portafogli con pi `u titoli

4.5

portafogli con pi `u titoli

Un portafoglio costituito da due soli titoli permette di comprendere facilmente i risultati ottenibili e le implicazioni che il fattore di rischio comporta sui quantili. Tuttavia un portafoglio di due soli titoli non pu `o certo considerarsi diversificato. In questa sezione vengono simulati i dati dei dieci titoli a varianza maggiore del- l’indice Dow Jones per il periodo che va dal primo gennaio 2008 al 31 dicembre 2011. I titoli considerati sono caratterizzati da coefficienti beta negativo quantile particolarmente elevati, inoltre nella tabella 4.12 si pu `o osservare come i valori possono essere anche molto diversi a seconda del quantile considerato.

Tabella 4.12: tabella dei coefficienti beta quantile dei singoli titoli Beta 01 Beta 05 Beta 10

Titolo 1 1.33 1.32 1.31 Titolo 2 1.19 1.17 1.10 Titolo 3 1.62 1.45 1.37 Titolo 4 1.94 1.72 1.51 Titolo 5 1.43 1.42 1.39 Titolo 6 1.71 1.68 1.54 Titolo 7 2.34 2.31 2.15 Titolo 8 2.76 2.28 2.21 Titolo 9 3.17 2.44 2.43 Titolo 10 4.72 4.52 2.91

Utilizzando pi `u di due titoli non `e pi `u possibile adottare la metodologia usata in precedenza. I pesi dei portafogli ottimi non si trovano pi `u in un intervallo lineare ma in uno spazio di nove dimensioni, dato che il peso del decimo titolo `e ottenuto per differenza tra uno e la somma dei primi nove. Non `e quindi pi `u possibile rappresentare graficamente le curve dei quantili al variare dei pesi , ne `e pi `u possibile, data l’elevata numerosit`a, calcolare i coefficienti di tutti i portafogli possibili.

Di conseguenza invece che calcolare gli alpha e i beta e poi stimare i quan- tili condizionati tramite i coefficienti ricavati si `e proceduto in maniera inversa individuando solo i portafogli ottimi nelle varie situazioni di mercato.

Nella sezione precedente si `e visto come `e possibile individuare un intervallo di pesi all’interno del quale si trovano i portafogli che massimizzano i quantili al variare del fattore di rischio.

Gli estremi di questo intervallo sono individuati dai pesi dei portafogli che massimizzano i quantili per un valore di mercato nullo (e quindi i portafogli che massimizzano gli alpha), e dai pesi dei portafogli che massimizzano i quantili in una situazione di mercato estremamente negativa (e quindi minimizzano i beta negativi).

I portafogli che massimizzano i quantili per i valori di mercato compresi in questo intervallo generano le coppie di alpha e beta quantile intermedie. Con i pesi ricavati sono stati costruiti i portafogli non condizionati e su questi infine sono stati ricavati i coefficienti di regressione quantile. La caratteristica di questi portafogli `e che non esistono altri portafogli possibili che possiedono sia beta negativo quantile inferiore, che alpha quantile superiore. Ottenute le coppie di coefficienti `e possibile confrontarle con i coefficienti del portafoglio di minima varianza.

I portafogli sono stati calcolati sia a partire dai dati simulati con errori normali e identicamente distribuiti, sia tramite le informazioni ottenute dalla regressione quantile. Mentre nel caso di normalit`a `e ininfluente la scelta del quantile dato che massimizzare un quantile equivale a massimizzare tutti i quantili inferiori alla mediana, nel caso di errori non normali si `e proceduto alla ricerca dei portafogli ottimi per i tre quantili di coda utilizzati finora. I seguenti grafici mostrano come variano i pesi ottenuti al variare del fattore di rischio tra 0 e -9 con un decremento di 0.5.

`E possibile notare come condizionando a zero i pesi ottenuti non sono nulli per nessun titolo, in questo caso quindi, anche il titolo che ha varianza pi `u eleva- ta pu `o comunque contribuire a massimizzare gli alpha quantile. Il grafico mostra come i pesi associati al decimo e al nono titolo risultino maggiori quando l’obiet- tivo `e massimizzare il primo quantile rispetto a quanto i quantili da massimizzare sono gli altri due o a quando si assume la normalit`a degli errori.

Il primo grafico rappresenta le variazioni dei pesi nel caso si assuma che i beta di regressione quantile siano tutti identici al beta di regressione lineare. In questo caso, via via che il valore del fattore di rischio diventa maggiormente negativo, i pesi relativi ai titoli con beta di regressione lineare elevato diminuiscono fino ad annullarsi. Questo accade anche anche nel caso i beta di regressione quantile siano diversi, tuttavia si pu `o osservare come i pesi finali siano ripartiti in ma-

4.5. PORTAFOGLI CON PI `U TITOLI 77

Figura 4.14: Pesi per i portafogli ottimi al variare del fattore di rischio nel ca- so di distribuzioni normali e nel caso di distribuzioni dei titoli stimate tramite regressione quantile

niera differente rispetto al caso di normalit`a e identica distribuzione. Ora oltre ai beta di regressione lineare diventa determinante per la massimizzazione dei quantili l’intera distribuzione dei singoli titoli, determinata tramite gli alpha e i beta quantile dei singoli titoli.

