Per problema di Cauchy si intende un’ODE messa a sistema con delle condizioni al contorno, spesso dette condizioni iniziali. Un esempio di problema di Cauchy `e il seguente: y00 = −y y(0) = 1 y0(0) = 0
Come abbiamo gi`a visto, la soluzione generale dell’ODE riportata `e: y = A cos x + B sin x
Imponendo le condizioni al contorno troviamo i valori di A e B che ci danno la soluzione particolare che cerchiamo:
y(0) = A cos 0 + B sin 0 = A = 1 y0(x) = − sin x + B cos x ⇒ y0(0) = B = 0 La soluzione particolare `e perci`o:
8
Appendice
8.1
Derivata della composta in modo formale
Diciamo che una funzione g(h) `e oh0(f (h)) se e solo se limh→h0
g(h) f (h) = 0. Notiamo che oh0(f (h)) `e un insieme di funzioni, tuttavia, con un lieve abuso
di notazione, quando limh→h0
g(h)
f (h) = 0 possiamo scrivere g(h) = o(f (h)) invece che g(h) ∈ o(f (h)), tenendo a mente che, nello svolgimento dei calcoli, potremo sostituire a o(f (h)) una funzione g(h) tale che limh→h0
g(h)
f (h) = 0, ma non vice versa.
Si pu`o facilmente verificare che ox0(f (x)) + ox0(f (x)) = ox0(f (x)), che, preso
un reale c, c · ox0(f (x)) = ox0(f (x)) e che ox0(f (x))ox0(f (x)) = ox0(f (x)).
Nei calcoli che seguono, se h0 = 0, omettiamo h0 nel simbolo di o-piccolo e scriviamo semplicemente o(f (h))
Scriviamo f (x0 + h) nel seguente modo
f (x0+ h) = f (x0) + hf0(x0) + o(h)
e notiamo che tale scrittura, se esiste `e, unica. Infatti, se per assurdo non lo fosse, ci sarebbero f10(x0) e f20(x0) distinti che soddisfano. Ma allora
f (x0+ h) = f (x0) + hf10(x0) + o(h), f (x0+ h) = f (x0) + hf20(x0) + o(h) 0 = h(f10(x0) − f20(x0) + o(h) h(f10(x0) − f20(x0) = o(h) per`o lim h→0 h(f10(x0)) − f20(x0) h = f 0 1(x0) − f20(x0) 6= 0 e quindi otteniamo un assurdo.
Mostriamo che la scrittura
f (x0+ h) = f (x0) + hf0(x0) + o(h)
esiste solo se f (x) `e derivabile in x0. Dalla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale segue, indicando con dfdx
x0 la derivata di f rispetto a x calcolata in x0 che df dx x0 = lim h→0 f (x0 + h) − f (x0) h e quindi f (x0+ h) = h df dx x0 + o(h)
e allora la f0 della scrittura sopra, non a caso, `e proprio la derivata di f . Passiamo ora al calcolo della derivata della composta. Sia f (x) = b(a(x)), con a e b derivabili su opportuni intervalli, allora
f (x0+ h) = a(b(x0+ h)) = a(b(x0) + hb0(x0) + o(h))
Considerando hb0(x0) + o(h) come un incremento t rispetto a cui calcolare a(b(x0) + t), scriviamo
f (x0+ h) = a(b(x0)) + (hb0(x0) + o(h))a0(b(x0)) + o(hb0(x0) + o(h))
= a(b(x0) + hb0(x0)a(b(x0) + o(h) + o(hb0(x0) + o(h)) (7) dove l’ultima uguaglianza si ha perch´e a0(b(x0)) `e una costante reale.
Introduciamo ora il concetto di O-grande: `e analogo a quello di o-piccolo, solo che il limite deve dare un reale che non `e per forza 0. In particolare, si pu`o facilmente verificare che f (x) = O(f (x)), che o(f (x)) = O(f (x)) che, presa una costante reale c, cf (x) = O(f (x)), che Of (x) + O(f (x)) = O(f (x)) e che o(O(f (x)) = o(f (x)).
