Test LM per l'autocorrelazione fino all'ordine 10 - Ipotesi nulla: Non c'è autocorrelazione
Statistica test: Chi-quadro(5) = 9,3368
p-value = P(Chi-quadro(5) > 9,3368) = 0,09636
2.2 Processi a radice unitaria
Poiché il tasso di crescita dovrebbe fluttuare all’interno di una banda (o di un range di valori) si può immaginare che la serie D𝑦" sia un processo stazionario, forse a media non nulla. In questo caso 𝑦" è un processo a radice unitaria.
I processi a radice unitaria non sono stazionari, quindi non lo è 𝑦"; però se D𝑦" è stazionario allora, per definizione, 𝑦" è stazionario in differenza.
Un’altra espressione che si usa frequentemente è che 𝑦" è un processo I(1), integrato di ordine
uno, ovvero che 𝑦" va differenziato una sola volta affinché il risultato sia stazionario.
Si definisce come processo I(d) un processo la cui differenza d-esima è stazionaria. Un processo I(1), ovvero un processo AR(1) con coefficiente j = 1 è un random walk9:
𝑦" = 𝑦"jf+e"
…
𝑦" = 𝑦2+ de"j\ "jf
\e2
All’interno del termine di errore confluiscono, anche, gli shock dovuti alle manovre di politica economica o gli effetti negativi/positivi di recessioni o di espansioni. Il possesso di una radice unitaria ci informa che le scelte e le riforme macroeconomiche sono in grado di alterare permanentemente l’andamento della serie storica in esame.
Qualora la serie non possedesse radice unitaria l’effetto al tempo t scemerebbe esponenzialmente nel tempo.
Un aspetto caratteristico dei random walk è quello che questi processi non sono mean-reverting. Se un processo è mean-reverting esso ha la tendenza a muoversi preferenzialmente verso il suo valore atteso. La mancanza di questa peculiarità provoca periodi, anche lunghi, in cui la serie presenta un andamento crescente o decrescente piuttosto marcato.
Nessuno esclude che ci possano essere effettivamente dei trend deterministici, soprapposti a quelli puramente stocastici, questo accade nei cosiddetti random walk con drift.
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Questi processi sono semplicemente processi per cui si ha: Δ𝑦" = 𝜇 + 𝜀"
Quindi 𝑦" è un random walk a cui si soprappone una funzione lineare del tempo, con pendenza µ. Se il drift, ovvero la costante, è positivo si avrà un processo che tende a salire, a con fluttuazioni più marcate con il passare del tempo.
Il caso del random walk si estende, in modo piuttosto indolore, al caso in cui gli incrementi del processo non siano un white noise, ma più in generale un qualunque processo stocastico stazionario: rappresentando quest’ultimo come un processo ARMA, avremo una rappresentazione del tipo 𝐴(𝐿)∆𝑦𝑡 = 𝐶(𝐿)𝜀".
Senza sapere a priori se la serie presenta radice unitaria, ovvero se è stazionaria o meno, bisogna utilizzare regole di decisione note come test di radice unitaria.
A questo fine abbiamo utilizzato tre test statistici: ADF, ADF-GLS E KPSS. I primi due sfruttano l’intuizione del test Dickey-Fuller.10
Si considera un processo autoregressivo di primo ordine che chiamiamo 𝑦": 𝑦" = j𝑦"jf+e"
Per definizione
D𝑦" =r𝑦"jf+e"
dove e" è un white noise e r= j − 1, cosicchè il processo è stazionario solo se r< 0. Viceversa se r= 0 siamo in presenza di un processo I(1).
Questo test valuta quindi l’ipotesi nulla, 𝐻2, che il processo possieda radice unitaria, contro l’ipotesi alternativa 𝐻f, che il processo sia stazionario o trend stazionario.
