Durante il nostro lavoro `e venuta fuori una difficolt`a nel termalizzare il sis- tema in presenza di disordine, in particolare all’aumentare delle dimensioni del reticolo, per questo abbiamo deciso di ricorrere al metodo del parallel tem- pering, noto anche come replica exchange. L’idea di fondo `e di far evolvere simultaneamente un certo numero di repliche a temperature diverse tra loro, secondo una scala ordinata dalla temperatura maggiore alla minore, e di con- sentire una possibilit`a di scambio tra le configurazioni relative a temperature adiacenti tra loro. Cos`ı facendo `e possibile introdurre le fluttuazioni carat- teristiche di temperature maggiori in sistemi a temperatura minore, questo `
e molto utile in particolare nel caso in cui il potenziale presenti una barri- era, come in figura A.1, cosa che si presenta spesso in sistemi di spin glass. Il rischi infatti `e che una barriera di questo tipo possa essere superata solo dopo un tempo eccessivamente lungo nel caso in cui il sistema sia a bassa temperatura. Inserendo la possibilit`a di scambiare configurazione con altri a temperatura maggiore il sistema riuscir`a invece ad esplorare molto pi`u velo- cemente lo spazio delle configurazioni permesse. Nell’algoritmo Monte Carlo vanno quindi introdotti degli step nei quali due sistemi a temperature adia- centi possono scambiare configurazione, con una probabilit`a di accettazione data da
Aij = min{1, exp[(βi− βj)(Ei− Ej)]}. (A.12)
dove j = i + 1.
La scelta delle temperature va fatta seguendo alcuni criteri, la temper- atura minore Tmin deve essere la minima temperatura alla quale ci interessa
osservare il sistema ed `e quella della quale dobbiamo controllare la termal- izzazione, in quanto il tempo necessario perch`e il sistema vada all’equilibrio sar`a maggiore in questo caso. Le altre temperature vanno scelte in maniera da ottimizzare i tempi di termalizzazione, una scala troppo fitta favorir`a il propagarsi delle fluttuazioni, ma per contro necessiter`a di troppo tempo per far evolvere tutti i sistemi, si tratta quindi di individuare il compromesso migliore tenendo conto di questi due aspetti contrastanti, si pu`o dimostrare
Figura A.1:
Schematizzazione di un potenziale per il quale `e utile il parallel tempering in quanto presenta delle barrirere.
che la scelta pi`u efficiente `e data dal prendere la media delle accettanze Aij dell’ordine del 20%. Nel nostro lavoro abbiamo verificato a posteriori
questi valori, stampando nel file dei dati in uscita anche i valori delle sin- gole accettanze. Infine la scelta delle temperature `e stata fatta in modo da comprenderne almeno un paio relative alla fase disordinata ad alta temper- atura, in maniera da avere maggior certezza di includere le fluttuazioni utili a termalizzare il sistema.
Appendice B
Analisi dell’errore
Una volta ottenuti i dati dalle simulazioni saremmo tentati di analizzarli at- traverso le regole classiche, prendendo il valore medio e stimando l’errore attraverso il calcolo della deviazione standard, questo per`o non `e possi- bile in quanto i dati ricavati non sono indipendenti tra loro, cerchiamo di comprendere in che maniera questa correlazione influisca sull’errore.
Poich`e le misure sono state fatte su un sistema in evoluzione secondo una catena di Markov, e quindi in presenza di una dipendenza tra uno stato e il suo successivo, `e possibile definire una funzione di autocorrelazione temporale di una data osservabile,
C(k) ≡ hOnOn+ki − hOni2, (B.1)
dove il tempo `e espresso in termini del tempo intercorso tra una misura e la successiva. Se questa funzione ha un decadimento esponenziale,
C(t) ∼ e−t/τA (B.2) `e possibile integrarla, Z ∞ 0 dtC(t) = Z ∞ 0 dtC(0)e−t/τA = τ AC(0) (B.3)
e quindi `e naturale definire il tempo di autocorrelazione τA= 1 C(0) Z ∞ 0 dtC(t) = P∞ k=0hOnOn+ki − hOni2 hO2 ni − hOni2 . (B.4) Questo `e il tempo caratteristico con il quale le misure presentano correlazione tra di loro, ed `e possibile dimostrare che questo `e legato alla stima dell’errore, δo, della relazione δo= h 2τA hO2ni − hOni2 i 1 2 . (B.5)
B.1
Jacknife
In realt`a per`o all’atto pratico `e poco conveniente cercare di misurare diret- tamente τA, il fatto stesso per`o che esista questo tempo tipico di autocorre-
lazione suggerisce un metodo per avere una stima dell’errore, l’idea `e quella di raggruppare i dati in sottogruppi ordinati, ognuno di dimensione b, e calcolare la media su ogni blocco
µo,i= 1 b b(i+1) X r=bi+1 Or (B.6)
se b `e sufficientemente grande, cio`e b τA, `e ragionevole ipotizzare che le
medie {µo,i} siano scorrelate tra loro, e quindi possano essere analizzate in
maniera semplice, definito a come il rapporto tra il numero totale delle misure e la dimensione di ogni blocco, a ≡ N/b, abbiamo infatti
hOi = µo= 1 a a−1 X i=0 µo,i (B.7) e δo = 1 a(a − 1)σ 2(µ o,i) 1/2 (B.8) dove σ2(µo,i) `e la varianza delle medie sui blocchi.
In questo lavoro `e stata utilizzata un’evoluzione di questo metodo, il jackknif e, i dati sono sempre suddivisi in blocchi ma questa volta ad es- sere analizzate non sono pi`u le medie sui blocchi ma le medie su tutto il campione togliendo di volta in volta un blocco,
¯ µo,i = 1 b − 1 X r6=i µo,r, (B.9)
e l’errore in questo caso `e stimato da δo = a − 1 a a−1 X i=0 (µo,i− µo)2 1/2 . (B.10) Nel limite di τA/b → 0 si pu`o dimostrare che l’errore non dipende dalla scelta
della dimensione del blocco, ma tende ad una costante, come si vede dalla figura B.1, e quindi la scelta del parametro b pu`o essere controllata verificando la convergenza di δo.
Figura B.1: Andamento tipico dell’estimatore dell’errore attraverso il jack- knife in funzione della scelta del parametro b relativo alla dimensione dei blocchi. In questo caso una scelta corretta `e data da b & 200.
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