Tornando all’Equazione 7,
a(b(x0) + hb0(x0)a(b(x0) + o(h) + o(hb0(x0) + o(h))
= a(b(x0) + hb0(x0)a(b(x0) + o(h) + o(O(h))
= a(b(x0) + hb0(x0)a(b(x0) + o(h) + o(h) = a(b(x0) + hb0(x0)a(b(x0) + o(h) e quindi otteniamo che
da(b(x)) dx = da(b(x)) db(x) db(x) dx
8.2
Derivata di potenze ad esponente reale
Questo `e un risultato importantissimo e ci permette di calcolare la derivata di xα con α ∈ R. Ricordiamo che, se α non `e un intero, la potenza xα non `e definita sui negativi, mentre se α ≤ 0, 0α non `e definita. Se x > 0,
xα = elog(xα) = eα log(x) quindi dxα dx = deα log(x) dx = α xe α log(x)= α xx α
dxα
dx = αx
α−1
Per vedere cosa accade per x = 0, usiamo due disuguaglianze. Se x ≥ 0, ho che, in (0,1), xdαe ≤ xα ≤ xbαc,11 quindi, se 0 < h < 1,
hdαe− 0 ≤ hα− 0 ≤ xbαc− 0 hdαe− 0 h ≤ hα− 0 h ≤ xbαc− 0 h lim h→0 hdαe− 0 h ≤ limh→0 hα− 0 h ≤ limh→0 hbαc− 0 h
Ma il primo e il terzo temine sono la derivata in 0 di una potenza intera di x, che sappiamo calcolare, quindi
• se α > 1, la derivata in 0 di xα vale 0; • se α = 1, la derivata in 0 di xα vale 1;
• se 0 < α < 1, la derivata in 0 di xα non `e definita sui reali perch´e la sua inversa ha derivata 0 nell’origine;
• se α = 0, non ha senso chiedersi come si comporti in o la derivata di x0 perch´e il dominio di x0; `e R \ {0}
• se α < 0, la derivata in 0 di xα non `e definita sui reali; E notiamo che questo estende al caso x = 0 l’equazione
dxα
dx = αx
α−1
che avevamo gi`a ricavato per x > 0. Se l’esponente α `e tale che xα `e definita su tutto R, un ragionamento analogo ci permette di estendere l’equazione sopra al caso x < 0.
11Con dαe intendiamo il pi`u piccolo intero maggiore o uguale ad α. Con bαc indichiamo il pi`u grande intero minore o uguale ad α.
9
Esercizi
Il simbolo indica il livello di difficolt`a.
Il simbolo indica quanto ci sembra utile il problema.
9.1
Basic
1. Considerare la sequenza dei poligoni a 4, 8, 16, 32, . . . lati, e usando la trigonometria, dimostrare che π = 2√2
2 2 √ 2+√2 2 q 2+ √ 2+√2 . . .
2. La derivata logaritmica di f (x) `e definita come d
dxln(f (x)). Trovare la derivata logaritmica di xn e di ex (spesso `e pi`u facile calcolare la derivata logaritmica invece che la derivata classica). Calcolare la derivata logaritmica di exarctan(x) sin(x)x4ln(x) . Da essa ricavare la derviata
classica.
3. Calcola la derivata di xx nel seguente modo: xx = ex ln(x).
4. Sia dato un tronco di cono di un materiale di resistivit`a ρ. I raggi sono rispettivamente a e b con a ≥ b e l’altezza `e h. Qual `e la resistenza ai capi dell’oggetto? (Nota importante: la soluzione richiesta deve essere valida per b ≈ a. Discutere sul perch´e quando b `e sensibilmente pi`u grande di a, la soluzione data in precedenza non funziona.)
5. Calcolate la derivata di ~a · ~b e di ~a × ~b.
6. Usare la fomula di De Moivre, e in generale i numeri complessi, per dimostrare le seguenti formule trigonometriche:
(i) sin(α + β) = sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) (ii) cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) (iii) tan(α + β) = 1−tan(α) tan(β)tan(α)+tan(β)
(iv) cot(α + β) = cot(α) cot(β)−1cot(β)+cot(α)
(v) sin(α) + sin(β) = 2 sin(α+β2 ) cos(α−β2 ) (vi) cos(α) + cos(β) = 2 cos(α+β2 ) cos(α−β2 ) (vii) sin(α) cos(β) = 12(sin(α + β) + sin(α − β)) (viii) cos(α) cos(β) = 12(cos(α + β) + cos(α − β))
(ix) sin(α) sin(β) = 1
(x) 1 + 2 cos(x) + 2 cos(2x) + 2 cos(3x) + · · · + 2 cos(nx) = sin((n+
1 2)x)
sin(x2) (xi) sin3(α) in funzione di sin(α), sin(2α), sin(3α), . . .
9.2
ODE
7. Verificare che, detta x un’incognita reale, ∀ω ∈ R, ∀w, z ∈ C, weiωx+ ze−iωx`e soluzione dell’equazione differenziale
y00= −ω2y 8. Considerare la seguente ODE:
ω02x + ¨x = f sin(ωt).
Trovare la soluzione con ω0 = 2, ω = 2, f = 1. Provare come soluzione un qualche polinomio di grado basso moltiplicato per coseno e seno della frequenza che vi aspettate e vedere se funziona.
