Ordine superiore - Origini e applicazioni dell'analisi non standard

Come si è visto nella sezione precedente, gli strumenti della logica del primo ordine sono sufficienti per definire molti concetti algebrici. Il suo limite principale però sta nel non essere in grado di esprimere concetti equivalenti ai quantificatori che riguardino entità più grandi dei singoli individui (ad esempio per insiemi di individui, insiemi di insiemi,...). Per questa ragione la teoria del primo ordine è estesa a quella di ordine superiore, che permette di ovviare a tali limiti. Ovviamente questa maggior libertà viene pagata a prezzo di una maggior complessità strutturale. I concetti introdotti nella sezione precedente di linguaggio e modello di primo ordine, saranno modifi- cati. In particolare la definizione di linguaggio sarà ampliata, mentre quella

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di struttura sar`a data ex novo. Ovviamente i casi della sezione precedente possono essere ricondotti a quelli della presente.

Inoltre, cruciale in questa sezione, sarà la definizione di espansione di un modello di una teoria. Dato un modello di un certo insieme di proposizioni, un’espansione è un altro modello di quell’insieme, che però contiene un sottoinsieme proprio uguale al primo. Gli elementi del nuovo modello, contenuti nel sottoinsieme uguale al modello più piccolo, saranno detti standard, gli altri non standard.

L’analisi non standard `e un esempio di espansione del modello della retta reale R.

2.5.1 Linguaggio di ordine superiore

Prima di ogni altra cosa `e necessario qui introdurre la definizione di tipo. I tipi sono necessari per costruire relazioni che comprendano contemporaneamente elementi ed insiemi di elementi, senza incorrere in entit`a indesiderabili (come un insieme che contenga contemporaneamente individui ed insiemi di individui).

Definizione 2.5.1. Si definisce un tipo nella seguente maniera ricorsiva:

• 0 `e un tipo;

• sia n un intero e t1, . . . , tn tipi, allora (t1, . . . , tn) `e un tipo

Si indicher`a con T l’insieme di tutti i tipi.

In sostanza il tipo 0 `e quello usato per indicare gli elementi, gli altri possono indicare tutte le entit`a costituite a partire dagli elementi (cos`ı come tutti i tipi vengono costruiti a partire da 0).

Per esempio si consideri un insieme A. Un sottoinsieme di A `e di tipo (0), un sottoinsieme di A × · · · × A `e del tipo (0, . . . , 0) n volte, mentre il tipo ((0), 0) indica un insieme costituito da sottoinsiemi di A e contemporaneamente da singoli elementi.

Si indicher`a d’ora in poi con At l’insieme di tutti gli insiemi di tipo t, costruiti a partire da A. Dunque A0 _{= A, A}(0,...,0) _{= A × · · · × A n volte e}

A((0),0) _{= P(A) × A (dove con P(A) si intende l’insieme delle parti di A).}

Possiamo ora dare la definizione di linguaggio predicativo di ordine superiore.

Definizione 2.5.2. Si definisce linguaggio predicativo di ordine superiore un particolare linguaggio del primo ordine, in cui gli unici simboli di relazione sono costituiti da Φt per ogni t ∈ T − {0}, con la convenzione che se t =

(t1, . . . , tn) ∈ T − {0}, la relazione associata Φt `e di ordine n + 1.

E’ necessario intrudurre questi simboli di relazione per permettere la definizione delle costanti; si ricordi infatti che nell’ordine superiore una costante pu`o essere interpretata come una relazione avente argomenti di tipo diverso. Dunque la notazione di linguaggio di ordine superiore diventa

Λ {c1, c2, . . .}

essa `e ulteriormente snellita, avendo omesso per convenzione i simboli di relazione.

Le definizioni di formula atomica e formula ben formata sono identiche a quelle gi`a date. Tra le fbf di un linguaggio di ordine superiore vengono inoltre distinte le cosiddette formule stratificate.

Definizione 2.5.3. Per ogni t0 = (t1, . . . , tn), si dir`a ti il tipo del simbolo (di

variabile o di costante) occupante la posizione i + 1 di Φti (per i = 0, . . . , n).

Una fbf si dice stratificata se ogni simbolo vi compare solo in posizioni dello stesso tipo.

Un insieme X di proposizioni si dice stratificato se tutte le fbf che lo compongono sono stratificate e se, per ogni simbolo x che occorre in X, esso occorre sempre nello stesso tipo in tutte le proposizioni stratificate.

Le formule stratificate prendono il posto di quelle ben formate nella teoria di ordine superiore: infatti perch`e una proposizione abbia senso, `e necessario che il tipo di ogni costante sia univoco.

