introdotte alcune definizioni.
Definizione 5 Una matrice M `e detta non-negativa se tutti i suoi elementi sono positivi o nulli (mij ≥ 0).
4.5 Nyquist array e bande di Gershgorin
`e detta primitiva se: ∃ k | Mk > 0
Teorema 8 (Perron-Frobenius) Sia M (jω) una matrice quadrata non- negativa e primitiva, allora:
• uno dei suoi autovalori, chiamato autovalore di Perron-Forbenius λp `e
reale e positivo e risulta:
λp(jω) ≥ |λ1(jω)| ≥ |λ2(jω)|, . . . , ≥ |λm(jω)|
essendo gli autovalori λi di M ordinati secondo il modulo decrescente;
• gli autovettori destro e sinistro per λp sono anch’essi reali e positivi;
• λp `e una radice semplice dell’equazione caratteristica.
Infine diamo l’ultima definizione e poi il teorema di Mees.
Definizione 7 Data la matrice quadrata M = {mij} di dimensioni m × m
si definisce:
Mdiag = diag{m11, m22, . . . , mmm}.
Teorema 9 (Mees) Sia G(s) quadrata e primitiva. Allora esiste una ma- trice diagonale X tale che:
e
G = XGX−1 (4.12)
`e diagonale dominante se e solo se vale la disugualianza:
λp(GG−1diag) < 2. (4.13)
Se la condizione del teorema 9 `e soddisfatta, chiamando l’autovalore sinistro di Perron-Frobenius di GG−1diag
4.5 Nyquist array e bande di Gershgorin
la matrice X che trasforma la G in una matrice dominante diagonale `e data da
X = diag{x1, x2, . . . , xn}.
La matrice diagonale ad elementi reali X pu`o essere interpretata come una scalatura delle uscite di G mentre X−1 come una scalatura degli ingressi di G. Si noti che il risultato richiede una X diversa per ogni frequenza, ma essendo uno strumento di analisi ci`o non costituisce un particolare problema. Un’altra apparente limitazione del risultato precedente `e la richiesta che G sia primitiva. Se tutti gli elementi di G sono non nulli allora G sar`a sicuramente primitiva. Se invece qualche elemento di G `e identicamente nullo, allora G `e di solito diagonale a blocchi o triangolare a blocchi o pu`o essere resa tale con un opportuno riordino degli ingressi e delle uscite. In questo caso i luoghi caratteristici di G corrispondono ai luoghi caratteristici dei blocchi primitivi che compaiono sulla diagonale principale, rendendo possibile l’applicazione del teorema 9separatamente ad ogni blocco primitivo.
Infine `e stato anche dimostrato che la matrice X precedentemente indivi- duata `e anche ottimale; le bande di Gershgorin sono le pi`u strette ottenibili con una trasformazione simile diagonale. Si ricorda che si desidera ottenere la dominanza diagonale di I + G(s), ma essendo X(1 + G(s))X−1 = I + XGX−1 si pu`o ancora dedurre la stabilit`a dalle bande di XGX−1 e quindi lavorare solo con G.
Un ultimo risultato riguarda il sistema in controreazione (vedi. fig.4.1) con in catena diretta G(s) quadrata in serie con una matrice di guadagni diagonale
K = diag{k1, k2, . . . , km}.
A differenza del caso precedente, il guadagno ki in ogni anello pu`o essere
diverso.
Con le suddette condizioni possiamo usufruire del seguente teorema.
Teorema 10 (Rosenbrock, 1970) Sia G(s) quadrata e K matrice diago- nale. Si supponga inoltre che non esistano modi instabili nascosti e che valga
4.6 Implementazione