Esercizio
Sono assegnati gli eventi A e B. Sapendo che P ¯A = 7
11, P ¯B = 6 11, P(A ∪ B) = 117. Calcolare P ¯A∩ ¯B, P (A|B), P (B|A), P ¯A| ¯B,
P A| ¯B.
[114;25; 12;23;13]
Esempio 1 (tratto da Gerd Gigerenzer, Quando i numeri ingannano. Imparare a vivere con l’incertezza,Milano, 2003, Raffaello Cortina Editore)
In una certo paese viene eseguito lo screenig mammografico per il cancro al seno. Supponiamo che per le donne, asintomatiche, tra i 40 e i 50 anni di sapere che la probabilit ´a che una di loro abbia il cancro al seno ´e del 0, 8%. Se una donna ha il cancro al seno, la probabilit ´a che il suo mammogramma risulti positivo ´e del 90%;
se non ha il cancro al seno, c’ ´e comunque una probabilit ´a del 7% che il suo mammogramma sia positivo. Immaginiamo di essere in presenza di una donna con un mammogramma positivo: qual ´e la probabilit ´a che abbia effettivamente il cancro?
Risoluzione.
Siano M = {malattia} e Pos= {mammogramma positivo}
Sappiamo che P(M) = 0,008, P(Pos|M) = 0,90, P Pos| ¯M = 0,07 Allora P ¯M = 1 − P (M) = 0,992
P(M|Pos) = P(M)×P(Pos|M)
P(M)×P(Pos|M)+P(M¯)×P(Pos| ¯M) = = 0,008×0,90+0,992×0,070,008×0,90 = 0,0939≈ 9,4%
Traduciamo in frequenze il testo proposto
Ogni 1000 donne, 8 hanno il cancro al seno. Fra queste 8 donne con il cancro 7 (8× 0, 90 = 7, 2) hanno un mammogramma positivo. Fra le rimanenti 992 che non hanno il cancro, circa 69 (992× 0, 07 = 69, 4) hanno ugualmente un mammogramma positivo. Consideriamo un campione casuale di donne che dopo un controllo presentano un mammogramma positivo, quante di loro hanno veramente il cancro? Risoluzione.
Fra le 76 (69+ 7) donne con un mammogramma positivo, solo 7 hanno il cancro al seno cio ´e:
P(M|Pos) = 767 = 0,092≈ 9,2%
N.B. La differenza sui millesimi rispetto alla soluzione precedente ´e dovuta alle approssimazioni
1000 donne 8 malate 7 positive 1 negativa 992 sane 69 positive 923 negative
Esempio 2 (tratto da Gerd Gigerenzer, Quando i numeri ingannano. Imparare a vivere con l’incertezza,Milano, 2003, Raffaello Cortina Editore)
Per diagnosticare il cancro colonrettale si usa, insieme ad altri, l’esame della copremia per scoprire tracce occulte di sangue nelle feci.
Immaginiamo di eseguire uno screening in una certa regione, e supponiamo di sapere che la probabilit ´a per gli individui asintomatici, sopra i 50 anni, di avere il cancro sia dello 0, 3%. Se uno ha il cancro colonrettale, c’ ´e una probabilit ´a del 50% che abbia una copremia positiva; se non ce l’ha, c’ ´e una probabilit ´a del 3% che abbia
comunque una copremia positiva. Immaginiamo di essere in presenza di una persona sopra i 50 anni, asintomatica, con una copremia positiva: qual ´e la probabilit ´a che abbia effettivamente il cancro colonrettale?
Siano M = {malattia} e Pos= {copremia positiva} Sappiamo che P(M) = 0, 003 P(Pos|M) = 0, 50 P Pos| ¯M = 0, 03
Allora P ¯M = 1 − P (M) = 0, 997
P(M|Pos) = P(M)×P(Pos|M)
P(M)×P(Pos|M)+P(M¯)×P(Pos| ¯M) = = 0,003×0,50+0,997×0,030,003×0,50 = 0, 0478 ≈ 4, 8%
Traduciamo in frequenze il testo proposto
Ogni 10000 persone, 30 hanno il cancro colonrettale. Fra questi 30 individui 15 (30× 0, 50 = 15) hanno una copremia positiva. Fra le rimanenti 9970 persone che non hanno il cancro, circa 299
(9970× 0, 03 = 299, 1) hanno ugualmente una copremia positiva. Consideriamo un campione casuale di persone, sopra i 50 anni e asintomatiche, che dopo un controllo presentano una copremia positiva, quante di loro hanno veramente il cancro colonrettale?
