Osservazione dell’effetto Hall quantistico relativistico

L’effetto Hall quantistico, osservato per la prima volta da Von Klitzing et al. in un gas bidimensionale di elettroni confinato nell’inversion layer di un MOSFET [49], `e una conseguenza dell’accoppiamento del campo magnetico con i gradi di libert`a orbitali degli elettroni: le componenti dell’impulso nelle due direzioni in cui le particelle sono libere di muoversi cessano di essere indipendenti, e i nuovi autostati della Hamiltoniana (in cui il campo `e stato introdotto mediante l’accoppiamento minimale) sono livelli di Landau discreti con degenerazione macroscopica. Se si rompe l’equilibrio chimico tra due estremi del sistema, si ottiene di conseguenza una corrente elettrica, che in regime balistico utilizza come canali di conduzione i livelli di Landau stessi. Da questo deriva la quantizzazione della conduttanza, che viene misurata in multipli discreti di e2<sub>/h e la cui entit`a dipende dal</sub>

numero di livelli occupati. Le difficolt`a principali nell’osservare l’effetto Hall derivano dal disordine e dalle impurezze presenti nel cristallo che ospita il gas bidimensionale. Queste allargano i livelli di Landau rendendo meno evidente la quantizzazione della conduttanza e diminuiscono il cammino libero medio delle particelle. Per poter osservare l’effetto Hall, inoltre, `e necessario che l’energia termica sia pi`u piccola della separazione dei livelli, che `e proporzionale all’intensit`a del campo magnetico. Nei gas bidimensionali di elettroni che si ottengono attualmente in pozzi quantici costruiti con eterostrutture di Arseniuro di Gallio e Arseniuro di Gallio e Alluminio il disordine `e molto basso, e a temperatura di Elio liquido l’effetto Hall `e chiaramente osservabile. L’effetto Hall nel grafene

L’osservazione dell’effetto Hall nel grafene da parte di Novoselov al. [39] ha consentito di confermare la validit`a del modello MDF. In questo esperimento si `e registrata una quantizzazioni semi-intera della conduttanza (vedi Fig. 2.5) tipica di particelle che obbediscono all’equazione di Dirac [51]. In prima quantizzazione l’equazione agli autovalori che discende dalla Hamiltoniana (2.25) `e la seguente:

H(ˆk)Ψk = EΨk, (2.31)

In presenza di un campo B, introducendo nella Hamiltoniana (2.31) l’accoppiamento minimale con un potenziale vettore ˆA = (0, ˆxB, 0) si ottiene l’equazione per i livelli di Landau:

H(ˆk, ˆr)Ψk= ~vγ0γ · ˆk +

e c ˆ

I livelli energetici si trovano applicando a sinistra ancora l’operatore H(ˆk, ˆr) e ricordando le regole di commu- tazione tra vettore d’onda e coordinate: [ˆki, ˆrj] = −iδij. Ricaviamo:

H2(ˆk, ˆ_{r) = ~}2v2 " ˆ k2+ eB ~c 2 (ˆx − ˆx0)2+ eB ~c γzγ0 # , xˆ0= ~ ˆ kyc eB . (2.33)

Nei primi due termini della (2.33) si riconosce l’Hamiltoniana di un oscillatore armonico, i cui autovalori sono noti [~2_v2

(2l + 1) eB/~c]; considerando inoltre che: γzγ0=  τz 0 0 −τz  , (2.34) `

e chiaro come il terzo termine nell’equazione (2.33) rimuova la degenerazione nello pseudo-spin, costituendo una separazione di Zeeman intrinseca per l’elettrone relativistico; i suoi autovalori sono τ ~2_v2

eB/(~c) [τ = ±1]. Otteniamo come livelli energetici:

E_l,τ(±)_{= ±~v} eB ~c

(2l + 1 + τ ) 12

; (2.35)

ognuno di questi ha una degenerazione NL= gΦ/2Φ0, dove Φ0= hc/e `e il quanto di flusso magnetico elementare,

mentre g = gsgv= 4 `e il fattore di degenerazione di spin e di valley.

