Perturbazioni scalari

Come si vede dalle equazioni precedenti, si ha che se i 6= j allora δTi

j = 0. Im-

ponendo questa condizione nella (3.48) abbiamo che questa si riduce alla seguente equazione:

(Φ − Ψ),ij = 0 (i 6= j), (3.51)

dalla quale concludiamo che deve essere Φ = Ψ. Facendo ora questa sostituzione nelle (3.46)-(3.48) si ottiene:

∆Ψ − 3H(Φ0+ HΦ) = 4πGa2δ (3.52) (aΦ)0_,i= 4πGa2(0+ p0)δu|| i (3.53)

Φ00+ 3HΦ0+ (2H0 + H2)Φ = 4πGa2δp. (3.54) Analizziamo un attimo la prima equazione. In un universo non in espenasione si ha che H = 0, e imponendo nella prima di queste equazioni (la (3.52)) tale condizione abbiamo che questa coincide con l’equazione di Poisson per il potenziale gravitrazionale. Inoltre, anche in un universo in espansione, abbiamo che il secondo e il terzo termine a sinistra dell’equazione possono essere trascurati. Possiamo allora dire che l’equazione (3.52) è una generalzzazione dell’equazione di Poisson, e dunque si può pensare che Φ sia la generalizzazione del potenziale gravitazionale Newtoniano.

Come fatto in precedenza, scriviamo la perturbazione gauge-invariante della pressione come:

δp = c2_sδ + τ δS. (3.55) Inserendo ora questa relazione nella (3.54) e usando la (3.52) per esprimere il termine πGa2_{δ, si ottiene la seguente equazione:}

Φ00+ 3(1 + c2 s)HΦ 0_{− c}2 s∆Φ + (2H 0_{+ (1 + 3c}2 s)H2) Φ = 4πGa2τ δS. (3.56)

Vediamo la soluzioni della (2.56) in un caso particolare nel quale la soluzione risulta particolarmente semplice:

• fluido cosmico non relativistico, materia con equazione di stato p = 0. Studiamo allora il caso di materia non relativistica.

In un universo piatto in cui si ha predominanza di materia si ha che il raggio in curvatura è proporzionale al quadrato del tempo conforme, in simboli a ∝ η2. Ricordiamo infatti che con predominanza di materia si ha a ∝ t23, da cui è facile

(ricordando la relazione η = R dt_a) vedere che η ∝ t13. Da quest’ultima relazione

segue subito la relazione cercata. Inoltre ricordando che abbiamo posto H = a_a0, abbiamo anche che H = 2_η. Vediamo ora che forma assume la (3.56). Ponendo H = 2

η nella (3.54) questa diventa:

Φ00+ 6 η +  − 4 η2 + 4 η2  Φ = Φ00+ 6 η = 4πGa 2 c2_sδ + 4πGa2τ δS.

Ma poichè stiamo considerando materia non relativistica, per cui si ha p = 0, abbiamo che:

c2_s = ∂p ∂  S = 0 τ =  ∂p ∂S   = 0. Otteniamo dunque che indefinitiva l’equazione (3.54) diventa:

Φ00+ 6 ηΦ

0

= 0. (3.57) Una soluzione ovvia di questa equazione è allora:

Φ = C1(x) +

C2(x)

η5 . (3.58)

Consideriamo ora l’equazione (3.52) dalla quale possiamo ora derivare un’espres- sione per la perturbazione della densità di energia gauge invariante δ. Sostiuiamo nella (3.52) la (3.58) e la relazione H = 2_η, si ottiene allora:

∆C1+ ∆C2(x) η5 − 6 η  −5C2(x) η6 + 2 ηC1 + 2 C2(x) η6  = ∆C1+ ∆C2(x) η5 − −6 η  −3C2(x) η6 + 2 ηC1  = 4πGa2c2_sδ, svolgendo il prodotto e ricordando anche a ∝ η2, abbiamo che:

 ∆C1− 12 η2 C1  + ∆C2(x) η5 + 18 C2(x) η7  = 4πGa2δ = 4πGη4δ.