La differenza pi `u evidente `e la ripartizione dei pesi tra il primo e il secondo titolo. Le stime di regressione lineare individuano come il primo titolo abbia un beta minore rispetto al secondo titolo, di conseguenza, man mano che il fattore di rischio assume valori negativi si tender`a ad assegnare pi `u peso al primo titolo rispetto al secondo.

Estendendo l’analisi alla regressione quantile si pu `o osservare come il primo titolo abbia dei coefficienti beta quantile che sono superiori al secondo, e ci `o porta a un assegnazione di pesi invertita rispetto al caso di normalit`a. Questo effetto, anche se in maniera meno evidente, si presenta anche per gli altri titoli, e titoli che per determinati livelli del fattore di rischio sarebbero esclusi dalla formazione del portafoglio sotto le assunzioni di normalit`a e identica distribuzione, continuano anche se con pesi molto piccoli a essere considerati per ottimizzare il portafoglio. In particolare questo accade per il titolo cinque. Si pu `o notare come, se i rendi- menti fossero distribuiti normalmente, per valori del fattore di rischio inferiori a

meno 4 il titolo 5 verrebbe completamente escluso dal portafoglio, mentre con i dati simulati tramite regressione quantile questo non si verifica, e il peso associa- to al titolo cresce via via che il quantile da massimizzare considerato diventa pi `u piccolo.

Una volta individuato che i pesi risultano differenti in base al quantile consi- derato, `e opportuno confrontare gli alpha e i beta dei portafogli ottenuti con gli alpha e beta calcolati per il portafoglio di minima varianza. In tal modo `e possibi- le individuare l’eventuale esistenza di portafogli con rette di regressione quantile sempre superiori alle rispettive del portafoglio a minima varianza.

Nella tabella 4.13 vengono riportati gli alpha e i beta quantile dei vari por- tafogli, in particolare `e possibile osservare come gli alpha e i beta risultino cre- scenti rispetto al fattore di rischio e come non esistano tra i portafogli ottimi ot- tenuti, portafogli che abbiano contemporaneamente sia alpha quantile maggiore che beta quantili minore agli altri. Esistono invece dei portafogli che possiedono sia beta quantile minore che alpha quantile maggiore rispetto a quelli relativi al portafoglio di minima varianza.

Tabella 4.13: tabella dei coefficienti dei portafogli ottimi ottenuti al variare del fattore di rischio

fattori di rischio Alpha 01 Beta 01 Alpha 05 Beta 05 Alpha 10 Beta 10

0.0 -0.84 1.47 -0.61 1.37 -0.47 1.32 -0.5 -0.87 1.36 -0.62 1.28 -0.49 1.25 -1.0 -0.89 1.32 -0.65 1.24 -0.51 1.20 -1.5 -0.95 1.29 -0.69 1.22 -0.55 1.17 -2.0 -0.99 1.26 -0.72 1.19 -0.55 1.17 -2.5 -1.03 1.25 -0.74 1.17 -0.57 1.16 -3.0 -1.07 1.24 -0.76 1.17 -0.59 1.15 -3.5 -1.12 1.22 -0.78 1.16 -0.61 1.14 -4.0 -1.21 1.20 -0.80 1.16 -0.64 1.14 -4.5 -1.24 1.20 -0.81 1.16 -0.68 1.13 -5.0 -1.29 1.19 -0.82 1.16 -0.69 1.13 -5.5 -1.30 1.19 -0.83 1.16 -0.70 1.13 -6.0 -1.36 1.18 -0.83 1.15 -0.71 1.12 -6.5 -1.40 1.18 -0.85 1.15 -0.74 1.12 -7.0 -1.40 1.18 -0.89 1.15 -0.74 1.12 -7.5 -1.41 1.18 -0.89 1.15 -0.74 1.12 -8.0 -1.44 1.18 -0.92 1.14 -0.74 1.11 -8.5 -1.49 1.17 -0.92 1.14 -0.75 1.11 -9.0 -1.49 1.16 -0.92 1.14 -0.76 1.11 minima varianza -1.26 1.22 -0.86 1.17 -0.66 1.14

4.5. PORTAFOGLI CON PI `U TITOLI 79

I pesi dei portafogli evidenziati nella tabella 4.13 sono riportati nella tabella 4.14 (dal titolo 7 in poi il peso associato `e zero e di conseguenza non sono stati ri- portati), e corrisponono per colore. Nonostante il guadagno in termini di alpha e

Tabella 4.14: tabella dei pesi dei portafogli con alpha quantile maggiore e beta quantile minore rispetto al portafoglio di minima varianza