Risoluzione.
Fra le 314 (299+ 15) persone con una copremia positiva, solo 15 hanno il cancro colonrettale cio ´e:
P(M|Pos) = 15 314 = 0,0478≈ 4,8% 10000 persone 30 malate 15 positive 15 negative 9970 sane 299 positive negative9671
Esercizio
[Tema d’esame del 13/06/2018-C3]
Ad un concorso musicale partecipa il 50% di pianisti, il 30% di violinisti e il 20% di flautisti. Si presenta per la prima volta al suddetto concorso il 10% di pianisti, il 33% di violinisti e il 10% di flautisti. Sapendo che il partecipante scelto NON `e al suo primo concorso, calcolare la
probabilit `a che egli sia un flautista.
[0, 2166]
Esercizio
[Tema d’esame del 28/08/2018-C4] Dati due eventi A, B, tali che P[A] = 1
3, P[B] = 2
5 e P[A ∪ B] = 13 30, determinare P[A ∩ B|A].
[7 20]
Esercizio
[Tema d’esame del 03/09/2019-C1]
Ad un primo turno elettorale il polo A ha ottenuto il 45% dei voti ed il polo B ha vinto col 55% dei voti. Si ripetono le elezioni con i medesimi votanti e risulta che il 10% di coloro che avevano votato per A hanno spostato il voto su B, mentre il 20% degli elettori che avevano votato per B hanno spostato il voto su A. Chi ha vinto al secondo turno e con quale percentuale?
Esercizio
[Tema d’esame del 15/01/2019-C2]
In un esperimento di laboratorio si pone una cavia davanti a 4 labirinti. Ognuno dei 4 labirinti ha la stessa probabilit ´a di essere scelto dalla cavia. Da osservazioni precedenti risulta che:
se la cavia sceglie il labirinto UNO, la probabilit `a di uscire `e 1 2; se la cavia sceglie il labirinto DUE, la probabilit `a di uscire `e 4
5; se la cavia sceglie il labirinto TRE, la probabilit `a di uscire `e 3
10; se la cavia sceglie il labirinto QUATTRO, la probabilit `a di uscire `e
2 5.
Sapendo che la cavia `e uscita da uno dei labirinti, calcolare la probabilit `a che abbia scelto il labirinto QUATTRO.
Esercizio
[Tema d’esame del 17/06/2019-C2]
Si utilizza un prodotto fornito in percentuali uguali da due ditte A e B. `E noto che, scelto a caso un esemplare difettoso, la probabilit `a che esso sia stato fornito dalla ditta A vale 0.25. Sapendo che la produzione del prodotto da parte della ditta A ha un difetto di qualit `a del 5%, calcolare (in percentuale) il difetto di qualit `a nella produzione della ditta B.
Esercizio
[Tema d’esame del 15/04/2019-C2]
La percentuale di studenti iscritti al primo anno di Ingegneria
dell’Informazione che frequenta il corso di Probabilit `a e Statistica `e del 90%. Si suppone che, tra questi studenti, il 90% superer `a l’esame. Supponendo inoltre che la percentuale di studenti che non
supereranno l’esame sia del 12%, calcolare la percentuale di studenti che non frequentano il corso, tra quelli che si ipotizza non supereranno l’esame.
Esercizio
[Tema d’esame del 02/09/2013-C4]
Si lancino due dadi non truccati. Calcolare la probabilit `a condizionata che almeno uno dei due dadi dia 2 sapendo che i dadi danno due numeri diversi.
[13]
Esercizio
Si consideri l’esperimento del lancio di tre monete. Calcolare la probabilit ´a
1 di tre croci, data una croce sulla prima moneta;
2 di tre croci, data almeno una croce.
Esercizio
[Tema d’esame del 15/01/2018-C4] Dati due eventi A, B, con P[A] = 1
2, P[B|A] = P[A|B] = 1 4, calcolare la probabilit `a P[A|B] [1 4] Esercizio
[Tema d’esame del 15/01/2018-C3]
Da un cassetto contenente 5 chiavi, delle quali al massimo una pu `o aprire una serratura, si estraggono in blocco 2 chiavi. Si definiscano gli eventi: H = {il cassetto contiene la chiave che apre la serratura},
E = {nessuna delle due chiavi estratte apre la serratura}.