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2.5.2 Strutture e modelli di ordine superiore

A questo punto, per introdurre le strutture, `e necessaria una definizione preliminare.

Definizione 2.5.4. Sia A un insieme qualsiasi; si consideri l’insieme di tutte le funzioni f : K −→ A, dove K è un qualunque insieme di indici, permetten- do le ripetizioni (cioè è possibile che esistano k, k0 ∈ K tali che f (k) = f (k0_)).

Siano f e f0 due di tali funzioni, definite su rispettivi insiemi K e K0, si dice che f e f0 sono equivalenti se pu`o essere definita una funzione biunivoca q : K −→ K0 tale che f (k) = f0(q(k)) per ogni k ∈ K.

Si dir`a sottoinsieme con ripetizione S una qualsiasi classe di equivalenza delle funzioni definite precedentemente.

Infatti in ogni classe d’equivalenza, Imm(f ) ⊆ A è costante al variare di f nella classe; dunque due classi di equivalenza di funzioni, che hanno come immagine lo stesso sottoinsieme di A, differiscono solo per la presenza di elementi ripetuti di A. In questo senso per ogni insieme A si puo considerare un sottoinsieme con ripetizione di A come un effettivo sottoinsieme B ⊆ A (prendendo in considerazione l’immagine di una qualsiasi funzione), purchè si tengano conto delle ripetizioni. Nel caso in cui ogni elemento di A compaia in un insieme con ripetizioni A0 solo una volta, si scriverà, con un abuso di notazione, A = A0.

Si pu`o ora dare la definizione di struttura di ordine superiore.

Definizione 2.5.5. Si definisce una struttura di ordine superiore M come una famiglia Bt di insiemi, con t ∈ T , tale che esista un insieme di individui

(non vuoto) A tale per cui per ogni t ∈ T , Bt`e un sottoinsieme con ripetizioni

di At_{, con l’aggiunta dell’ipotesi che B}

0 = A0 = A

Le relazioni sono ora diventate qualcosa di pi`u generale: per ogni t = (t1, . . . , tn) ∈ T − {0} se R ∈ Bt, si impone allora che R possa essere sod-

disfatta solo da n-ple del tipo (R1, . . . , Rn) con Ri ∈ Bti. In sostanza R pu`o

D’ora in poi si chiameranno indefinitamente relazioni tutti gli elmenti di Bt,

per ogni t ∈ T (compreso t = 0).

Se per ogni tipo t ∈ T , Bt contiene tutti gli elementi At diremo che M `e

pieno (cio`e M contiene tutte le possibili relazioni di tutti i tipi); se ogni Bt

non contiene ripetizioni, allora M si dir`a normale. Quindi per una struttura piena e normale si ha Bt = At per ogni t ∈ T . Si noti che una struttura del

primo ordine `e una particolare struttura di ordine superiore con Bt = 0 per

ogni tipo t 6= (0, . . . , 0) n-volte (ovviamente si richiede anche B0 6= 0).

Siano infine Λ e M un linguaggio ed una struttura di ordine superiore. Si definisce (nuovamente) la funzione di interpretazione, come una mappa I dall’insieme {Bt}t∈T ad un sottoinsieme delle costanti del linguaggio Λ.

Come detto in precedenza, d’ora in poi si supporr`a sempre di aver esteso il linguaggio Λ in modo da avere simboli a suffcienza per tutte le relazioni di M .

Definizione 2.5.6. Sia t0 = (t1, . . . , tn), e sia ϕ = Φt0(x0, . . . , xn) una for-

mula stratificata di Λ. Essa è detta ammissibile in M se tutti i simboli di costante che compaiono in ϕ appartengono all’immagine di I, in modo che il tipo della posizione occupato in ϕ sia lo stesso dell’interpretazione in M (ossia I(xi) ∈ Bti ,per i = 0, . . . , n). Più in generale se ϕ è una formula

stratificata, essa `e detta ammissibile in M se ogni costante a `e mappata in una relazione di tipo corrispondente al tipo nella propria posizione.

Si noti che la definizione di ammissibilit`a dipende solo dalla mappa d’interpretazione I. Per quanto riguarda il valore di verit`a delle proposizioni, la definizione ricalca quella data in precedenza.

(a) Sia t0 = (t1, . . . , tn) ∈ T , e sia ϕ = Φt0(x0, . . . , xn) una formula ammissi-

bile. ϕ si dir`a valida in M se I−1(x0) `e soddisfatta da (I−1(x1), . . . , I−1(xn)),

altrimenti verr`a detta falsa.

(b) Sia ora ϕ una combinazione tramite connettivi di formule ammissibili come ψj = Φt0(x0, . . . , xn), per t0 ∈ T (si noti che quindi per definizione

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