Titolo 1 Titolo 2 Titolo 3 Titolo 4 Titolo 5 Titolo 6

MV 0.34 0.28 0.15 0.17 0 0.06 1Q 0.22 0.31 0.19 0.1 0.09 0.09 0.23 0.36 0.17 0.09 0.07 0.08 0.23 0.38 0.16 0.08 0.07 0.08 5Q 0.20 0.31 0.19 0.13 0.08 0.09 0.22 0.32 0.17 0.12 0.08 0.09 0.23 0.34 0.16 0.11 0.07 0.09 0.23 0.36 0.15 0.11 0.07 0.08 0.24 0.36 0.15 0.1 0.07 0.08 0.25 0.36 0.14 0.1 0.07 0.08 0.24 0.39 0.12 0.1 0.07 0.08 0.23 0.39 0.14 0.1 0.06 0.08 0.23 0.41 0.13 0.09 0.06 0.08 10Q 0.25 0.36 0.15 0.14 0.05 0.05 0.28 0.35 0.15 0.12 0.05 0.05

beta, questo non risulta particolarmente elevato rispetto al portafoglio di minima varianza. Si riscontra comunque per tutti i portafogli ottenuti un netto miglio- ramento in termini di beta quantile, rispetto ai titoli di partenza. Nonostante i coefficienti dei portafogli risultino molto simili al portafoglio di minima varianza i pesi sono significativamente diversi, differenza che si riscontra nella varianza.

Capitolo 5

C

ONCLUSIONI

In questa tesi `e stata analizzata la relazione esistente tra il rischio di mercato e la distribuzione dei rendimenti e le implicazioni che tale relazione comporta a livello di valutazione del rischio dei rendimenti e dei portafogli. Tramite la re- gressione quantile si `e verificato come il fattore di rischio, oltre ad determinare il valore atteso dei rendimenti dei titoli, agisce su di essi modificandone anche la forma distributiva. In particolare si `e osservato come a valori estremi del rischio di mercato siano associate distribuzioni dei rendimenti che presentano forme di asimmetria e curtosi non riscontrabili in situazioni di stabilit`a del mercato.

Tramite il modello adottato `e stato individuato un effetto significativamente diverso a seconda che il fattore di rischio assuma valori positivi o negativi, in par- ticolare quando il mercato assume valori estremamente negativi la coda inferiore risulta essere pi `u spessa e lunga di quella superiore.

In questi casi il modello di mercato, nonostante continui a fornire una valida indicazione sul valore atteso, non `e pi `u in grado di descrivere il reale comporta- mento dei rendimenti, mentre la varianza risulta inadatta come misura di rischio. `E stato visto come sfruttando la stessa regressione quantile, sia possibile ottenere, oltre alle informazioni necessarie per modellizzare in modo pi `u accurato il com- portamento dei rendimenti, anche un indicazione aggiuntiva sul comportamento delle code al variare del rischio di mercato riassunta dai parametri beta quantile. I coefficienti restituiti permetto di distinguere il comportamento dei titoli nelle varie situazioni di mercato, inoltre tramite i beta e gli alpha dei quantili di coda `e possibile una stima del VaR svincolandosi da forme parametriche preimposta- te. Si `e potuto osservare quindi come il VaR stimato tramite la regressione dei

quantili, indichi delle perdite possibili nettamente superiori a quello ipotizzabili dal VaR calcolato sotto le assunzioni di normalit`a, sopratutto quando il mercato assume valori estremi.

Questa caratteristica diventa maggiormente rilevante nell’analisi dei portafo- gli, dato che le variazioni del rischio al variare della composizione del portafoglio sono molto pi `u elevate di quanto ipotizzabile sotto le assunzioni di normalit`a. Inoltre `e stato dimostrato come attraverso la diversificazione sia possibile ridurre i beta quantili, caratteristica che `e stata verificata anche in un portafoglio di due titoli. Grazie all’effetto di diversificazione in alcuni casi `e possibile individuare dei portafogli che possiedono delle rette di regressione quantile sempre superiori a quelle del portafoglio di minima varianza, in questo caso quindi i portafogli individuati risultano migliori a livello di VaR condizionato sia quando il mer- cato `e in una situazione di stabilit`a, sia quando si verificano particolari valori estremi. Data la non normalit`a dei rendimenti, il portafoglio di minima varian- za risulta inefficiente nell’ottimizzare il rischio di perdite elevate, in particolare quando il vettore di pesi non `e compreso nell’insieme dei portafogli ottimi indi- viduati per i quantili. Nonostante non sia stato trattato in questa tesi, il fatto che il portafoglio di minima varianza sia escluso dall’insieme dei portafogli ottimi porta a ipotizzare che l’intera frontiera efficiente, basata sul rischio VaR, possa essere caratterizzata da pesi differenti rispetto a quella ricavata tramite l’approc- cio media varianza. Un altro possibile sviluppo `e quello di valutare se oltre al rischio di mercato i rendimenti siano influenzati da altri fattori di rischio, come quelli proposti da Fama e Franch, infatti nonostante questi possano essere non si- gnificativi in un analisi di regressione lineare, potrebbero diventare rilevanti nel determinare altri aspetti della distribuzione.

B

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