Sapendo che P[H] = 2
3, calcolare P[H|E ].
Esercizio
[Tema d’esame del 08/04/2019-C3 1◦ Test]
Un autobus di linea effettua il collegamento tra due stazioni A e B seguendo due percorsi alternativi 1 e 2. La frequenza con cui segue il primo percorso `e pari a 0.3, quella con cui segue il secondo `e pari a 0.7. Un gruppo di pendolari riesce a prendere l’autobus con probabilit `a pari a 0.25 quando questo percorre il tragitto 1 e con probabilit `a pari a 0.65 quando percorre il tragitto 2. Sapendo che il gruppo di pendolari non `e riuscito a prendere l’autobus, calcolare la probabilit `a che esso abbia seguito il percorso 1.
Esercizio
[Tema d’esame del 08/07/2019-C1]
L’urna A contiene 2 palline bianche e 3 nere; l’urna B ne contiene 4 bianche e 1 nera; l’urna C ne contiene 3 bianche e 4 nere. Scelta a caso un’urna, si estrae una pallina bianca. Calcolare la probabilit `a che essa provenga dall’urna C.
[5 19]
Esercizio
[Tema d’esame del 08/07/2019-C8]
Siano dati tre eventi A, B, C. Gli eventi A e B sono incompatibili. Inoltre P[A] = P[B] e P[C|A] = P[C|B] = 0.5. Stabilire se sia vero o falsa la seguente affermazione:
P[A|C] = 1 4.
(suggerimento: utilizzare il teorema delle probabilit `a totali per il calcolo di P[C])
Esercizio
[Tema d’esame del 05/09/2006-C1]
Un’urna contiene 35 monete con inciso, su entrambe le facce, Testa, 20 monete con inciso, su entrambe le facce, Croce, e 15 monete riportanti i classici simboli Testa e Croce. Si estrae a caso una moneta dall’urna e la si lancia. Sapendo che ´e uscita Testa, qual ´e la
probabilit ´a che l’altra faccia riporti il simbolo Testa?
[14 17]
Esercizio
[Tema d’esame del 15/01/2019-C5] Dati due eventi A e B tali che P(A) = 1 3, P(B|A) = 1 2, P(A|B) = 1 3, calcolare la probabilit `a P(A ∪ B). [2 3]
Esercizio
[Tema d’esame del 12/01/2016-C2]
In una popolazione il 30% degli individui presenta una certa
caratteristica A che manca invece ai restanti individui. Sapendo che nel gruppo degli individui con la caratteristica A l’80% presenta anche una caratteristica B, mentre nel gruppo di individui senza la
caratteristica A solo il 20% possiede la caratteristica B, determinare la probabilit `a che un individuo estratto in modo casuale dalla popolazione presenti la caratteristica B.
Esercizio
[Tema d’esame del 10/07/2017-C3]
Siano dati due lotti L1, contenente 1 pezzo difettoso e 4 pezzi non difettosi ed L2, contenente 1 pezzo non difettoso e 4 pezzi difettosi. Scelto a caso uno dei due lotti ed estratto un pezzo, calcolare la probabilit `a che sia stato scelto il lotto L2, supposto che il pezzo estratto sia non difettoso.
[15]
Esercizio
[Tema d’esame del 09/06/2015-C2]
La popolazione di Nicosia (Cipro) `e per il 60% greca, 20% turca, 15% siriana, 5% egiziana. Dei greci il 20% parla inglese, dei turchi il 10%, dei siriani e degli egiziani il 4%. Un visitatore incontra in citt `a un uomo che parla inglese. Qual `e la probabilit `a che sia greco?
[tratto da “Calcolo delle Probabilit `a” Politecnico di Milano]
Esercizio
Due sacchi di mele sono apparentemente identici ma il primo contiene 2 mele marce e 8 mele buone mentre il secondo ne contiene 6 marce e 4 buone. Viene scelto a caso un sacco e se ne estrae una mela, la si esamina e, senza inserirla, dallo stesso sacco se ne estrae una
seconda.
