La non completa conoscenza dello stato e la presenza nel sistema di disturbi stocastici rendono necessario l’utilizzo di un osservatore atto a stimare le variabili di stato mancanti depurandole del con- tributo aleatorio.
Si prenda un sistema del tipo:
˙x = Ax + Bu
y = Cx + Du (F.20)
dove C è la matrice di osservazione del sistema, che rappresenta il legame esistente fra il vettore di stato e quello delle uscite del sistema; mentre D è il legame diretto esistente fra il vettore degli ingressi e quello delle uscite del sistema. Per stimare lo stato si introduce un osservatore dinamico che ha la seguente espressione ˙^x = ^A^x + ^Bu + ^Ky (F.21) L’osservatore descritto al F.21 risulta essere dinamico, poichè ha una forma molto simile al sistema originario con l’aggiunta di un termine forzante legato all’uscita y tramite la matrice ^K. L’osser-
vatore ha il compito di stimare lo stato a partire dall’uscita, questa stima presenta necessariamente un errore che viene definito come:
e = x − ^x (F.22) È possibile scrivere l’equazione dinamica dell’errore derivando la F.22 ed ottenendo così:
Andando a sostituire nella F.23 la F.21 e la prima di F.20 si ottiene: ˙e = Ax + Bu − ^A^x − ^Bu − ^Ky (F.24) Inserendo anche la seconda di F.20 e la F.22 si ottiene:
y = Cx + Du ^ x = x − e ⇒ ˙e = Ax + Bu − ^Ax + ^Ae − ^Bu − ^KCx − ^KDu (F.25) che può essere riscritta come:
˙e = ^Ae + A − ^A − ^KC x + B − ^B − ^KD u (F.26) La F.26 è l’equazione dinamica dell’errore. Prima di procedere è op- portuno fare alcune considerazioni; lo scopo di questa trattazione è proprio quello di ottenere una stima dello stato che sia la migliore possibile, ciò può essere tradotto con la ricerca:
• del minimo errore possibile;
• di un errore la cui dinamica sia indipendente dallo stato e dall’ingresso del sistema.
Per ottenere il secondo punto è necessario imporre:
^
A = A − ^KC
^
B = B − ^KD (F.27)
ottenedo così la seguente equazione dinamica per l’errore:
˙e = A − ^KC e (F.28)
Sarà ora necessario scegliere opportunamente la matrice ^K, detta
dei guadagni dell’osservatore, in modo tale da avere una dinamica dell’errore stabile e tendente velocemente a zero8.
Tale matrice con una procedura di ottimizzazione, del tutto analo- ga a quanto descritto nel caso del controllore, può essere definita come:
^
K = R−1errCSerr
T
(F.29) con Serr soluzione dell’equazione algebrica di Riccati del tipo:
SerrAT +ASerr−SerrCTR−1errCSerr+Qerr = 0 (F.30)
8La dinamica dell’errore deve essere più veloce di quella del sistema. L’errore
APPENDICE F. TEORIA DEL COMPENSATORE OTTIMO
infine la F.27 e la definizione della y F.20 rende l’osservatore iniziale F.21:
˙^x = A^x + Bu + ^K (y − Du − C^x) (F.31) rimangono da definire le matrici Qerre Rerr. Nel caso deterministico
sono scelte dal progettista in modo da minimizzare l’errore, mentre nel caso stocastico sono scelte, per mezzo della teoria di Kalman- Bucy9, uguali rispettivamente alla densità spettrale di potenza del
rumore in ingresso al sistema v e di quello di misura w.
9Per quanto la trattazione del filtro di Kalman-Bucy sia differente da quanto
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RINGRAZIAMENTI
Alla fine di un nuovo, forse ultimo, percorso di studi della mia vita è giusto fare un consuntivo e rendere grazie a tante persone.
Anzitutto vorrei ringraziare il Signore, per come mi ha guidato nel- l’intraprendere il dottorato e per come continua ad sostenermi. Non posso che essere grato a mia moglie Serena, che mi supporta in tutto quello che faccio, sopportando le mie intemperanze.
Grazie ai miei genitori, che sono sempre stati per me un esempio di unità, dedizione e serietà.
A mia sorella, ai miei cognati e ai miei suoceri, va il mio pensiero affettuoso per la loro presenza costante ed amorevole.
Alla mia piccola nipotina Isabel, sono grato per la gioia che mi da ogni volta che la vedo.
Ai miei amici, che con me hanno condiviso esperienze importati ed indimenticabili, che mi hanno incoraggiato, sostenuto, sopportato e consigliato.
Ai miei mentori, Massimo e Giovanni, mi sento dal profondo del cuore di ringraziarli sia per mia la crescita professionale ed uma- na, di cui sono stati collaboratori preziosi, sia per l’amicizia di cui mi hanno fatto dono.
A Jacopo, Marco (aka Mario) e ad Emanuele (aka Piccione) per aver condiviso con me il mio percoso dottorale, e per come siamo riusciti ad affrontarlo con leggerezza.
Ai miei nuovi colleghi per come mi hanno accolto e per come in questo periodo di stesura della tesi mi hanno sostenuto.
Un ultimo ringraziamento a tutte le persone che ho incontrato nella mia vita e che hanno lasciato un segno nella mia vita.