Parte 3: Previsione

Anche in questo caso tutti i parametri risultano essere ampiamente significativi e il rendimento giornaliero atteso risulta essere abbastanza simile al valore trovati nel modello GARCH(1,1) visto precedentemente. Tutti i test di Ljung-Box svolti sia sui residui standardizzati sia sui residui standardizzati al quadrato accettano l’ipotesi nulla di assenza di correlazione seriale, confermando l’adeguatezza anche di questo modello.

Per questo modello è interessante valutare l’ampiezza della risposta asimmetrica a shock positivi e negativi, ovvero il modo attraverso cui è modellato il fenomeno dell’effetto leva, analizzato nel capitolo 1 e 3. Per farlo, scriviamo la formula del modello appena ottenuto per la varianza condizionata, combinando le formule (3.14) e (3.15) e inserendo i valori appena ottenuti:

ln 𝜎_AK = −0.4872 − 0.2035 𝑧_A+- + 0.1332𝑧_A+- + 0.9490ln (𝜎_A+-K ) da cui si ha:

𝜎_AK = 𝜎_A+-^K×N,§¨§N𝑒+N,¨©ªK× ^{𝑒+N,KmN«•¬-t 𝑠𝑒 𝑧A+-≥ 0} 𝑒,N,-ª«¨•_¬-t 𝑠𝑒 𝑧_A+-< 0

Questa equazione evidenzia la risposta asimmetrica a diversi tipi di shock. Considerando |𝑧_A+-| = 2, ad esempio, si avrà quanto segue:

𝜎_AK(𝑧_A+-= −2) 𝜎_AK(𝑧_A+- = 2) ⁼

exp (0,1764× −2 )

exp (−0,2306×2) ^{= 𝑒N,-N©¨ = 1,1145}

Quindi, l’impatto di uno shock negativo sulla volatilità condizionata con una dimensione di due volte la deviazione standard risulta essere più ampio del 11,45% rispetto ad uno shock positivo delle stesse dimensioni in valore assoluto.

4.2.3 Parte 3: Previsione

Per calcolare le previsioni dei modelli su media e varianza condizionata abbiamo scelto arbitrariamente un intervallo di 20 giorni, equivalenti ai 20 rendimenti giornalieri successivi alla data di chiusura della serie analizzata, ovvero il 26 giugno 2017. Per verificare l’accuratezza di queste previsioni abbiamo quindi allungato la serie considerata fino al 26 luglio 2017, in modo da includere esattamente altri 20 valori.

Per svolgere le previsioni abbiamo utilizzato la funzione predict() a partire dai modelli precedentemente specificati. Utilizzando gli stessi parametri calcolati precedentemente,

47 quindi, si immaginerà di spostare la serie e il rispettivo processo fino ad arrivare a calcolare 𝜎_A,KNK .

Come già accennato, il paragone tra le diverse previsioni dei modelli sarà effettuato confrontando i risultati delle previsioni con i valori della media e della varianza condizionata calcolati utilizzando gli stessi modelli, ma applicati alla serie finanziaria fino al 26 luglio. Per confrontare i modelli tra loro calcoleremo e confronteremo l’errore quadratico medio di previsione, ovvero la media tra le differenze al quadrato dei valori osservati coi valori previsti. Applicando questo semplice metodo, quindi, saremo portati a preferire il modello che minimizza tale valore

Figura 11: Andamento delle differenze tra valori osservati e valori previsti per la media condizionata e per la

48 I grafici appena presentati mostrano l’andamento degli errori di previsione di ogni modello sia per la media sia per la varianza rispetto al valore atteso di 0. In generale si può notare come gli andamenti per tutti e tre i modelli siano abbastanza simili. Sia per la media sia per la varianza condizionata in tutti i grafici si può notare come gli errori tendano ad essere positivi prima del lag 11 mentre, tendenzialmente, questi sono negativi dal lag 11 al lag 20. Queste similitudini fanno si che ci si aspetti leggere differenze nei valori dell’errore quadratico medio tra i modelli. Di seguito riportiamo i valori calcolati dei diversi errori quadratici medi:

Modello ^{Errore quadratico medio –}

media condizionata

Errore quadratico medio – varianza condizionata

ARMA-ARCH 4.915568×10+© 3.162184×10+«

ARMA-GARCH 6.041553×10+© 2.042481×10+«

ARMA-EGARCH 9.81085×10+© 1.742563×10+«

Per quanto riguarda la media condizionata il modello migliore risulta essere il primo analizzato, ovvero ARMA-ARCH. La varianza dell’errore del termine di previsione risulta essere vicina a quella del modello ARMA-GARCH ma quasi la metà di quella osservata col modello ARMA-EGARCH, pur considerando che si parla di ordini di grandezza abbastanza ridotti.

Per quanto riguarda invece la varianza condizionata, il modello che sembra aver avuto risultati di previsione migliori è il modello EGARCH.