• 𝐻2 ∶ r= 0 • 𝐻f ∶ r< 0
Il test si caratterizza come unilaterale nella regione non positiva della distribuzione, che segue un andamento differente dalla classica t-student, quindi la sua distribuzione asintotica è diversa e per questo bisogna utilizzar delle tavole statistiche precise, i cui quantili della distribuzione sono stati calcolati da Dickey e Fuller. Questa distribuzione viene comunemente chiamata distribuzione DF.
La statistica test per il test di radice unitaria è, comunque, basata sul classico test di azzeramento del parametro:
10 Dickey David and Fuller Wayne, Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root,
22 𝑡r= rg
Ž𝑉𝑎𝑟(•rg)
Sono possibili tre configurazioni del test, ciascuna con differenti valori critici: • Senza costante: D𝑦" =r𝑦"jf+e"
• Con costante: D𝑦"= b2+r𝑦"jf+e"
• Con costante e trend: D𝑦"= b2+ bf𝑡 +r𝑦"jf+e"
L’intuizione è che se il processo è stazionario, la realizzazione al tempo t dipenderà dalla precedente, in quanto gli scostamenti saranno seguiti da osservazioni del tasso di crescita di segno opposto, poiché la media di lungo periodo è costante. Il coefficiente, allora, di 𝑦"jf sarà significativamente < 1. Se invece il processo possiede radice unitaria, il termine al tempo t-1 non fornirà alcuna informazione sull’andamento della serie visto che dipende solo dal termine di errore. Il coefficiente, in questo caso, sarà nullo in modo significativo.
Il secondo test utilizzato parte dalla formulazione più generale: 𝑦"= j𝑦"jf+ ⋯ +j•𝑦"j•+e"
Anche in questo caso e" è white noise, e la persistenza di breve periodo è catturata completamente dalla componente autoregressiva.
Sfruttando che 𝑦"jn = 𝑦"jf− ∑njfD𝑦"j\
\ef la formula precedente può essere riscritta come segue:
D𝑦" = r𝑦"jf+gfD𝑦"jf+ ⋯ +g•D𝑦"j•+ 𝑢" Dove r= “jf+ ⋯ +j•” − 1 e g\ = − “j\Xf+ ⋯ +j•”
In questo caso il test prende il nome di Augmented Dickey-Fuller test (ADF), che utilizza la medesima logica e procedura operativa del test DF, considerando sempre il parametro r. Le tre possibili tipologie di test presentate per il DF sono certamente utilizzabili anche nel ADF:
• Senza costante: D𝑦" =r𝑦"jf+gfD𝑦"jf+ ⋯ +g•D𝑦"j•+ 𝑢" • Con costante: D𝑦"= b2+r𝑦"jf+gfD𝑦"jf+ ⋯ +g•D𝑦"j•+ 𝑢"
• Con costante e trend: D𝑦"= b2+ bf𝑡 +r𝑦"jf+gfD𝑦"jf+ ⋯ +g•D𝑦"j•+ 𝑢"
Imponendo i vincoli b2 = 0 e bf = 0 si testa un modello senza costante, ossia un random walk. Imponendo solo il vincolo bf = 0 si valuta un modello random walk con drift. Non imponendo vincoli si testa un modello con drift e trend. Anche in questo caso si valuta l’ipotesi nulla 𝐻2 ∶
23 test 𝑡r= rg
Ž•–—(•rg)
. Quando questa sia inferiore al valore critico della distribuzione di Dickey-Fuller allora sarà rifiutata l’ipotesi nulla. Il numero di ritardi p può essere scelto impiegando alternativamente i criteri AIC11 o BIC12, entrambi questi criteri utilizzando il modello della massima verosimiglianza, la quale è possibile essere aumentata attraverso l’aggiunta di parametri. La differenza tra i due criteri giace proprio nel fatto che il criterio BIC introduce un elemento di penalizzazione per il maggior numero di parametri del modello. Quando 𝑝 = 0, la formulazione è la medesima del test DF. Ulteriore strumento di analisi è il test ADF-GLS13, sviluppato da Elliott, Rothenberg e Stock nel 1992, come estensione del test ADF.
