mizzino l’energia meccanica
spesa dal nuotatore per pro-
durre un dato spostamento. Si
tratta quindi di un problema di
controllo ottimale.
Si tratta di un problema di controllo. Agendo sui parametri di controllo – la forma del nuota- tore nel nostro caso – vogliamo ottenere un obiettivo: spostare il nuotatore. Allo stesso modo guidare un’auto è un problema di con- trollo: agendo sul volante e l’acceleratore, cer- chiamo di spostare il veicolo e portarlo in una data posizione. La teoria del controllo è l’insie- me degli strumenti matematici utilizzati per di- mostrare rigorosamente che un dispositivo è controllabile, vale a dire che il nostro nuotatore può effettivamente spostarsi effettuando certi movimenti. Questa teoria utilizza molti argo- Figura 2. Le conchiglie Saint Jacques non
potrebbero spostarsi in un ambiente dominato dalla viscosità.
Figura 3. Il “Three-Link-Swimmer” di Purcell è un robot nuotatore con due pinne. Azionando in sequenza le due pinne come nel diagramma, il nuotatore progredisce lateralmente in un flusso dominato dalla viscosità.
menti geometrici e la teoria delle equazioni dif- ferenziali ordinarie. Usando la teoria del con- trollo, possiamo dimostrare rigorosamente che alcuni nuotatori robot proposti dai fisici posso- no effettivamente spostarsi in un fluido in un regime dominato dalla viscosità. Le figure 3 e 4 mostrano esempi di tali robot.
In molti casi, sapere che è possibile controllare un sistema non è sufficiente. Vogliamo poterlo fare in modo ottimale rispetto ad un criterio, ad esempio, come quando viaggiando in auto si vuole ridurre al minimo il tempo di percorrenza o il carburante consumato. Siamo allora nel dominio matematico del controllo ottimale. Per tornare al nuoto, il problema di trovare uno sti- le che minimizzi l’energia meccanica spesa dal nuotatore per produrre un determinato sposta- mento (o quello di spostarsi più velocemente possibile con una data quantità di energia) è un problema di controllo ottimale.
È possibile costruire degli algoritmi per calco- lare numericamente (utilizzando un computer) il movimento migliore per certi nuotatori. Dopo aver modellizzato il problema, si tratta di trova- re una soluzione ad una equazione differenzia- le ordinaria a partire da un dato punto (la posi- zione e la forma del nuotatore iniziali) e arrivare ad un altro punto dato (la posizione e forma finali). Viene quindi utilizzato il cosiddetto “me- todo dello sparo” (il cui nome, per analogia, proviene dal problema balistico di sparare una palla di cannone da un punto ad un altro, rego- lando la direzione del cannone). Per le equa- zioni differenziali necessarie per trovare il nuo- to ottimale, conosciamo il punto di partenza e vogliamo mirare al punto d’arrivo regolando la velocità iniziale.
Queste ricerche teoriche del controllo ottimale sono molto attuali (si veda Per saperne di più). Chissà, ci permetteranno forse di progettare i micro-robot di domani!
Per saperne di più
Al lettore interessato all’approfondimento di questo argomento suggeriamo di leggere l’ec- cellente articolo
Purcell EM, (1977). Life at low Reynolds number, Am. J. Phys, 45(1):3–11.
Sono disponibili anche i lavori di ricerca di uno degli autori di questo articolo:
Alouges F., DeSimone A., Lefebvre A., (2008). Optimal strokes for low Reynolds number swimmers: an example, J. Nonlinear Sci., 18(3):277-302.
Alouges F., DeSimone A., Lefebvre A., (2009). Biological fluid dynamics: swimming at low Reynolds numbers, Encyclopedia of Complexity and System Science, Springer Verlag.
All’indirizzo http://www.cmap.polytechnique. fr/~alouges/nage.php si possono guardare dei video che mostrano le strategie ottimali di nuo- to di certi meccanismi e il confronto con altri metodi meno efficaci. La figura 4 proviene da uno di essi.
Figura 4. Simulazione numerica di una gara tra tre nuotatori composti da sfere allineate e collegate da arti allungabili. Il nuotatore in primo piano è stato calcolato in modo che il suo nuoto sia ottimale, e quindi si sposta più velocemente rispetto agli altri due a parità di energia. La gara si svolge da sinistra a destra.
Molto istruttivo è anche il filmato realizzato da Taylor G. I. Taylor (G. I. Taylor, Low Reynolds Number Flow, National Committee for Fluid Mechanics Films, Education Development
Center. Inc., Newton, MA) - disponibile tra l’al- tro su YouTube - che mostra una gamma com- pleta di particolarità dei flussi a basso numero di Reynolds.
Costruiamo una piramide di cartone... Per fare questo, cominciamo a tagliare un modello SABCDE da un foglio di cartone come indicato in figura, poi pieghiamo lungo le linee tratteg- giate e infine incolliamo i lati AS ed ES.
Il risultato è una specie di cono il cui vertice è S e il bordo è il quadrilatero ABCD. Questo og- getto è flessibile, infatti il quadrilatero ABCD si può deformare aprendolo più o meno: la co-
struzione non è solidissima. Per completare la piramide bisogna tagliare ancora un quadrato di cartone ed incollarlo sul quadrilatero per for- mare la base. Dopo questa operazione la pira- mide risulta essere solida, rigida. Se si posa su un tavolo essa non crolla e se cerchiamo di deformarla con le mani (con non troppa forza) non vi riusciamo a meno di deformarne le fac- ce di cartone. Analogamente, un cubo in car- tone è rigido come tutti hanno potuto speri- mentare. Che cosa succede ad un poliedro generico che abbia, ad esempio, un migliaio di facce? Il geode della Villette a Parigi è rigido? Quest’ultima domanda lascia intravedere come il tema della rigidità e della flessibilità non sia solamente teorico.