In conclusione, quindi, questo paragrafo ha cercato di raggiungere lo scopo di presentare un semplice modo di analisi e confronto dei modelli visti nel terzo capitolo in una serie reale. Ulteriori approfondimenti e considerazioni che potrebbero allargare le considerazioni già fatte in questo capitolo potrebbero considerare distribuzioni differenti per quanto riguarda il termine zt, confrontare e analizzare anche i risultati di altri modelli già descritti quali GARCH-M e SV o utilizzare metodi diversi di verifica dell’accuratezza delle previsioni. Per quanto riguarda il primo elemento, infatti, si è notato come la serie qui considerata è caratterizzata da una leggera asimmetria verso destra: è da considerare quindi la possibilità che utilizzando una distribuzione di zt asimmetrica si sarebbe potuto arrivare ad ottenere un modello ARCH o GARCH capace di descrivere meglio la serie. Per quanto riguarda invece

49 l’utilizzo di altri metodi di verifica dell’accuratezza delle previsioni, è necessario notare come quello utilizzato sia quello più immediato e intuitivo ma non l’unico disponibile: eventuali analisi più dettagliate possono includere diversi tipi di analisi sulle previsioni con le relative considerazione che ne conseguono.

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Conclusioni

In questo lavoro si sono presi in considerazione diversi aspetti relativi alle serie storiche finanziarie. Innanzitutto, abbiamo analizzato le principali caratteristiche e i principali fatti stilizzati delle serie finanziarie, dei rendimenti e della volatilità, rivedendo i principali studi che nel tempo hanno permesso di determinarli. Successivamente abbiamo svolto un’analisi più economica, rivedendo le principali teorie che descrivono l’andamento dei prezzi e dei rendimenti nei mercati finanziari, per poi arrivare ad un’analisi più tecnica dei principali modelli per prevedere le serie finanziarie, sia dal punto di vista teorico sia dal punto di vista pratico/applicativo.

È risultato chiaro fin da subito come gli studi sulle caratteristiche delle serie finanziarie guidino il successivo sviluppo di nuovi modelli per descriverle e prevederle. Non c’è da stupirsi, quindi, vedendo il proliferare di diversi modelli man mano che la disponibilità di studi e analisi su queste serie è cresciuta.

Dopo aver ben analizzato ognuno di questi temi la domanda più spontanea da porsi è: fino a che punto e in che misura è possibile prevedere l’andamento di una serie finanziaria? Certamente, come già mostrato in questo lavoro, i modelli analizzati riescono a dare stime abbastanza precise dell’andamento di diverse serie finanziarie; d’altra parte, non è stato possibile presentare un modello chiaramente migliore rispetto agli altri. Infatti, sia nella applicazione reale svolta, sia analizzando gli studi empirici presenti nella letteratura, sono stati presentati risultati spesso discordanti in base a diverse variabili considerate: ad esempio, alcuni modelli tendono ad avere previsioni migliori in determinati intervalli di tempo o a determinate frequenze, senza escludere l’effetto dell’ampiezza dell’orizzonte previsionale o delle variabili e metodi utilizzati per calcolare l’errore della previsione.

È necessario considerare, come sottolineano Poon e Granger (2003), che molti tra gli studi riportati sono svolti per ragioni differenti, utilizzando diversi insiemi di dati provenienti da titoli spesso molto diversi e con vari intervalli di tempo e tecniche di valutazione, rendendo difficile avere una stima sui costi e benefici di utilizzare un modello rispetto ad un altro.

52 Si può considerare quindi la volatilità dei mercati finanziari come prevedibile, lasciando invece aperto un importante dibattito su fino a che orizzonte temporale questa sia prevedibile e che modello o combinazione di modello sia più adatto ad una determinata serie e intervallo temporale. Questa considerazione, però, come sottolineato da Timmermann e Granger (2004), non necessariamente viola l’ipotesi dei mercati efficienti in quanto la difficoltà nella scelta del miglior modello previsionale implica una certa incertezza nelle previsioni. Non esiste, infatti, un metodo unico ed universale attraverso cui avere previsioni precise delle serie finanziarie ma, al massimo, è possibile sfruttare un certo modello che sembra funzionare in un determinato titolo e per un periodo limitato di tempo, fino a che tale meccanismo è scoperto e utilizzato da un ampio numero di investitori.

Viste le considerazioni fatte, quindi, il tema dei modelli per prevedere le serie finanziarie rimane ancora aperto a futuri sviluppi, soprattutto per quanto riguarda i metodi di valutazione delle previsioni e l’effetto che hanno determinate variabili tipiche della serie considerata sui risultati dei modelli considerati. Ad ogni modo, vista l’importanza della stima della volatilità e le questioni importanti e complesse che ne stanno alla base, questo ambito di studi rimarrà sicuramente oggetto di studi sempre più dettagliati e accurati.

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