Il test conserva sfrutta la medesima struttura ed intuizione del test ADF: manipola la serie storica localmente per rimuovere la componente di trend, per stimare efficacemente i parametri con il metodo della massima verosimiglianza, per poi applicare sui dati trasformati il test ADF per radice unitaria.
Questi test presentati precedentemente assumono l’ipotesi nulla di esistenza di radice unitaria, ci sono invece test che partono dalla nulla di stazionarietà, il più noto è il test KPSS14.
La differenza maggiore di questo test è che l’assenza di una radice unitaria non è prova di stazionarietà, visto che il processo potrebbe essere comunque trend-stazionario. Questa è un’importante differenza poiché sia in processi a radice unitaria sia in processi trend-stazionari la media può aumentare o diminuire con il passare del tempo, ma i processi stazionari sono mean-reverting, quindi non hanno la caratteristica di permanenza degli shock economici. Anche in questo caso la distribuzione non è la classica t-student ed è necessario utilizzare valori critici specifici tabulati.
Abbiamo evidenziato fino ad ora come la presenza di radici unitarie comporti la mancata tendenza della serie a ritornare nel lungo periodo verso un percorso deterministico: gli shock producono effetti permanenti nel tempo.
Pier Perron15, invece, dimostra come la forte presenza di radici unitarie possa essere, in realtà, frutto del trattamento sbagliato dei break strutturali.
11 Akaike’s information criterion, Hirotsugu Akaike, 1974
12 Gideon E. Schwarz, Bayesian information criterion, Estimating the dimension of a model, Annals of Statistic,
vol. 6, 1978
13 Graham Elliott, Thomas J. Rothenberg and James H. Stock, Efficient tests for an autoregressive unit root,
Econometrica, vol. 64, no. 4, 1996
14 Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin, Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a
unit root, Journal of Econometrics, 1992
15 Pierre Perron, The great crash, the oil price shock, and the unit root hypothesis, Econometrical: Journal of the
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Questi sono cambiamenti che possono comparire a causa di un netto cambiamento nei coefficienti dei parametri ad una data precisa o da una graduale evoluzione dei coefficienti nel corso di un periodo di tempo più lungo. Perron introdusse, quindi, un nuovo metodo di analisi, in cui la presenza di radice unitaria era verificata avendo precedentemente permesso la presenza nel modello di radice unitaria.
Zivot e Andrews16 evidenziano come i valori critici convenzionali dei test perdano validità qualora i punti di rottura dei dati vengano scelti a priori, basati su un’analisi preliminare: tutto ciò portava a un eccessivo rigetto della radice unitaria.
Da qui nasce la ricerca di un metodo per implementare la datazione dei break strutturali all’interno dei test per radice unitaria.
Il test di Zivot-Andrews propone una variante del test di Perron, quest’ultimo viene condotto inserendo nel modello di analisi un termine che catturi la presenza del break, la cui data è, però, sconosciuta.
Tre sono i modelli:
• 𝑦"= 𝛽2+ 𝛽f𝑡 + 𝛼𝑦"jf+ 𝜁f𝐷𝑈"+ ∑œ 𝛿zΔ𝑦"jz
zef + 𝜀" Unico spostamento nel livello della serie (intercetta) • 𝑦"= 𝛽2+ 𝛽f𝑡 + 𝛼𝑦"jf+ 𝜁:𝐷𝑇"+ ∑œ 𝛿zΔ𝑦"jz
zef + 𝜀" unico spostamento nella pendenza del trend
• 𝑦"= 𝛽2+ 𝛽f𝑡 + 𝛼𝑦"jf+ 𝜁f𝐷𝑈"+ 𝜁:𝐷𝑇"+ ∑œ 𝛿zΔ𝑦"jz
zef + 𝜀" Unico spostamento nel livello della serie e nella pendenza del trend
𝐷𝑈" è una variabile dummy per lo spostamento della media in seguito a una rottura strutturale, che vale 1 per le osservazioni successive al break strutturale; 𝐷𝑇" svolge la medesima funzione per il cambiamento della pendenza del trend.
