Processi stocastici, sistemi dinamici ed applicazioni al contesto

Il termine processo o sistema dinamico è legato all’idea di moto/azione di una qualsiasi entità che non permanga nel suo stato attuale. Da questa definizione si comprende facilmente l’importanza dei sistemi dinamici; essi, infatti, rappresentano la descrizione fisico-matematica di un qualsiasi sistema reale che abbia una sua evoluzione nel tempo. Pur nascendo in un contesto scientifico i sistemi dinamici nati ad esempio per la descrizione di fenomeni come il moto di una particella, di un sistema cosmologico [11], [12], o di sistemi composti come un fascio di nuclei o di un gas nell’atmosfera, oggi trovano applicazioni nei diversi ambiti da quello economico, a quello sociale fino al nostro legato alla sicurezza. Nel contesto economico-finanziario si pensi alle equazioni differenziali che regolano il tasso di interessi e la riduzione di capitale in un mutuo o anche l’analisi della ripresa della borsa nei mesi successivi ad un attentato relativamente al decadimento dello stato di tensione creatosi. Nel contesto sociale si pensi ai modelli di popolazione per lo studio di processi del tipo nascita-morte o preda-predatore che trovano notevoli e rilevanti applicazioni per lo studio di molti fenomeni sociali. Ancora si può pensare ad applicazioni nel settore medico-sanitario: basti considerare, infatti, le equazioni

differenziali che regolano un’epidemia SIS (Suscettibile-Infetto-Suscettibile) tipica di una malattia contagiosa, dal semplice raffreddore a malattie più importanti, o anche un’epidemia SIR (Suscettibile-Infetto-Rimossa), che riguarda quelle malattie in cui il malato o diventa immune o muore, ovvero non ritorna suscettibile - è questo il caso del morbillo, della peste o dell’AIDS [13]. Da questi pochi esempi, dovrebbe apparire chiara l’utilità dello studio di sistemi dinamici non solo negli ambiti della ricerca fondamentale, ma anche e soprattutto relativamente alle possibili applicazioni. E’ evidente, infatti, che con l’ausilio di tali metodologie matematiche potremo descrivere il moto degli individui presenti in una piazza (ad esempio viste come particelle elementari) sotto la sollecitazione di una data forza (ad esempio un attacco terroristico esplosivo) al fine di creare un piano di prevenzione e magari di evacuazione dell’area. Così come si potrebbe prevedere il moto ottimo di risorse (umane, materiali, strumentali) in teatro sotto la sollecitazione di una forza ostile (nemica) al fine di creare un piano di attacco o ripiegamento in teatro.

E’ utile osservare che volendo dedicare la giusta attenzione al problema in studio, la modellazione di un tale insieme di individui non può essere trattata con un modello classico di sistema dinamico, poiché i parametri che entrano in gioco non sono tutti noti e determinati a priori (a tale proposito si pensi alla reazione psicologica di un individuo in una tale circostanza, al comportamento individuale relativo ad una situazione di stress, ecc). Certo in prima battuta un principiante potrebbe pensare di modellare ognuno dei fattori in gioco, ma presto si accorgerà che cio’ non permette di descrivere rapidamente le evoluzioni del sistema appesantendo computazionalmente il sistema di supporto alle decisioni. In altre parole, un tale problema è analogo a quello che affrontarono i fisici dell’epoca quando decisero di modellare sistemi a molti corpi come un gas; presto si resero conto che se l’obiettivo era quello di modellare il comportamento complessivo del sistema gassoso allora era inutile modellare il comportamento di una singola particella componente il gas. Pertanto, la tipologia di processo dinamico da considerare non sarà quella deterministica vista finora, bensì quella stocastica. Proprio in questo passaggio concettuale si colgono i limiti della teoria dei giochi tradizionale descritta precedentemente e si

avverte la necessità di utilizzare tecniche matematiche più sofisticate in grado di descrivere in modo naturale la complessità dei fenomeni o del decisore stesso. In altre parole, senza entrare in dettagli matematici, che non sono l’oggetto di questo studio, bisogna dire che nelle equazioni che regolano il processo di nostro interesse ci saranno dei parametri incogniti, ovvero nascosti, che saranno legati a funzioni di probabilità. In altre parole, rispetto al caso classico, ovvero deterministico, in cui note le condizioni iniziali e le equazioni che regolano il moto sarà automaticamente determinato lo stato del sistema ad ogni istante successivo, nel caso dei processi stocastici avremo uno spettro di stati possibili, ognuno dei quali avrà una data probabilità di accadimento. Sebbene un tale approccio possa apparire meno accattivante di quello deterministico, ha lo straordinario vantaggio di permettere all’analista lo studio di fenomeni complessi, per i quali non solo avrà una singola soluzione possibile ma uno spettro ampio con le relative probabilità di accadimento. Da un punto di vista dei sistemi di supporto alle decisioni, ciò significherà che i nuovi sistemi di supporto al decisore non dovranno fornire la decisione, ma un set di strategie di decisionali. E’ evidente che tale analista con l’ausilio delle metodologie indicate avrà la capacità di simulare fenomeni di suo interesse e fare delle utili previsioni, che è proprio l’obiettivo per il quale abbiamo introdotto tali approcci e modelli. In [14] gli autori mostrano grazie all’uso dei processi stocastici come si possa modellare la distribuzione di potenza in una struttura militare utilizzando il concetto di evoluzione stocastica perturbata nel contesto della random dynamics.