L’equazione di Friedmann per un universo piatto (λ = 0) si può scrivere usando la relazione H = a_a0, come 3H_a22 = 8πH0. Da questa è facile ottenere un’espressione

per 0 tenendo a mente che H = 2_η. Si ottiene che: 0 = _2πGη3 6. Moltiplicando

l’ultima equazione a destra per 2πGη₃ 6 e a sinistra per _1

0 otteniamo che: η2 6  ∆C1− 12 η C1  + ∆C2(x) η5 + 18 C2(x) η7  = δ 0 , dalla quale immediatamente otteniamo la relazione cercata:

δ 0 = 1 6  (∆C1η2− 12C1) + (∆C2η2+ 18C2) 1 η5  . (3.59) Notiamo da questa equazione che c’è un solo modo non decrescente, C1. Come

sempre il comportamento delle perturbazioni dipende in modo cruciale dalla scala della perturbazione. Per facilitare i conti consideriamo una perturbazine con la struttura di onda piana e con numero d’onda comovente k: C1,2 = exp (ik · x).

Cominciamo a studiare il caso: kη  1. Innanazi tutto notiamo che questa condizione equivale a chiedere che la scala fisica λph ∼ a/k sia più grande del

raggio di Hubble H−1 ∼ aη, cioè λph ∼ a/k  H−1 ∼ aη. Poichè abbiamo kη  1

la (3.59) all’ordine principale diventa: δ 0

' −2C1+ 3C2

1

η5, (3.60)

da questa ultima equazione, trascurando il termine ∝ _η15 che va a zero, possiamo

scrivere che:

δ 0

' −2Φ. (3.61) Consideriamo ora il caso di perturbazine con piccola lunghezza d’onda: kη  1. In questo caso è facile vedere che, ricordando la forma ipotizzata della perturbazione, la (3.59) all’ordine principale diventa:

δ 0 ' −k 2 6 (C1η 2_{+ C} 2η−3) = ˜C1t2/3+ ˜C2t−1, (3.62)

come ci si poteva aspettare nelle ipotesi che la perturbazione abbia una piccola lunghezza d’onda e la materia sia non relativistica si riottiene un risultato in perfetto accordo con la teoria Newtoniana (si veda la (2.49)).

Concludiamo esaminando le perturbazioni vettoriali che possono essere stu- diate con facilità. Infatti è facile vedere le leggi di smorzamento di tali tipi di perturbazioni senza fare calcoli dettagliati, ma sfruttando invece delle semplici considerazioni fisiche.

Prendiamo una piccola regione piena di materia con dimensione lineare l. Se in tale regione ha luogo una perturbazione vettoriale con velocità δv, abbiamo allora che il momento angolare di questa regione sarà ∼ _c2 l3·l ·v ≈ m l v. Ricordando ora

che in un universo il espansione si ha che l cresce proporzionalmente ad a, mentre  ∝ a−3 (nel caso in cui p=0). Allora, in virtù della conservazione del momento angolare si ha:

δv ∼ 1

a (p = 0). (3.63) Si può studiare in questo modo anche il comportamento delle perturbazioni vet- toriali nel caso di materia altamente relativistica, con equazione di stato p = ₃. In questo caso si ha allora a−4, e allora, sempre per la conservazione del momento angolare si ha

δv = costante (p = 

Capitolo 4

Conclusioni

In questo capitolo conclusivo riassumiamo quanto fatto e cerchiamo di fare il punto su quanto esposto. Nel primo capitolo abbiamo esposto le caratteristiche generali del modello cosmologico omogeneo e isotropo. In particolare imponendo le sim- metrie di omogeneità e isotropia dello spazio abbiamo determinato, a meno di una costante, la metrica di questa tipologia di spazi. Tale costante è chiamata costante di curvatura. Inoltre abbiamo determinato l’equazione di Friedmann, che descrive proprio la costante di curvatura di questo tipo di spazi e come questa evolva nel tempo. Ci siamo quindi soffermati con maggiore attenzione sul modello isotropo chiuso, caratterizzato dal’avere costante di curvatura λ positiva. Dopodiché dal- l’equazione di continuità, ipotizzando diverse equazioni di stato per la materia, abbiamo ricavato le ralazioni di proporzionalità tra la densità di energia  è il rag- gio di curvatura a. Infine abbiamo trovato, sfruttando l’equazione di Fredmann e le precedenti relazioni, l’andamento del raggio di curvatura a col tempo per diverse composizioni del fluido cosmico.

