Progetto del controllore PI con retroazione di stato

In questo paragrafo si vuole progettare un controllore di tipo PI che non andrà a controllare il sistema stesso ma, bensì, il sistema modificato da una retroazione di stato

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che ne modifica la dinamica e controlla allo stesso tempo le variabili di stato, cosa che la sola retroazione dell’uscita non è in grado di fare.

Per la progettazione della matrice 𝐾 si è scelto di far assumere al sistema retroazionato una dinamica simile a quella di un sistema del secondo ordine modificando la posizione degli autovalori dominanti. I passaggi seguiti, per fare questo, sono:

1. Identificare gli autovalori dominanti del sistema, i quali saranno modificati per far assumere ad esso una determinata dinamica;

2. Rendere gli autovalori più veloci così da non influenzare troppo la dinamica; 3. Calcolare la matrice 𝐾;

4. Verificare che gli autovalori siano effettivamente posizionati nei punti desiderati. Avvalendosi nuovamente del software MATLAB®, si procede con l’identificare quali sono gli autovalori dominanti del sistema attraverso una function MATLAB® creata per applicare la (2.41) ad ogni autovalore.

La posizione in cui collocare gli autovalori dominanti è stata ottenuta a partire dal diagramma di Bode di un sistema del secondo ordine che ha un andamento come in Figura 6.4.

Figura 6.4 - Diagramma di Bode di un sistema del secondo ordine con ξ = 1.

I poli complessi coniugati del sistema del secondo ordine portano la fase da 0° a −180° con il conseguente annullamento del margine di fase; si è scelto, allora, di posizionare i poli in modo tale che la pulsazione naturale, in corrispondenza alla quale essi danno un ritardo di fase di 90°, sia di una decade superiore alla frequenza di attraversamento da specificata pari a 103 ^𝑟𝑎𝑑

𝑠 , quindi si è scelto di porre 𝜔0 = 104 ^𝑟𝑎𝑑 𝑠 .

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La determinazione del parametro 𝜉 è stata basata sulla velocità della risposta del sistema al gradino mostrata in Figura 2.3. Non volendo alcuna sovraelongazione, ma cercando comunque una risposta veloce, si è scelto 𝜉 prossimo al valore 1, ma non uguale a 1, poiché si avrebbe un polo reale di molteplicità 2 che, come si vedrà tra poco, non è posizionabile dal comando place() di MATLAB®.

Applicando la (2.37) si ottengono gli autovalori complessi e coniugati: 𝜆 = −10⁴± 𝑗0,1

Per quanto riguarda gli altri autovalori, anziché posizionarli in maniera casuale, è stato scelto di realizzare cancellazioni polo-zero così da semplificare il sistema. Gli zeri del sistema in (6.4), (6.5) e (6.8) sono: 𝑧_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = [ −1282,09 + 𝑗859385,03 −1282,09 − 𝑗859385,03 709235,23 −702760,64 −1955,21 + 𝑗65437,23 −1955,21 − 𝑗65437,23 −833,33 + 𝑗1624,47 −833,33 − 𝑗1624,47 ] (6.11)

Si nota che gli zeri sono 8 ma uno di essi è reale positivo. Questo significa che solo per 7 dei restanti 9 autovalori è stato risolto il problema dell’allocazione infatti, effettuare la cancellazione di uno zero con parte reale positiva, può generare instabilità.

I restanti 2 autovalori sono stati posti ad almeno una decade maggiore rispetto alla pulsazione naturale dei poli dominanti e in particolare sono stati scelti pari a −105 e −5 ∙ 105.

Definiti gli autovalori che si desidera assuma il sistema retroazionato, si può procedere con la loro allocazione calcolando la matrice 𝐾 della retroazione di stato.

In MATLAB® è presente il comando place() che consente di calcolare la matrice di retroazione 𝐾 tale che il sistema retroazionato abbia gli autovalori desiderati, tale funzione richiede che gli autovalori desiderati abbiano molteplicità non maggiore del rango di 𝐵 (in questo caso pari a 1). Inoltre, nel caso l’algoritmo su cui si basa questa funzione non riuscisse a posizionare gli autovalori con una precisione maggiore del 10%, MATLAB® lo segnalerà.