1 Calcolare la probabilit `a che la prima mela estratta sia marcia.
2 Sapendo che la prima mela estratta `e marcia calcolare la probabilit `a che provenga dal secondo sacco.
3 Sapendo che la prima mela estratta `e marcia calcolare la probabilit `a che anche la seconda lo sia.
Esercizio
[Tema d’esame del 25/07/2006-C2]
Siano U1ed U2due urne contenenti palline. Supponiamo che U1contenga 60% di palline bianche;
U2contenga 70% di palline bianche; U1contenga il triplo di palline di U2.
Poniamo ora tutte le palline delle due urne U1e U2in una sola urna U ed estraiamo una pallina. Sapendo che la pallina ´e bianca, qual ´e la probabilit ´a che inizialmente appartenesse all’urna U2
h 7 25 i
Esercizio
[Tema d’esame del 02/07/2018-C2]
Una scatola contiene 6 gessetti colorati e 6 gessetti bianchi. Una seconda scatola ne contiene 6 colorati e 2 bianchi. Si estraggono a caso 2 gessetti dalla prima scatola e si aggiungono nella seconda scatola. Qual `e la probabilit `a di estrarre un gessetto colorato dalla seconda scatola?
h 7 10 i
Esercizio
Si supponga di sapere che 10007 della popolazione di una certa regione soffre di allergia. Si sa che un test effettuato su una persona soggetta ad allergia indica la presenza della malattia con probabilit `a dello 0.9, mentre lo stesso test effettuato su soggetti sani ha una probabilit ´a di
1
1000 di indicare erroneamente la presenza di una malattia. Scegliendo a caso una persona, il test mostra la presenza di una allergia:qual `e la probabilit `a che il soggetto sottoposto a test sia veramente allergico?
Esercizio
[Tema d’esame del 02/09/2013-E2]
Tre tiratori sparano un colpo ciascuno sul medesimo bersaglio con probabilit `a di colpirlo pari a:
P[T1] = 1 2, P[T2] = 1 3, P[T3] = 1 6, Si chiede di:
1 calcolare la probabilit `a che il bersaglio venga colpito;
2 calcolare la probabilit `a che il bersaglio venga colpito dal primo tiratore, sapendo che il bersaglio `e stato colpito;
3 calcolare la probabilit `a che il bersaglio venga colpito SOLO dal primo tiratore;
4 calcolare la probabilit `a che il bersaglio venga colpito dal secondo tiratore, ma non dal terzo.
Esercizio
I tre macchinari industriali 1, 2, 3 producono gli stessi componenti elettronici. La produzione giornaliera ´e stata la seguente: 800 pezzi per il macchinario 1; 600 pezzi per il macchinario 2; 400 pezzi per il macchinario 3. Sono stati individuati dei pezzi difettosi prodotti dai tre macchinari: il 5 per cento per il macchinario 1, il 4 per cento per il macchinario 2, il 2 per cento per il macchinario 3. I pezzi vengono confezionati in scatole contenenti 100 pezzi ciascuna, provenienti da uno stesso macchinario e in quella giornata sono state confezionate 18 scatole. Da una delle 18 scatole `e stato scelto un pezzo ed `e risultato difettoso. Qual `e la probabilit `a che il pezzo sia stato prodotto dal macchinario 2?
Esercizio
Sono assegnate due urne che contengono palline colorate, l’urna A1 contiene 1 pallina bianca, 2 palline nere e 3 palline verdi; l’urna A2 contiene 3 palline bianche, 1 nera e 2 palline verdi. Si lancia un dado e se la faccia in alto presenta il numero 3 o 4 si estrae una pallina
dall’urna A1, altrimenti si estrae una pallina dall’urna A2. Sapendo che la pallina estratta `e verde, qual `e la probabilit ´a che sia stata estratta dall’urna A1? Se invece la pallina `e bianca, qual `e la probabilit `a che sia stata estratta dall’urna A2?
Esercizio
I pezzi prodotti da una certa ditta possono presentare due tipi di difetti con percentuali del 5 per cento per il difetto 1 e del 7 per cento per il difetto 2. Si assuma che i due tipi di difetti siano indipendenti poich `e avvengono in momenti diversi della produzione.
1 Determinare la probabilit ´a che un pezzo presenti entrambi i difetti;
2 determinare la probabilit ´a che un pezzo sia difettoso;
3 determinare la probabilit ´a che un pezzo presenti il difetto 1, sapendo a priori che `e difettoso;
4 determinare la probabilit ´a che un pezzo presenti uno solo dei due difetti, sapendo a priori che `e difettoso.