2 Un’analisi dell’impatto economico di Expo 015 con il metodo Monte Carlo
2.4 Il generatore di numeri e la scelta della distribuzione di probabilità dei parametri sono alla base del
2.4.2 Le possibili distribuzioni di probabilità delle variabili di input
La distribuzione di probabilità può essere decisa basandosi su dati quantitativi quando si dispone di un’opportuna base di osservazioni oppure, in mancanza di queste ultime, può essere assegnata in modo soggettivo dal decisore, con metodi appropriati, preferibilmente rimettendosi alla consultazione e valutazione di esperti del settore di applicazione.
La scelta della distribuzione dovrebbe sempre basarsi su tutte le informazioni disponibili riguardo ai parametri (sia quelle quantitative che quelle qualitative) e colui che deve prendere la decisione dovrebbe cercare risposta a una serie di domande:
• Quali sono le misure della variabile?
• La distribuzione è simmetrica o asimmetrica?
• Se la distribuzione è asimmetrica, in quale direzione propende? • Quali altri aspetti della forma della distribuzione sono noti?
Le distribuzioni di probabilità si possono suddividere principalmente in discrete e continue: • DISTRIBUZIONE DISCRETA: è una distribuzione di probabilità definita su un
insieme discreto S: questo insieme può essere finito o numerabile (elementi dell’insieme elencabili mediante numeri naturali).
• DISTRIBUZIONE CONTINUA: è una distribuzione di probabilità con una funzione di densità e con una funzione di ripartizione assolutamente continua.
Nella Tabella 11 vengono presentate dettagliatamente le distribuzioni di probabilità più conosciute e utilizzate; successivamente verranno fatte alcune valutazioni per decidere quali distribuzioni utilizzare nell’analisi svolta con il software GoldSim 12 riguardo il megaevento Expo Milano 2015.
Tabella 11 - Le principali distribuzioni di probabilità
Nome e tipologia
distribuzione
Descrizione
Parametri
Esempio
Grafico
Binomiale o Bernoulliana
(Discreta)
Descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli, ovvero la variabile aleatoria Sn =
X1+X2+….+Xn che somma n
variabili aleatorie indipendenti con la stessa distribuzione di Bernoulli β(p).
p ∈ ]0,1[ è la probabilità di successo della singola prova di Bernoulli
q = 1- p ∈ ]0,1[
n ∈ ℕ è il numero di prove effettuate
I risultati di una serie di lanci di una stessa moneta (solo due risultati possibili): successo con probabilità p e insuccesso con probabilità q = 1 – p
Poisson (legge degli eventi rari)
(Discreta)
Esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, sapendo che mediamente se ne verificano un numero λ.
La distribuzione di Poisson è indicata con P(n)
λ > 0 è il numero medio di eventi per intervallo di tempo
n è il numero di eventi per intervallo di tempo di cui si vuole la probabilità Misurare il numero di chiamate ricevute in un call-center in un determinato periodo di tempo.
Normale o Gaussiana (Continua)
È utilizzata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valore medio. Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana (campana di Gauss)
È un modello semplice per fenomeni complessi.
Nella distribuzione normale la varianza viene indicata con
N(μ;σ2).
La funzione di densità di probabilità non presenta punti di discontinuità
μ ∈ ℝ è la media
σ2 ∈ (0,∞) è la varianza
Varie applicazioni pratiche, in statistica e nelle scienze naturali e sociali:
Chi-quadrato (Continua)
È la distribuzione di probabilità data dalla somma dei quadrati di variabili aleatorie indipendenti normalizzate.
La distribuzione Chi-quadrato viene indicata con Χ2
(k)
k ∈ ℕ è detto numero di gradi di libertà
Utilizzata in statistica per condurre il test di verifica d’ipotesi Χ2 e per stimare una varianza
T di Student (Continua)
È una distribuzione di probabilità simmetrica che governa il rapporto tra due variabili aleatorie, la prima con distribuzione normale e la seconda, al quadrato, che segue una distribuzione chi quadrato. Questa distribuzione interviene nella stima della media di una popolazione che segue la distribuzione normale.
n > 0 (gradi di libertà) spesso usato
v = n – 1 anziché n
Test T di Student per la significatività e per ogni intervallo di confidenza della differenza tra due medie.
Fisher-Snedecor (Continua)
È una distribuzione di probabilità (F) che regola il rapporto tra due variabili aleatorie che seguono due distribuzioni chi-quadro Χ2
d1,d2 > 0 (gradi di
libertà)
Analisi della varianza e omonimo test F
Esponenziale (Continua)
È la distribuzione viene intesa come la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria definita come somma dei quadrati di due variabili aleatorie normali standardizzate (ossia con valore atteso zero e varianza unitaria).
La distribuzione esponenziale viene indicata con ε(λ)
λ > 0 Durata di vita di una particella radioattiva prima di decadere
Weibull (Continua)
È una distribuzione di probabilità definita sui numeri reali positivi e descritta da due parametri λ (parametro di scala o vita caratteristica) e k (parametro di forma)
λ > 0 k > 0
Descrivere sistemi con tasso di guasto variabile nel tempo
Uniforme (Discreta)
È una distribuzione di probabilità che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità ad ogni elemento dell’insieme discreto S su cui è definita.
La distribuzione discreta uniforme viene indicata con U(S) -∞ < a ≤ b < ∞ estremi della progressione n elementi della progressione Lancio di un dado comune in cui ogni valore ha la stessa probabilità (1/6) di verificarsi Uniforme (Continua) La distribuzione continua uniforme su un insieme misurabile S, di misura finita non nulla, è una distribuzione di probabilità che attribuisce a tutti i sottoinsiemi di S con la stessa misura la stessa probabilità di verificarsi.
La distribuzione continua uniforme viene indicata con U(S)
a, b ∈ ℝ a < b
Angolo descritto dal raggio mobile di una ruota in movimento (qualsiasi valore tra 0 e 2π)
Triangolare (Continua)
È una distribuzione di probabilità la cui funzione di densità di probabilità descrive un triangolo, ovvero è nulla sui due valori estremi ed è lineare tra questi ed un valore intermedio (la moda).
La funzione di densità di probabilità presenta 3 punti di discontinuità (di cui uno angoloso).
[a, b] ⊂ ℝ c ∈ [a, b]
Utilizzata in statistica come modello quando il campione considerato è molto ristretto
Beta (Continua)
È una distribuzione di probabilità definita da due parametri α e β sull’intervallo unitario [0,1].
La distribuzione beta viene indicata con il simbolo β(α,β). La funzione di densità di probabilità presenta 2 punti di discontinuità.
α, β > 0 Trova largo utilizzo nella statistica bayesiana per la grande generalità con cui, modificando i due parametri, si possono rappresentare le proprietà statistiche di coefficienti aleatori presenti in molti modelli matematici di fenomeni reali.
Gamma (Continua)
È la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come la somma di variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione esponenziale; viene definita sui numeri reali positivi ℝ+
K > 0 Θ > 0
Tempi di attesa nella teoria delle code
Lognormale (Continua)
È la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria X il cui logaritmo logX
μ ∈ ℝ σ2 ∈ ℝ0+
Molto utilizzata in matematica finanziaria
Dall’analisi della Tabella 11 si può concludere che le distribuzioni di probabilità più adatte a descrivere le variabili oggetto dello studio sono la distribuzione Triangolare e la distribuzione Beta (per le grandezze espresse in termini percentuali).