96 𝐾 = [ 69,081 79,624 −634,93 −313,895 −1,98 2,341 5,197 10,224 −5,228 0,762 0,015 ] (6.12)

Per assicurarsi che l’allocazione degli autovalori sia andato a buon fine si possono calcolare gli autovalori del sistema retroazionato con la classica equazione, operazione facilmente ottenibile con MATLAB® attraverso la funzione eig().

Le funzioni di trasferimento del sistema retroazionato è confrontata con quella del sistema senza la retroazione di stato per mezzo dei diagrammi di Bode mostrati in Figura 6.5.

Figura 6.5 - Diagramma di Bode del sistema con retroazione di stato (linea nera) a confronto con quello senza retroazione di stato (linea grigia).

Osservando la Figura 6.5 si nota una netta semplificazione del diagramma di Bode, il quale perde le risonanze grazie alle cancellazioni zero-polo e assume un andamento tipico di un sistema del secondo ordine mostrato in Figura 6.4.

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La procedura per il progetto del controllore PI per il sistema retroazionato segue quanto fatto nel paragrafo precedente, con la differenza che ora il sistema da controllare è essenzialmente assimilabile a un sistema del secondo ordine.

La frequenza di taglio della parte integrale è posta pari a 104 ^𝑟𝑎𝑑

𝑠 , così da ottenere per le frequenze intorno a 103 ^𝑟𝑎𝑑

𝑠 una pendenza del diagramma dei moduli pari a −20 𝑑𝑏 𝑑𝑒𝑐 e quindi un argomento di circa 90° garantendo un buon margine di fase. Il diagramma di Bode del sistema con retroazione di stato e 1+𝑠∙𝜏_𝑖

𝑠∙𝜏𝑖 è mostrato in Figura 6.6.

Figura 6.6 - Confronto tra il diagramma di Bode del sistema con retroazione di stato iniziale (linea grigia) con il diagramma di Bode del sistema controllato dalla sola parte 1+s∙τ_i

s∙τ_i (linea nera).

Poiché i due sistemi mostrati in Figura 6.5 hanno comportamento profondamente diverso, imporre la pulsazione di attraversamento pari a 103 ^𝑟𝑎𝑑

𝑠 porterebbe a un tempo di salita dell’uscita troppo diverso da quello ottenuto con il solo controllore PI del paragrafo precedente. Per tale motivo è stata scelta una pulsazione di attraversamento diversa, così da ottenere tempi di salita paragonabili e quindi consentire il confronto tra le dinamiche assunte dalle variabili di stato una volta applicati i due controllori. La determinazione di tale pulsazione di attraversamento è stata eseguita per tentativi, simulando e calcolando il tempo di salita, nel caso del semplice PI a confronto con il controllo tramite PID e retroazione di stato, per diversi valori di 𝜔_𝐴∗ fino a ottenere valori sufficientemente simili.

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La frequenza di attraversamento è stata individuata in 7 ∙ 102 ^𝑟𝑎𝑑

𝑠 ottenendo per un riferimento a gradino di ampiezza 65, come si vedrà più precisamente più avanti, un tempo di salita pari a 2,66 𝑚𝑠 per il primo caso e 2,819 𝑚𝑠 per il secondo. Per far assumere al diagramma di Bode una frequenza di attraversamento pari a 7 ∙ 102 ^𝑟𝑎𝑑

𝑠

analogamente a quanto fatto nel paragrafo precedente si è utilizzata la (4.19).

L’effetto del controllore PI sul diagramma di Bode del sistema comprensivo di retroazione di stato è riportato in Figura 6.7.

Figura 6.7 - Confronto tra il diagramma di Bode del sistema con sola retroazione di stato (linea grigia) rispetto a quello con regolatore PI e retroazione di stato (linea nera).

Analogamente al paragrafo precedente, il guadagno 𝐾_𝑝 ha solo effetto sul diagramma del modulo consentendo di posizionare la pulsazione di attraversamento.

Valori di frequenza di attraversamento e margine di fase raggiunti uniti ai parametri del controllore PI sono riportati in Tabella 6.3.

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Tabella 6.3 - Valori relativi al controllo con un controllore PI unito a una retroazione di stato.

𝐾_𝑝 0,1515

𝜏_𝑖 0,0001 𝑠

𝜔_{𝐴 700} ^𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝑚_𝜑 85,5°