9. Risolvi con una serie di potenze attorno a x = 0 l’ODE y00+ xy = 0.
(Soluzione: una delle soluzioni `e 1 − x3!3 +1·4x6!6 −1·4·7x9
9! + . . . )
10. Risolvere l’ODE
yy0 = x(4 − y2)
(Suggerimento: usare la separazione delle variabili)
11. Che equazione ha una Cicloide? (traiettoria di un punto
sul cerchione di una ruota di raggio R) Quale ODE risolve la Cicloide (Soluzione: y0 =q2Ry − 1)?
9.3
Volumetti Infinitesimi
12. Formule di Pappo Vediamo i Teoremi di Pappo. Il primo afferma
che la superficie di una superficie di rotazione (ottenuta ruotando la figura bidimensionale di contorno lungo L intorno ad un asse che non interseca la figura) `e uguale alla lunghezza L per il percorso medio
attorno all’asse di rotazione, cio`e 2πR, con R distanza del baricentro del contorno dall’asse di rotazione. Il secondo afferma che il volume di un volume di rotazione (ottenuto ruotando la figura bidimensionale di area S intorno ad un asse che non interseca la figura) `e uguale all’area S per il percorso medio attorno all’asse di rotazione, cio`e 2πR, con R raggio del baricentro della superficie dall’asse di rotazione.
(i) Dire perch´e i due teoremi sono veri, pensando a quale superficie `e generata dalla rotazione di un segmento d` e a quale volume `e generato dalla rotazione di una superficie ds
(ii) Trovare superficie e volume di un toro
(iii) Trovare il volume di un toro a sezione rettangolare.
13. Trova la formula del raggio di curvatura nel punto (x0,y0) della funzione y = f (x) in funzione di y, y0, y00.
14. Il momento d’inerzia `e definito come I0 =R ρ(~r)r2dV dove ~r `
e il vettore che punta il volumetto dV , ρ `e la densit`a e r2 `e la distan- za dall’asse attorno a cui avviene la rotazione. Calcolare il momento d’inerzia di qualunque cosa. Esempi: sfera, guscio sferico, lastra ret- tangolare di spessore trascurabile, paralleleppipedo a basi rettangolari, asta sottile rispetto al centro, asta sottile rispetto a un estremo, cono rispetto all’asse.
9.4
Ordini e Limiti
15. Data y5 − y = x calcolare fino al quart’ordine non banale y(x). (Soluzione: y ≈ −x − x5− 5x9− 35x13)
16. Calcolare al sesto ordine ex2+αx in x. 17. Calcolare al sesto ordine ex2+αx
in α. 18. Calcolare al second’ordine √ 1 1−2x cos θ+x2 in x. 19. Calcolare se esiste lim x→0
exarctan x −sin x log(1+x)x + 3(cos x − 1) + tan(x3) √ 1 − x3− √ 1 1−x3 . 20. Calcolare limx→0(x12 − 1 sin2x)
21. Calcolare limx→0(2x +1−√11+x)
22. Trovare l’espansione in Taylor dell’arcoseno, sapendo la sua
derivata.
23. Se 1 α β, ha pi`u senso approssimare 1 + α + β al primo
ordine in α o al primo ordine in β?
9.5
Fisica
24. Ad una certa ora del mattino inizia a nevicare, e a mezzogiorno uno spalaneve parte per pulire le strade. La neve continua a cadere con intensit`a costante. Si sa che la velocit`a con cui procede lo spazzaneve `
e inversamente proporzionale all’altezza della neve. Nelle prime due ore di lavoro lo spazzaneve riesce a pulire 4 km di strada. Nelle due ore successive invece se ne liberano solo 2 km. A che ora ha iniziato a nevicare?
25. In presenza di una forza di attrito viscoso ~F = −λ~v una particella di massa m viene lanciata verso l’alto con velocit`a iniziale di modulo v0. Determinare la massima altezza raggiunta rispetto al punto di partenza. Determinare inoltre la velocit`a alla quale la particella passa nuovamente dal punto di partenza, in particolare nel caso in cui v0 `e molto grande. Cosa significa molto grande in questo caso?
26. Ho un campo elettrico ~E e un campo magnetico ~B ortogonali. Una particella di carica q parte da ferma e su di essa agisce la forza elettrica ~FE = q ~E e la forza di Lorentz ~FB = q~v × ~B. Che forma assume la traiettoria? (Soluzione: `e una Cicloide, basta saper risolvere la ODE y00 = −y + c)
27. Una corda lunga l di massa m `e distesa orizzontalmente su un tavolo eccetto per l’estremit`a che pende verticalmente per una lunghezza x0. In presenza di gravit`a, come evolve il sistema?
28. Su un oscillatore armonico (massa m e costante elastica k) agisce una forza esterna che cresce nel tempo secondo la legge F = αt. `E possibile assegnare delle condizioni iniziali a t = 0 s in modo tale che la massa si muova di moto uniforme? Trovare la soluzione generale dell’equazione del moto.