Se definiamo la lunghezza magnetica λm = 2π

p

~c/(eB) e il vettore d’onda magnetico km = peB/(~c),

possiamo scrivere l’energia caratteristica dell’effetto Hall relativistico come ~kmv. Questa pu`o essere confrontata

con l’energia per un elettrone con dispersione parabolica, ~2_k2

m/2m, e con quella per una particella relativistica

non massiva, ~kmc. Per un campo magnetico di 10 Tesla, quest’ultima quantit`a vale

p

2µmBmc2≈ 20 eV; la

scala di energia del nostro problema `e v/c volte pi`u piccola (≈ 60 meV). Il livello di Landau di elettroni massivi ha invece energia di circa ≈ 0.5 meV; nel GaAs questo numero `e moltiplicato per 16, a causa della minore massa di banda dell’elettrone, ma per osservare l’effetto Hall quantistico `e comunque necessario abbassare la temperatura fino all’ordine del grado Kelvin (≈ 0.1 meV).

I livelli a energia positiva indicati dall’espressione (2.35) sono i livelli di Landau di elettroni sulla banda superiore del cono di Dirac. Quelli a energia negativa si riferiscono invece alla banda inferiore. Ricordando quanto detto a proposito della simmetria per coniugazione di carica, che non viene rotta introducendo un campo magnetico, possiamo affermare che i livelli di Landau a energia negativa sono del tutto equivalenti a livelli di buche a energia positiva, e precisamente uguale a:

E_l,τh _{= ~v} eB

c (2l + 1 ∓ τ ) 12

. (2.36)

Non essendovi nello spazio delle fasi numeri quantici che possano distinguere tra elettroni e buche, la degene- razione NL `e condivisa da entrambi. L’equazione (2.35) mostra come vi sia una ulteriore degenerazione, che

interessa tutti i livelli tranne quello a energia pi`u bassa. Precisamente partendo da un livello con l > 0, aumen- tando l di 1 e invertendo lo pseudo-spin, si ottiene un livello ad esso degenere; una considerazione simile si pu`o fare per l < 0. Possiamo allora affermare che ogni livello di Landau `e degenere 2NL volte, di cui NL posti sono

occupati da elettroni, e i rimanenti NL da buche. Il livello a energia zero `e invece occupato da NL/2 elettroni

e NL/2 buche.

Questa osservazione `e importante per capire i risultati degli esperimenti di Novoselov et al. [39]. Se si introduce una differenza di potenziale ∆V tra i due estremi di un singolo strato, questo viene percorso da una corrente che utilizza i livelli di Landau come canali di conduzione. Variando la posizione del livello di Fermi attraverso un potenziale esterno di gate Vg che generi un campo elettrico nella direzione perpendicolare

allo strato, `e possibile riempire i canali di conduzione soltanto con elettroni Vg < 0, o con buche Vg > 0. Il

potenziale di gate ha lo stesso effetto di un drogaggio dello strato, ma consente controllare meglio la posizione del livello di Fermi rispetto al punto di Dirac.

La conduttanza trasversale del grafene in campo magnetico `e risultata essere quantizzata con multipli semi- interi di 4e2/h, perch`e il livello di Landau di energia nulla, a causa della sua degenerazione, contribuisce alla conduzione con un numero di elettroni che `e la met`a di tutti gli altri livelli.

Materiale Mob. elettroni Mob. buche GaAs 8000 320 GaP 110 70 InP 5600 150 Si 1360 460 Ge 3900 1900

Tabella 2.1: Mobilit`a a temperatura ambiente per vari semiconduttori, misurate in cm2/(Vs); adattato da una presentazione di E.F. Schubert (Rensselaer Polytechnic Institute, 2003). Il grafene ha mostrato una mobilit`a di entrambi i tipi di portatore di carica a temperatura ambiente dell’ordine di 1.5 × 104_cm2_/(Vs).

Figura 2.5: A sinistra: conduttanza longitudinale e quantizzazione della conduttanza trasversale nell’effetto Hall quantistico di elettroni e buche per un singolo strato di grafene con un campo magnetico di 14 T e una temperatura di 4 K. A destra `e mostrato l’andamento ∝ ±√l, con l = 0, 1, . . . dell’energia dei livelli di Landau. Adattato dalla referenza [4].

L’esperimento di Novoselov et al. [39] ha provato chiaramente il comportamento relativistico degli elettroni nel grafene, e la facilit`a con cui `e possibile, in questo cristallo, passare da un tipo all’altro di portatori di carica. Lo pseudo-spin si accoppia al campo magnetico proprio come un vero spin, con un fattore giromagnetico esattamente uguale a quello dell’elettrone relativistico. Lo stesso esperimento ha confermato l’alta qualit`a del cristallo bidimensionale, trovando mobilit`a sufficienti a rendere possibile l’osservazione dell’effetto Hall quantistico, anche a temperatura ambiente [3].