In formule:
𝐷𝑈" = •1 𝑠𝑒 𝑡 > 𝑆𝐵 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐷𝑇" = •𝑡 − 𝑆𝐵 𝑠𝑒 𝑡 > 𝑆𝐵 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
L’ipotesi nulla, 𝐻2, è la presenza di radice unitaria con drift, l’ipotesi alternativa, 𝐻f, è un processo trend-stazionario con un break strutturale in data ignota.
16 Eric Život and Donald W.K. Andrews, Further evidence on the Great Crash, the oil price shock, and the unit
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Ciascuna osservazione potrebbe indicare un cambiamento strutturale e il test conduce una regressione sequenzialmente per ogni osservazione, valutando ogni volta un differente valore temporale per la variabile SB (structural break).
L’algoritmo seleziona, tra tutte le osservazioni, quella che minimizza il valore della statistica unilaterale t per testare 𝛼 = 1: l’obiettivo è determinare il punto di rottura nell’osservazione che da maggiore credito all’ipotesi di stazionarietà.
Il primo e il terzo modello sono i più indicati per l’analisi di serie storiche economiche. Le caratteristiche della distribuzione asintotica del test richiedono che gli estremi del campione non siano inclusi: è necessario ridurre, trimming, il campione.
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2.3 Risultati
Riportiamo in tabella i risultati dei test che sono stati eseguiti: (1) ADF con constante, (2) ADF con costante e trend, (3) ADF-GLS con costante, (4) ADF-GLS con costante e trend e (5) KPSS con costante e trend.
Di ognuno vengono riportarti il valore della statistica test e il valore del p-value, associato sia al criterio AIC, che al criterio BIC. Insieme al p-value viene segnalata l’accettazione o il rifiuto dell’ipotesi nulla.
Quando il livello di confidenza è ≥ del 10% viene segnalato SI***, quando il livello è inferiore al 10%, ma maggiore del 5% viene indicato SI**, quando è ≥ 2,5% viene indicato SI* e quando è minore del 2,5% l’ipotesi nulla viene rifiutata, indicato con NO.
Si ricordi che il test KPSS ha ipotesi contrarie rispetto agli altri test, solo in questo caso un’accettazione della nulla implica che il processo sia stazionario. Il test viene eseguito sul test di crescita annuale, utilizzando sia valori annuali, sia valori trimestrali.
L’intervallo completo annuale è l’intero dataset di 24 osservazioni; i successivi 15 campioni, comprendono cicli di 10 anni, ciascuno traslato in avanti di un anno.
L’intervallo completo trimestrale, invece, comprende in totale 94 osservazioni, i successivi 21 campioni comprendono cicli di 20 trimestri, ciascuno traslato in avanti di 4 trimestri, come visto in precedenza.
Il numero dei ritardi non è scelto a priori, ma viene calcolato dal software statistico, secondo il criterio utilizzato.
L’analisi procede, poi, con l’obiettivo di individuare l’eventualità di un processo non stazionario con il test di Zivot-Andrews, il quale ricerca la presenza di radice unitaria, valutando l’occorrenza di break strutturali.
Il test è stato condotto sulla serie storica di tasso di crescita annuale a cadenza trimestrale, applicando la cosiddetta procedura di trimming alle estremità, ignorando il 15% delle osservazioni estreme. Vengono, infine, riportati i valori critici delle distribuzioni, e il grafico del risultato del test. È stato impiegato il terzo modello, con spostamento nel livello della serie e nel trend.
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Tabella 2.1: Risultati dei test di radice unitaria su campioni trimestrali