29. Su un oscillatore armonico (massa m e costante elastica k) agisce una forza esterna che cresce nel tempo secondo la legge F = αt2. `E possibile assegnare delle condizioni iniziali a t = 0 s in modo tale che la massa si muova di moto uniformemente accelerato? Trovare la soluzione generale dell’equazione del moto.
30. Un punto materiale si muove su una guida parabolica di equazione y = −ax2. `E possibile che il punto si stacchi dalla guida? (Suggerimento: usare la formula per il raggio di curvatura e la conservazione dell’energia). 31. Una scodella a forma di parallelepipedo di massa M e sezione S
pu`o muoversi liberamente su un piano orizzontale senza attrito. Su di essa cade della pioggia: ciascuna goccia all’arrivo sulla scodella ha una velocit`a orizzontale Vx> 0 e una verticale Vz < 0. Inoltre la massa di acqua per unit`a di tempo che arriva su una superficie S fissa sul terreno `
e costante e vale Γ. Supponendo che la pioggia raccolta dalla scodella rimanga in quiete rispetto ad essa, studiarne il moto. Trascurare l’effetto dell’urto della pioggia sulle superfici laterali della scodella. Trovare la traiettoria descritta dalla scodella in funzione di costanti che dipendono dalle condizioni iniziali.
32. Un proiettile di massa m viene lanciato da terra con una velocit`a iniziale di modulo v0 che forma un angolo θ rispetto all’orizzontale. Oltre a un campo di gravit`a costante `e presente una forza di attrito viscoso
~
F = −γ~v. Trovare l’equazione esplicita della traiettoria, e discutere il limite nel quale si pu`o considerare “piccolo” l’attrito, dicendo in modo preciso che cosa si intende con questo.
33. L’equipaggio di un razzo inizialmente fermo vuole aumentare la propria velocit`a espellendo una massa ηm di gas. La velocit`a del gas al momento dell’emissione relativa al razzo `e sempre −v0. La massa iniziale di quest’ultimo `e m e chiaramente 0 ≤ η < 1. Indicheremo con µ(t) la massa espulsa al tempo t. Calcolare µ(t) nei due casi seguenti:
(i) tutta la massa viene espulsa istantaneamente a t = 0 s;
(ii) la massa espulsa per unit`a di tempo `e costante, e viene espulsa tutta in un tempo τ .
Dette vf(1) e v(2)f le velocit`a finali del razzo nel primo e nel secondo caso, stabilire se `e vero che lim
τ →0v (2) f = v
(1) f .
34. Consideriamo un oscillatore armonico forzato, senza attrito, con una forzante F = F0cos ωt, e sia ω0 la frequenza naturale dell’o- scillatore. Come ci si aspetta che sia la soluzione, qualitativamente? Claimare la soluzione e verificare che soddisfa l’equazione differenziale. 35. Dire esplicitamente quali integrali bisogna fare per risolvere
l’equazione F = ma nei tre casi in cui F dipende solo da: (i) x, (ii) v, (iii) t.
36. Una palla viene lanciata in aria in verticale. L’attrito `e
F = −γv. Trovare velocit`a e altezza in funzione del tempo.
37. Una particella di massa m `e soggetta alla forza F (v) = −bv2. La posizione iniziale `e 0 m, la velocit`a iniziale `e v0 > 0. Trovare x(t). 38. Una particella di massa m `e soggetta alla forza F (x) = −kx. La
posizione iniziale `e 0 m, la velocit`a iniziale `e v0. Trovare x(t).
39. Una particella di massa m `e soggetta alla forza F (x) = +kx. La posizione iniziale `e 0 m, la velocit`a iniziale `e v0. Trovare x(t).
40. Una particella di massa m `e soggetta alla forza F (t) = F0e−bt. La posizione iniziale `e 0 m, la velocit`a iniziale `e 0 m s−1. Trovare x(t). 41. Un razzo di massa m e a velocit`a v ha ugelli con velocit`a di scarico
pari a u. Trovare l’equazione del razzo che mette in relazione la massa di carburante consumata e il ∆v. Trovare la massa corrispondente a ∆v = 3u.
42. Strato di ghiaccio su un lago Supponendo che la temperatura
dell’aria sulla superficie di un lago ghiacciato rimanga costantemente pari a −5, 2 gradi centigradi per 60 giorni, si formuli un modello per descrivere la rapidit`a con cui cresce lo spessore del ghiaccio a partire dal suo valore iniziale h0 = 25cm. Sapendo, in particolare, che dopo 12 giorni si misura uno spessore di 37cm e dopo 21 giorni uno spessore di 44cm, si stimi lo spessore hf raggiunto dal ghiaccio dopo 60 giorni. (SNS 2015 1).
43. Calcolare l’energia potenziale posseduta da una corda di lun-
ghezza l e massa per unit`a di lunghezza ρ appesa per un estremo al soffitto.