Nel capitolo successivo, dopo aver studiato il background per le perturbazioni, si svolge lo studio dell’instabilità gravitazionale nel caso di una teoria Newtoniana. Abbiamo quindi cominciato introducendo le equazioni fondamentali per descrivere un fluido (non relativistico), dalle quali abbiamo estratto le equazioni per le per- turbazioni della distribuzione di massa. Le equazioni imperturbate usate sono le equazioni di Eulero (non relativistica), l’equazione di continuità, la conservazione dell’entropia e l’equazione di Poisson per determinare il potenziale gravitazionale. Dopodiché abbiamo ricavato le equazioni che descrivono le perturbazioni dei campi che caratterizzano il fluido, φ, S, , V, in approssimazione lineare ipotizzando un universo non in espanzione (teoria di Jeans). Abbiamo dunque ipotizzato che la densità di energia  fosse una costante e, ipotizzando delle perturbazioni lineari in φ, S, , V e inserendo tali espressioni nelle equazioni che descrivono il fluido, abbiamo ottenuto (tenendo solamente i termini lineari nelle perturbazioni) delle equazioni lineari che descrivono appunto le perturbazioni al fluido in approssima-

zione lineare. Queste equazioni sono poi state riarrangiate in una equazione per la perturbazione della distribuzione di massa (la (2.11)) che è stata risolta distin- guendo varie tipologie di perturbazioni. La soluzione più significativa è quelle che descrive un crescita esponenziale dell’ampiezza di una perturbazione adiabatica, la (2.37). Dopo di ciò abbiamo ripetuto dei calcoli analoghi per una situazione fisicamente più significativa, considerando cioè che l’universo sia in espansione. Utilizzando l’universo di Friedmann come background abbiamo quindi ipotizzato ora che la densià di energia  variasse solo col tempo e che le le velocità di back- gound seguissero la legge di Hubble. In modo analogo a prima, anche se tecnica- mente più complesso, abbiamo ottenuto un’equazione che descrive le perturbazioni lineari nella distribuzione di massa. In questo caso la soluzione non decrescente che può portare alla formazione di strutture anistrope va come una potenza del tempo e non come un esponenziale, si veda la (2.40). Infine abbiamo considerato soluzioni che potessero essere valide anche oltre l’approssimazione lineare e che potessero quindi descrivere in modo più accurato l’evoluzione di una perturbazio- ne con ampiezza crescente. Per questo scopo abbiamo presentato la soluzione di Zel’dovich, la quale suggerisce la classificazione delle tipologie di strutture che si possono formare dai collassi dovuti a perturbazioni crescenti nel tempo: strutture tre, due e uno-dimensionali a seconda della relazione tra gli autovalori del tensore degli sforzi (2.80).

Infine nel terzo capitolo abbiamo studiato la teoria per le perturbazioni lineari in Relatività Generale. Lo studio dell’instabilità gravitazionale, in questo caso ci siamo limitati solo alle perturbazioni lineari, si complica notevolmente nell’ambito della Relatività Generale. In particolare è noto che a causa della libertà di scel- ta delle coordinate è possibile vedere dei fenomeni che sono in realtà legati alle coordinate e non sono "fisici". Per ovviare a questo problema abbiamo studia- to sia le perturbazioni della metrica che le perturbazioni della sorgente di campo gravitazionale e introdotto delle variabili gauge invarianti (la libertà di gauge è in Relatività Generale dovuta alla possibilità di effettuare qualunque trasformazio- ne di coordinate). Inizialmente abbiamo allora classificato le perturbazioni della metrica in base alle proprietà di simmetria. Abbiamo poi trovato la forma della trasformazioni di gauge sulle perturbazioni del tensore metrico e costruito le va- riabili gauge invarianti per ogni tipologia di perturbazione. Dopodiché abbiamo linearizzato le equazioni di Einstein scrivendo le espansioni perturbative del ten- sore di Einstein e del tensore energia-impulso e tenendo solo i termini lineari nelle perturbazioni metriche. Dopo di ciò abbiamo riscritto le equazioni di Einstein linearizzate attraverso le variabili gauge invarianti. Infine abbiamo ricavato un’e- quazione per le perturbazioni scalari della metrica e l’abbiamo risolta per un caso significativo, cioè quello con materia non relativistica. In definitiva notiamo che l’analisi dell’instabilità gravitazionale in Relatività Generale è ben più complessa

e i risultati sono di più difficile interpretazione.

Inoltre sarebbe interessante completare i risultati del presente lavoro con uno studio accurato della teoria dell’inflazionaria. Nell’ambito della cosmologia quan- tistica si riesce infatti a predirre uno spettro per le disomogeneirà iniziali nella distribuzione di massa, che nel presente lavoro è stato preso come dato, che può essere fatto allora evolvere con la teoria esposta e che quindi potrebbe dare una conferma della validità dell’ipotesi inflattiva.

Bibliografia

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