Un lettore attento potrebbe chiedersi se il modello considerato per il piano di evacuazione ad esempio di Piazza Venezia a Roma per la sicurezza urbana possa essere adottato per Piazza del Plebiscito a Napoli per una questione di calamità naturale, o per l’aeroporto di Malpensa in caso di un attacco terroristico. Il vantaggio dei sistemi dinamici è che se essi rispondono ad una data fenomenologia allora basterà cambiare le condizioni al contorno e quelle iniziali per poter trovare un’infinità di soluzioni a problemi analoghi. Ma cosa dire se invece della piazza considerata ne abbiamo una più piccola o più grande che magari possiede una topologia differente? Tale domanda richiede un

approfondimento sul concetto di autosimilarità e sui processi invarianti in scala che ci porterà all’introduzione dei cosiddetti frattali e dei processi stocastici autosimilari [15].

2.4.1 Frattali, sistemi dinamici ed applicazioni al contesto

Una delle caratteristiche fondamentali dei frattali è di essere indipendenti dalla risoluzione. Tutti rimarrebbero stupiti se guardando un oggetto con una lente, il cui fattore di ingrandimento può essere variato a piacere, osservassero sempre la stessa immagine [16]. Ma la Natura non ha simili proprietà! Ne siamo davvero sicuri? Dall’inizio del processo educativo siamo stati abituati ad un riduzionismo, che seppure metodologico, conduce a categorizzare gli enti geometrici classificandoli in punti, rette piani, ecc, cioè enti con dimensioni intere. Un poligono, ad esempio un esagono, è un insieme di linee, enti cioè unidimensionali, che vive nel piano che ha due dimensioni. L’esagono al variare del fattore di ingrandimento (ovvero avvicinandoci ad esso) appare dipendere dalla risoluzione. Ma siamo sicuri che variando la risoluzione la Natura si mostri così elementare come i luoghi geometrici precedentemente descritti? Per rispondere è sufficiente uscire per una passeggiata e visitare la Costiera Amalfitana; presto ci si accorgerà che via via che ci si avvicina vedremo sempre lo stesso paesaggio, cioè bellissime vette che si precipitano a picco sul mare. Oppure basterà osservare un cavolfiore, un albero, una parete rocciosa, ecc. Ecco allora che comprendiamo come la Natura e la realtà che ci circonda siano simili a se stesse ed invarianti per risoluzione con dimensioni non necessariamente intere bensì fratte (da cui il termine frattale). Pertanto, la geometria frattale più che una teoria matematica fine a se stessa deve intendersi più correttamente come il linguaggio intimo della Natura.

Molto spesso confondiamo la nostra ignoranza individuale o epocale con l’indeterminismo che può esserci in un sistema dinamico atto a descrivere una data fenomenologia naturale. Complessità e caos hanno significati completamente diversi. I frattali matematici possono essere estremamente complessi, ma dietro la loro generazione vi è sempre una legge o un algoritmo

di generazione che permette di realizzarli. Il comportamento dinamico di un ammasso di nuvole, invece, possiede una componente stocastica, la cui casualità può generare un moto imprevedibile o un’inattesa precipitazione. La differenza tra complesso e caotico è netta ed evidente. La difficoltà principale, invece, è che chi deve distinguere è l’uomo; egli con il suo retaggio culturale, con i suoi limiti individuali, epocali e tecnologici trasforma un risultato, un’analisi o una classificazione in un neuro-risultato. In altre parole, il nostro cervello contribuisce inevitabilmente alla costruzione-comprensione di ciò che sta accadendo intorno a noi in una sorta di relativismo soggettivo di ciò che osserviamo. Detto ciò, si comprende come sia facile parlare della complessità infinita dei frattali matematici e come allo stesso tempo sia difficile descrivere l’infinita frattalità ed autosomiglianza della natura o addirittura dello stesso concetto di infinito [17].

I frattali nel nostro caso specifico ci possono aiutare ad estendere la modellazione della dinamica di individui da una piazza di una dimensione ad un’altra più grande o più piccola, possono esserci utili per normalizzare i risultati di analisi simulate al calcolatore per ottenere previsioni reali, possono essere lo strumento indispensabile per fare un’analisi sul moto di un individuo sospetto, quando è immerso in una massa di turisti all’interno di un aeroporto, possono aiutarci nella decisione della scelta del luogo piu’ adatto per definire nel modo piu’ utile le regole di ingaggio per un’azione in teatro, ecc. E’ proprio grazie all’uso congiunto delle metodologie matematiche legate ai processi stocastici ed ai processi self-similari (autosimili) che si possono descrivere fenomeni complessi, noti come processi stocastici autosimilari, come il moto di individui all’interno di strutture autosimili ad esempio piazze, aeroporti, ferrovie e strade ad alta densità viste come entità integrate in tessuti urbani, oppure definire il percorso ottimale per la liberazione di ostaggi in un territorio ostile desertico, o con orografia particolarmente frastagliata e ignota [18].